第六章《計(jì)數(shù)原理》章末題型大總結(jié)（4大方法14類高頻題型講練）（原卷版）

第06講第六章計(jì)數(shù)原理章末題型大總結(jié)

Q知識(shí)導(dǎo)圖

計(jì)

數(shù)

應(yīng)

原

理用

通項(xiàng)

，+W/

題型01分類討論思想

【典例1】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）大約公元前300年，歐幾里得在他所著《幾何原本》中證明了

算術(shù)基本定理：每一個(gè)比1大的數(shù)（每個(gè)比1大的正整數(shù)）要么本身是一個(gè)素?cái)?shù)，要么可以寫成一系列

素?cái)?shù)的乘積，如果不考慮這些素?cái)?shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的，即任何一個(gè)大于1的

自然數(shù)N（N不為素?cái)?shù)）能唯一地寫成N=p：.p>（其中p,是素?cái)?shù)，%是正整數(shù)，14”左，

P\<Pz<<么），將上式稱為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式，且N的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有q+4++出個(gè)素?cái)?shù).從

120的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個(gè)素?cái)?shù)，則一共可以組成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.13C.19D.60

【典例2】（2324高二下?湖南長(zhǎng)沙?開學(xué)考試）甲、乙、丙等5名同學(xué)參加語數(shù)外三科知識(shí)競(jìng)賽，每人

隨機(jī)選擇一科參加競(jìng)賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競(jìng)賽，且這三科競(jìng)賽都有人參加的

概率為.

【典例3】（2324高二上?上海?課后作業(yè)）用1、2、3、4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？其

中有多少個(gè)偶數(shù)？

【變式1]（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）某惠民醫(yī)院開展“關(guān)愛健康，守護(hù)生命，服務(wù)老人”的義診活動(dòng)，需

要臨時(shí)從某科室中抽調(diào)3名醫(yī)護(hù)人員，已知該科室現(xiàn)共有3名醫(yī)生和4名護(hù)士.為了保障醫(yī)院工作正常

運(yùn)作，該科室內(nèi)至少需要留有1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的抽調(diào)方案共有（）

A.72種B.36種C.30種D.18種

【變式2]（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一只蜜蜂沿如圖所示的用8個(gè)完全一樣的正方體搭建的幾

何體的棱并按照箭頭所指的相互垂直的三個(gè)方向從A點(diǎn)飛行到5點(diǎn)，可能的飛行路徑共有種（用

數(shù)字作答）.

【變式3]（2324高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）某人需要在一天的上午乘車從A地到5地再轉(zhuǎn)車趕到C地,

現(xiàn)已知A地至5地以及B地至C地的汽車時(shí)刻表如下：

從A地到5地的汽車時(shí)刻表從3地到C地的汽車時(shí)刻表

車次發(fā)車到站車次發(fā)車到站

16:308:0017:208:40

27:309:0028:209:40

38:3010:0039:2010:40

49:3011:00410:2011:40

問此人在這天從A地到達(dá)C地有多少種不同的乘車方案?

題型02整體思想

【典例1】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）2024年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天.某

單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而

且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有（）

A.1440種B.1360種

C.1282種D.1128種

【典例2】（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）四名男生和兩名女生排一行進(jìn)行合影，若要求男生甲與男生

乙不相鄰，且女生4和女生3相鄰，則不同排法的種數(shù)有（）

A.288種B.144種C.96種D.72種

【變式1］（2425高三上?福建泉州?階段練習(xí)）七位漁民各駕駛一輛漁船依次進(jìn)湖捕魚，甲、乙漁船要

排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（）

A.96種B.120種C.192種D.240種

【變式2］（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）春節(jié)是團(tuán)圓的日子，為了烘托這一喜慶的氣氛，某村組織了

“村晚通過海選，現(xiàn)有6個(gè)自編節(jié)目需要安排演出，為了更好地突出演出效果，對(duì)這6個(gè)節(jié)目的演出

順序有如下要求："雜技節(jié)目"排在后三位，"相聲"與"小品"必須相繼演出，則不同的演出方案有（）

A.240種B.188種C.144種D.120種

題型03主元思想

【典例1】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排照相，則甲與乙相鄰且甲與

丙之間恰好有一名同學(xué)的概率為（）

1111

A.-B.-C.D.-

8642

【典例2】（2425高三上?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和

夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3

人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人.甲、乙兩人要在同一個(gè)艙內(nèi)，則不同的安排方案共

有?

