浙江省紹興市2025屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

浙江省高考科目考試紹興市適應(yīng)性試卷數(shù)學(xué)試題（2025年4月）一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集概念進(jìn)行求解.【詳解】.故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】.故選：B.3.已知向量滿足，，且的夾角為，則（）A. B.3 C. D.7【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再由及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，且的夾角為，所以，所以.故選：C4.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，即可求出圓心到直線的距離，再由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】圓的圓心為，半徑，又圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng).故選：B5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)，再得到平移后的解析式，即可得到，，逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)，所以，則，，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故選：A.6.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增B.當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減C.當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，針對(duì)不同的取值，對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)AB：當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)；又，當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故AB都錯(cuò)誤；對(duì)CD：當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)；又，當(dāng)時(shí)，均為減函數(shù)，故為上的減函數(shù)，故為上的增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.7.已知雙曲線左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，且，則的最小值為（）A.4 B.6 C.10 D.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，將與進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系求出的最小值．【詳解】對(duì)于雙曲線，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（），可得，．則．

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即；同理，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則，即．所以．

根據(jù)三角形三邊關(guān)系，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立．又，則，即．所以的最小值為10．

故選：C．8.已知的兩個(gè)內(nèi)角都是關(guān)于的方程的解，其中，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到和的表達(dá)式，通過(guò)三角恒等式求出，進(jìn)而求出得解.【詳解】方程變形為，由題，是方程的兩根，則，，又，又，所以，，又，則，，.故選：B.二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.在某校文藝匯演中，六位評(píng)委對(duì)某小品節(jié)目進(jìn)行打分，得到一組分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則（）A.這組分值的極差變小B.這組分值的均值變大C.這組分值的方差變小D.這組分值的第75百分位數(shù)不變【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)極差的定義求解判斷；對(duì)B，計(jì)算前后兩組數(shù)據(jù)的均值判斷；對(duì)C，利用方差的公式計(jì)算判斷；對(duì)D，根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A，原來(lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的極差為，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后這組數(shù)據(jù)的極差為，極差變小了，故A正確；對(duì)于B，原來(lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，后來(lái)這4個(gè)數(shù)據(jù)的均值為，所以均值不變，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，原來(lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，后來(lái)這4個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，所以這組分值的方差變小，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以原?lái)6個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，又，所以后來(lái)這4個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)B.0是的極小值點(diǎn)C.在區(qū)間內(nèi)存在極大值D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：令，得到零點(diǎn)，看區(qū)間內(nèi)有無(wú)這些零點(diǎn)，沒(méi)有則不存在零點(diǎn)．對(duì)于選項(xiàng)B：在附近，分析、、正負(fù)．時(shí)，時(shí)，所以是極小值點(diǎn)．對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)求導(dǎo)．在內(nèi)，分析各項(xiàng)正負(fù)，判斷是否存在極大值．對(duì)于選項(xiàng)D：在上，分析正負(fù)，再分析各項(xiàng)正負(fù)，得，所以單調(diào)遞減．【詳解】函數(shù)，令，則或或．由，解得；

由，解得，；

由，即，解得．在區(qū)間內(nèi)，不存在上述使的值，所以在區(qū)間內(nèi)不存在零點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．

當(dāng)在附近時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且．當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，在附近正負(fù)交替，但，所以是的極小值點(diǎn)，B選項(xiàng)正確．

對(duì)求導(dǎo)，得：．當(dāng)時(shí)，，，，．，且在內(nèi)，隨著的變化，會(huì)先大于后小于，所以在區(qū)間內(nèi)存在極大值，C選項(xiàng)正確．

當(dāng)時(shí)，，，，則．對(duì)分析，在上，，，，所以；，，，所以；，，，所以．即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確．

故選：BCD．11.已知數(shù)列滿足，則（）A.數(shù)列為遞增數(shù)列B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷其單調(diào)遞增．由算出，得．假設(shè)，可推出，再構(gòu)造，求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，得出，所以數(shù)列遞增．對(duì)于B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)分析知，所以不存在使．對(duì)于C選項(xiàng)：要證，構(gòu)造，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，得出，從而證明不等式成立．對(duì)于D選項(xiàng)：由C，取倒數(shù)后構(gòu)造數(shù)列，再用累加法求和計(jì)算證明即可.【詳解】設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)可得．因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增．已知，則，依次有，,，設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞減．則，即，所以為遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確．