【典例3】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，

也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？

【變式1】（2324高二下?內(nèi)蒙古?期中）從6人（包含甲）中選派出3人參加A,B,C這三項(xiàng)不同的

活動(dòng)，且每項(xiàng)活動(dòng)有且僅有1人參加，若甲不參加A和8活動(dòng)，則不同的選派方案有（）

A.60種B.80種C.90種D.150種

【變式2］（2425高三?上海?課堂例題）七個(gè)人排成一行，則甲在乙左邊（不一定相鄰）的不同排法數(shù)

有種.

題型04“正難則反”思想

【典例1】（2425高三上?重慶涪陵?開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決

出了第1名到第5名的名次（無并列情況）.甲、乙、丙去詢問成績(jī).老師對(duì)甲說："你不是最差的.”對(duì)乙說：

“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍."對(duì)丙說："你不是第2名.“從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排

列情況種數(shù)為（）

A.44B.46C.48D.54

【典例2】（多選）（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）某市文化局組織了一次“送戲下鄉(xiāng)”活動(dòng)，共有7個(gè)

節(jié)目，且小品和相聲各一個(gè)，若小品不排在第一位，相聲不排在最后一位，則不同的排法種數(shù)為（）

A.A：+C&A；B.A；-2A：C.A：+A：A；D.A；-2A：+A；

【典例3】（2425高二上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）5名學(xué)生和1位老師站成一排照相，問老師不排在兩端的排

法有多少種？

【變式1】（2425高三上?重慶?開學(xué)考試）第41屆全國(guó)青少年信息學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（CCFNOI2024）于

2024年7月16~22日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦.在本次競(jìng)賽組織過程中，有甲、乙等5名育才新教師

參加了接待、咨詢、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目，每名新教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有

一名新教師參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，則不同的安排方案有（）種

A.108B.114C.150D.240

【變式2］（2425高三上?云南昆明?期中）甲口袋中有標(biāo)號(hào)為1、2、3的三張卡片，乙口袋中有標(biāo)號(hào)為

4、5、6、7的四張卡片，從兩個(gè)口袋中不放回地隨機(jī)抽出三張卡片，每個(gè)口袋至少抽一張，則抽到

的三張卡片中至少有一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的不同抽法共有種（用數(shù)字作答）

題型05兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

【典例1】（2425高三上?浙江杭州?階段練習(xí)）現(xiàn)有三對(duì)雙胞胎共6人排成一排，則有且只有一對(duì)雙胞

胎相鄰的排法種數(shù)是（）

A.180B.240C.288D.300

【典例2】（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）結(jié)合排列組合，解決下列問題.

⑴將6封不同的信放到7個(gè)不同的信箱中，有多少種放法？

（2）將6封不同的信放到5個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，有多少種放法？

⑶將6封相同的信放到3個(gè)不同的信箱中，每個(gè)信箱至少有一封信，有多少種放法？

⑷將4封標(biāo)有序號(hào)A,B,C,。的信放到四個(gè)標(biāo)有A,B,C,。的信箱中，恰有一組序號(hào)相同，則有

多少種放法？

【典例3】（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女

學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？

⑴老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；

（2）4名男學(xué)生互不相鄰，男學(xué)生甲不能在兩端；

（3）2名老師之間必要有男女學(xué)生各1人.

【變式1】（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）2023年春節(jié)旅游業(yè)回暖，人們紛紛外出游玩，游覽祖國(guó)美好

河山.現(xiàn)有6名游客去A,B,C,。四個(gè)景點(diǎn)游覽，要求每個(gè)景點(diǎn)都有人游覽，且甲和乙不去同一個(gè)景

點(diǎn)，則不同的游覽方式共有種（用數(shù)字作答）.

【變式2］（2425高三?上海?課堂例題）4件不同的禮品，按以下各種情況，各有幾種分法?

⑴平均分成兩堆；

(2)平分給兩人；

⑶分成兩堆，一堆3件，一堆1件;

(4)分給兩人，一人3件，一人1件.

題型06數(shù)字排列問題

【典例1】(2324高二下?江蘇宿遷?期中)0~9共10個(gè)數(shù)字.

⑴可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；

(2)可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)；

⑶可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的大于或等于30000的五位數(shù)；

⑷在無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，50124從大到小排第幾.

【典例2】(2024高二?全國(guó)?專題練習(xí))從1到7這7個(gè)數(shù)字中取2個(gè)偶數(shù)、3個(gè)奇數(shù)，排成一個(gè)無重

復(fù)數(shù)字的五位數(shù).求：

⑴共有多少個(gè)五位數(shù)？

(2)其中偶數(shù)排在一起的有多少個(gè)？

⑶其中偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有多少個(gè)？

(4)其中兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的有多少個(gè)？

【典例3】(2425高二?江蘇?課后作業(yè))已知一個(gè)兩位數(shù)中的每個(gè)數(shù)字都從1,2,3,4中任意選取.

⑴如果兩位數(shù)中的數(shù)字不允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)?

(2)如果兩位數(shù)中的數(shù)字允許重復(fù)使用，那么能得到多少個(gè)不同的兩位數(shù)？

【變式1】(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的整

數(shù)？

⑴可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

(2)可以組成多少個(gè)恰有兩個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)？

【變式2](2324高二下?江蘇?期中)有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字.

⑴能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

(2)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)？

⑶能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)？

題型07涂色問題

【典例1】（2425高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域

AB.CZXE涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，相鄰區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（）

C\DE

A.120種B.720種C.840種D.960種

【典例2】（2425高三上?福建福州?期中）如圖，對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩

個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的著色方法有種.

【典例3】（2324高二下?山西臨汾?期中）如圖，這是一面含A,B,C,D,E,b六塊區(qū)域的墻，現(xiàn)

有含甲的五種不同顏色的油漆，一位工人要對(duì)這面墻涂色，相鄰的區(qū)域不同色，則共有一種不同的涂

色方法；若區(qū)域。不能涂甲油漆，則共有種不同的涂色方法.

D

【變式1】（2425高三上?廣西南寧?開學(xué)考試）在如圖方格中，用4種不同顏色做涂色游戲，要求相鄰

區(qū)域顏色不同，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.

①若區(qū)域涂2種顏色，區(qū)域及F,G,8涂另外2種顏色，則有種不同涂法.

②若區(qū)域A民涂4種顏色（AB,CD涂的顏色互不相同），區(qū)域￡EG,H也涂這4種顏色

（瓦涂的顏色互不相同），則有種不同涂法.

【變式2］（2425高三上?重慶長(zhǎng)壽?開學(xué)考試）某次文化藝術(shù)展，以體現(xiàn)了中華文化的外圓內(nèi)方經(jīng)典的

古錢幣造型作為該活動(dòng)的舉辦標(biāo)志，舉辦方計(jì)劃在入口處設(shè)立一個(gè)如下圖所示的造型現(xiàn)擬在圖中五個(gè)

不同的區(qū)域栽種花卉，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的花卉品種不一樣.

現(xiàn)有木繡球、玫瑰、廣玉蘭、錦帶花、石竹等5各不同的品種.

（1）（0共有多少種不同的栽種方法；

題型08全排列問題

【典例1】（2324高二下?廣東?期中）某種產(chǎn)品的加上需要經(jīng)過4,B,C,D,E,F,G七道工序，要

求4,3兩道工序必須相鄰，C,。兩道工序不能相鄰，則不同的加工順序有（）

A.960種B.836種

C.816種D.720種

【典例2】（2324高二下?甘肅?期末）甲、乙、丙等7名學(xué)生準(zhǔn)備利用暑假時(shí)間從A,B,C三個(gè)社區(qū)

中選一個(gè)參加義務(wù)勞動(dòng)，若甲、乙、丙恰好去三個(gè)不同的社區(qū)，則所有不同的選擇種數(shù)為.

【典例3】（2324高二下?北京豐臺(tái)?期末）2024年春節(jié)期間，全國(guó)各大影院熱映《第二十條》、《飛馳

人生2》、《熱辣滾燙》、《熊出沒.逆轉(zhuǎn)時(shí)空》4部?jī)?yōu)秀的影片.現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這4部影

片中的1部觀看.

⑴如果這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？

（2）如果這4名同學(xué)中的甲、乙2名同學(xué)分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多

少種不同的選擇方法？

⑶如果這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？

【變式1］（2324高二下?安徽安慶?期末）某寢室4名室友拍畢業(yè)照，4位同學(xué)站成一排，其中甲乙兩

位同學(xué)必須相鄰，且甲在乙的右邊，則不同的排法種數(shù)有（）

A.24種B.12種C.8種D.6種

【變式2】（2324高二下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合

下列條件的無重復(fù)的數(shù)字？（列式并計(jì)算）

⑴六位數(shù)；

（2）六位奇數(shù)；

（3）能被5整除的六位數(shù)；

⑷組成的六位數(shù)按從小到大順序排列，第265個(gè)數(shù)是多少？

⑸六位數(shù)中數(shù)字1,2始終相鄰的數(shù)

題型09元素位置有限制問題

【典例1】（2425高三上?重慶?階段練習(xí)）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為AB.CRERGHJ.K,

為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì).其中將AdC2E五人排成一行形成甲隊(duì)，要求A

與8相鄰，C在。的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求尸與G不相鄰，則不同的排列方法

種數(shù)為（）

A.432B.864C.1728D.2592

【典例2】（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）用0,1,2,3,4,5組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，

該六位數(shù)是5的倍數(shù)且奇數(shù)與偶數(shù)相間，則滿足條件的這樣的六位數(shù)有個(gè).

【典例3】（2425高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）今年暑期旅游旺季，貴州以涼爽的氣候條件和豐富的旅

游資源為依托，吸引了各地游客前來游玩.由安順黃果樹瀑布、荔波小七孔、西江千戶苗寨.赤水丹霞、興

義萬峰林、銅仁梵凈山6個(gè)景點(diǎn)諧音組成了貴州文旅的拳頭產(chǎn)品“黃小西吃晚飯”.小明和家人計(jì)劃游覽以

上6個(gè)景點(diǎn)，若銅仁梵凈山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千戶苗寨安排在相鄰位置，則一共

有種不同的游覽順序方案.（用數(shù)字作答）

【變式1］（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）一位語文老師在網(wǎng)上購買了四書五經(jīng)各一套，四書指《大學(xué)》

《中庸》《論語》《孟子》，五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地

放在同一層書架上，若四書，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學(xué)》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的

排列種數(shù)為（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

【變式2］（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）從5個(gè)男生和4個(gè)女生中選出5人去擔(dān)任英語、數(shù)學(xué)、物理、

化學(xué)、生物的課代表.分別求出符合下列條件的安排方法種數(shù)：

⑴有女生但不少于男生；

（2）女生甲不擔(dān)任物理課代表；

⑶女生乙入選且不擔(dān)任生物課代表，男生甲若入選，只擔(dān)任數(shù)學(xué)或物理課代表.

題型10相鄰與不相鄰問題

【典例1】（2324高二下?湖北武漢?階段練習(xí)）有四名男生，三名女生排隊(duì)照相，七個(gè)人排成一排，則

下列說法正確的是（）

A.如果四名男生必須連排在一起，那么有720種不同排法

B.如果三名女生必須連排在一起，那么有576種不同排法

C.如果女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法

D.如果三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，那么有720種不同排法

【典例2】（2324高二下?陜西西安?期中）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過6道工序.

⑴若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，問有多少種加工順序？

（2）若其中某3道工序必須相鄰.問有多少種加工順序？

⑶若其中某3道工序兩兩不能相鄰，問有多少種加工順序？

【典例3】（2324高二上?遼寧撫順?階段練習(xí)）某次介紹會(huì)需要安排6個(gè)產(chǎn)品的介紹順序，其中3個(gè)產(chǎn)

品來自A公司，2個(gè)產(chǎn)品來自5公司，1個(gè)產(chǎn)品來自C公司.

⑴求8公司的2個(gè)產(chǎn)品的介紹順序相鄰的方案數(shù)；

（2）求同一個(gè)公司產(chǎn)品的介紹順序不相鄰，C公司的產(chǎn)品既不是第一個(gè)介紹，也不是最后一個(gè)介紹的方案

數(shù).

【變式1】（多選）（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序,

第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定，其余9個(gè)節(jié)目中有4個(gè)音樂節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)曲藝節(jié)目，

則（）

A.若要求4個(gè)音樂節(jié)目排在一起，則有A：A；種不同的排法

B.若要求曲藝節(jié)目甲必須在曲藝節(jié)目乙的前邊，則有A；種不同的排法

C.若要求3個(gè)舞蹈節(jié)目不能排在一起，則有A：A；種不同的排法

D.若要求音樂節(jié)目、舞蹈節(jié)目、曲藝節(jié)目分別相鄰演出，則有A：A；A；種不同的排法

【變式2］（2425高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排.

⑴如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？

（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？

⑶如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？

（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？

⑸如果男生甲、乙之間必須排兩個(gè)女生，可有多少種不同的排法？

題型11分組分配問題

【典例1】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）將6本不同的書，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2

本，一人得3本，有多少種不同的分配方式？

【典例2】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）現(xiàn)在4本不同的書，按以下方式進(jìn)行分配.

⑴分成兩堆，每堆2本，則有多少種分法；

（2）分成兩堆，一堆3本、一堆1本，則有多少種分法；

⑶分給甲、乙兩人，每人2本，則有多少種分法；

（4）分給甲、乙兩人，一個(gè)3本、一人1本，則有多少種分法.

【典例3】（2324高二下?江蘇泰州?階段練習(xí)）五個(gè)不同的小球，全部放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)

盒子中.回答下面幾個(gè)問題（寫出必要的算式，并以數(shù)字作答）：

⑴可以有空盒，但球必須都放入盒中的放法有多少種？

（2）四個(gè)盒都不空的放法有多少種？

⑶恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？

【變式1】（2425高二上?全國(guó)?課堂例題）6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的

分配方法？

⑴每組2本（平均分組）；

（2）一組1本，一組2本，一組3本（不平均分組）；

⑶一組4本，另外兩組各1本（局部平均分組）.

【變式2］（2324高二下?安徽六安?期中）6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法?

⑴分給甲、乙、丙三人，每人兩本；

（2）分為三份，每份兩本；

⑶分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本;

（4）分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.

（要求:以上4題最終答案均要用數(shù)字作答）

題型12二項(xiàng)展開式及其逆應(yīng)用

【典例1】（2324高二下?山東臨沂?期中）若實(shí)數(shù)q=2-0,則臚-2&尸+22黑4°-…+產(chǎn)等于（）

A.-32B.32C.-64D.64

【典例2】（2425高二上?上海?假期作業(yè)）設(shè)S=（x-l）4+4（x-iy+6（x-iy+4（x-l）+l,它等于下式

中的（）

A.（x-2）4B.（x-1）4C.%4D.（x+1）4

【典例3）（2425高二上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）代數(shù)式（尤+1?-4（尤+1）3+6（x+l）2-4（尤+1）+1可化簡(jiǎn)為.

【變式1］（2324高二下?河南洛陽?期中）C°-32fl+C；,-32"-2+C<32,-4++&，變=（）

A.42"B.4"-1C.10"D.10"-1

【變式2］（2324高二下?山東荷澤?階段練習(xí)）（X-1）5+5（X-1）4+10（X-1）3+10（X-1）2+5（X-1）=（）

A.x5+1B.尤'-I

C.（X+1）5-1D.（尤+1）5+1

題型13特定項(xiàng)（特定項(xiàng)系數(shù)）

【典例1】（2324高二下?山東荷澤?期中）（?+或-21的展開式中無理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【典例2】（2425高三上?福建南平?期中）若仆+4丫2尤-4］的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則

a=，該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【典例3】（2324高二下?河南鄭州?期末）已知二項(xiàng)式，x+點(diǎn)］（”eN*）的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)

之和為256.

⑴求展開式中，的系數(shù)；

（2）求展開式中所有的有理項(xiàng).

【變式1】（多選）（2425高三上?甘肅白銀?期中）對(duì)于二項(xiàng)式下列說法正確的是（）

A.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:

42

C.展開式中的有理項(xiàng)有3項(xiàng)D.展開式中的有理項(xiàng)有4項(xiàng)

【變式2］（2425高三上?四川眉山?階段練習(xí)）將3個(gè)班分別從2個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，共有〃種不同

的選法，則在［-七］的展開式中，含/項(xiàng)的系數(shù)為.

題型14二項(xiàng)式系數(shù)（含最值問題）

【典例1】（2425高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）（2x-y）6的展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分

別為（）

A.第1項(xiàng)和第3項(xiàng)B.第2項(xiàng)和第4項(xiàng)

C.第3項(xiàng)和第1項(xiàng)D.第4項(xiàng)和第2項(xiàng)

【典例2】（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)），一的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)是.（用數(shù)字

作答）

【典例3】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知（d+-r）”的展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系

數(shù)之比為則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為.

【變式1］（多選）（2324高二下?安徽合肥?階段練習(xí)）已知（l-2x）"=%+q尤+%/+…+4/,展開

式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,下列說法正確的是（）

A.〃=8B.%=1

C.%=—160D.+|生|+…+=3'-1

【變式2］（2324高二下?重慶九龍坡?期中）在。+4的展開式中，若第7項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之

比為1:2,貝?。?=.

題型15系數(shù)（含系數(shù)最大，小項(xiàng)）

【典例1】（2324高二下?江蘇南通?期中）在以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面問題中的橫線

上，并完成解答.

①所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為729:64；

②前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22.

問題:在12近+工］(n>2,neN*）的展開式中,

⑴證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng);

（2）求展開式中所有的有理項(xiàng).

12

【典例2】（2324高二下?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）用二項(xiàng)式定理展開2x+

⑴求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).（用數(shù)字作答）

【典例3】（2324高二下?河北保定?階段練習(xí)）在的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是第2

項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的4倍.

⑴求”的值;

(2)求-2x的展開式中的常數(shù)項(xiàng);

⑶求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

【變式1］（2324高二下?浙江杭州?期中）已知（2犬+三］的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32.

⑴求”的值;

（2）若展開式中,的系數(shù)為80,求a的值.

X

【變式2］（2324高二下?寧夏石嘴山?期中）已知x-小的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第

五項(xiàng).

⑴求”的值；

（2）求該展開式中的常數(shù)項(xiàng).

⑶求其展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

題型16二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和

【典例1】（2324高二下?天津和平?期中）已知（6-的展開式中，第4項(xiàng)和第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

相等.

⑴求n；

（2）求展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)；

⑶設(shè)展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為展開式的所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為M求M+N.

【典例2】（2324高二下?四川遂寧?期中）已知二項(xiàng)式/+三J^cN*）的展開式中，給出下列

條件：

①第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是1：4；②各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為512；③第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)；

從上面三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下列問題.

⑴求實(shí)數(shù)”的值；

（2）展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

⑶求卜?-2）［無+%］的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

【典例3】(2324高二下?江蘇淮安?期中)若(>2x)7=CIQ+4%+-+%工7?求:

(1)4+。2++%；

(2)|%|+同++|%|?

【變式1](2324高二下?山東聊城?期中)(結(jié)果可用指數(shù)暮的形式表示)

2023

設(shè)(1-3域°23=%+4(1+彳)+%(l+x)2---Fa2023(1+x)(xeR).求：

(2)求G+4+a5H+<2JO23的值；

(3)求同+同+同T---的值.

52345

【變式2】(2324高二下?江蘇揚(yáng)州■期中)已知(1-3x)-a0+a^x+a2x+a3x+a4x+a5x.

⑴求小;

(2)求同+同+同+同+|。5|-

題型17二項(xiàng)式定理應(yīng)用

【典例1】(2324高二下?吉林?期中)中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研

究，設(shè)a,心機(jī)(">0)均為整數(shù)，若。和^被機(jī)除得的余數(shù)相間，則稱a和6對(duì)模機(jī)同余，記為"Nmod間，

2

如9和21被6除得的余數(shù)都是3,則記9三21(mod6).若"/mod8),且“=CM+C>2+CU22++C^-2%

則6的值可以是()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【典例2】（2324高二下?廣東茂名?期中）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深

的研究，設(shè)4砥相>0）均為整數(shù)，若。和6被加除得的余數(shù)相同，則稱”和6對(duì)模加同余，記為“三6

（modm）,如9和21被6除得的余數(shù)都是3,則記9三21（mod6）.若"三b（modlO）,且

。=<4+%2+*22++C*2"，則6的值可以是（）

A.2010B.2021C.2019D.1997

【典例3】（2324高二下?山東濟(jì)寧?期中）2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)

分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確

選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一

個(gè)正確選項(xiàng)得3分;若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè),漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分,漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）.已

知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，某同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題和第二小題都隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，

第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，這位同學(xué)的多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）共有〃種情

況，則7"除以36的余數(shù)是.

【變式1］（2324高二下?江蘇徐州?期中）已知。也〃?（〃?>0）為整數(shù)，若。和6被m除得的余數(shù)相同,則

稱。和6對(duì)模機(jī)同余，記為。三。（modm）.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3,貝!J記為9三21（mod6）,

若仁心+44+*啰++C第2”，。三6（modl0）,則b的值可以是（）

A.2024B.2023C.2022D.2021

【變式2］（2324高二下?廣西玉林?期末）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深

的研究，對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a,b,若它們除以正整數(shù)加所得的余數(shù)相同，則稱。和b對(duì)模機(jī)同余，記為

217

a=b{modni）a=C°7+C；7x6+C；7x6+...+C［^x6,a三6（mod8）,貝!|匕的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

題型18楊輝三角形

【典例1】（2324高二下?黑龍江哈爾濱?期末）當(dāng)時(shí)，將三項(xiàng)式（爐+x+l）"展開，可得到如圖所示

的三項(xiàng)展開式和“廣義楊輝三角形”：

廣義楊輝三角

3+"1)。=1第0行1

(N+x+lpM+x+l第1行111

(N+x+l)2=x4+2x3+3x2+2x+1第2行12321

3+x+1)3=X6+3》5+6/+7》3+6/+3》+1第3行1367631

2487652

(x+x+l)=x+4x+10x+16x+19x4+16x3+1QX+4X+1第4行14101619161041

若在（1+加，+.》+1）5的展開式中，/的系數(shù)為T5,則實(shí)數(shù)a的值為（）

B.-1C.2D.-2

1

【典例2】（2324高二上?山東德州?期末）將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)C：都換成西尸，得到如圖所

示的萊布尼茨三角形.萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個(gè)數(shù)均等于其“腳下”

兩個(gè)數(shù)之和，如果,22（〃為正整數(shù)），則下列結(jié)論中正確的是（）

第。行；

第1行I）

A.當(dāng)，=2023時(shí)中間的兩項(xiàng)相等，且同時(shí)取得最大值

B