由上述分析可知，所以不存在，使得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．

要證，即證．設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)得．令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞減．則，所以在上單調(diào)遞增．所以，即，所以，，C選項(xiàng)正確.由選項(xiàng)C知，移項(xiàng)可得，兩邊同時(shí)乘以得.兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，移項(xiàng)可得.因?yàn)椋?，?利用累加法：.已知，則，所以，兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，移項(xiàng)可得，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則__________.【答案】【解析】【分析】先由正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后得到.【詳解】，由正弦定理可得，，又由余弦定理可得，，，.故答案為：.13.已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則的值域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】通過(guò)賦值法求得，以及的解析式，再求其值域即可.【詳解】對(duì)，令，則，解得；對(duì)，令，則，又為偶函數(shù)，，故，解得；又，故其值域?yàn)?故答案為：.14.設(shè)點(diǎn)在“笑口”型曲線上，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】##-0.125【解析】【分析】分和兩種情況去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，利用二次函數(shù)求最值即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，平方得，即，此時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，即，平方得，即，此時(shí)，綜上，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查含絕對(duì)值的曲線方程，解題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值，得到不含絕對(duì)值的曲線方程.本題中將獲得的新曲線方程代入，消元后可得到所求的最小值.四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）記的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）的信息，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理確定的值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，即，則所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，切線方程為所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.16.已知數(shù)列滿足（1）記，求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，求滿足的所有正整數(shù)的值.【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件判斷數(shù)列的類(lèi)型，再用等比數(shù)列定義證明即可；（2）先運(yùn)用等比數(shù)列公式求，再求出的表達(dá)式，進(jìn)而求出的表達(dá)式，最后根據(jù)其單調(diào)性確定滿足條件的正整數(shù)的取值．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)樗詳?shù)列是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以，所以，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以正整數(shù)的所有取值為.17.已知橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)為的左、右頂點(diǎn)，在過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線上任取一點(diǎn)，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為（異于），作，垂足為.記和的面積分別為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，代入，得到方程組，求出，得到答案；（2）設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)相切，由根的判別式得到方程，求出，求出，，表達(dá)出直線的方程為，設(shè)與交于點(diǎn)，求出，所以，為中點(diǎn)，得到答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知，且過(guò)點(diǎn)，即，解得，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，直線的方程為，代入的方程得.因?yàn)橹本€與相切，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以，代入直線的方程得，設(shè)與交于點(diǎn)，又，直線的方程為，因?yàn)?，代入直線的方程得，所以，所以為中點(diǎn).因此點(diǎn)到直線的距離相等，所以.18.如圖，在四面體中，，記二面角為分別為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)在四面體內(nèi)有一個(gè)半徑為的球，若，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，即可得到，從而得到平面，即可得證；（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；（3）設(shè)在平面內(nèi)的射影為，即可得到點(diǎn)到平面的距離，即可求出四面體的體積，再求出四面體的表面積，即可求出四面體的內(nèi)切球半徑，即可得證.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，又分別為的中點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）知是二面角的平面角，所以.如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榕c的面積為，設(shè)在平面內(nèi)的射影為，即平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，所以點(diǎn)到平面的距離，因此四面體的體積為.又，平面，所以，所以到直線的距離等于，所以邊的高，所以的面積，注意到，因此的面積也為，所以四面體的表面積為，因此四面體的內(nèi)切球半徑，所以，即.19.某科技公司招聘技術(shù)崗位人員一名.經(jīng)初選，現(xiàn)有來(lái)自國(guó)內(nèi)三所高校的10名應(yīng)屆畢業(yè)生進(jìn)入后面試環(huán)節(jié).其中校和校各4名，校2名，10名面試者隨機(jī)抽取1，2，3，...10號(hào)的面試序號(hào).（1）若來(lái)自校的4名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，且，來(lái)自校的4名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，且，來(lái)自校的2名畢業(yè)生的面試序號(hào)分別為，，且.（i）求概率；（ii）記隨機(jī)變量，求的均值.（2）經(jīng)面試，第位面試者的面試得分為，且他們的面試得分各不相等，公司最終錄用得分最高者.為提高今后面試效率，現(xiàn)人事部門(mén)設(shè)計(jì)了以下面試錄用新規(guī)則：，且，集合中的最小元素為，最終錄用第位面試者.如果以新規(guī)則面試這10名畢業(yè)生，證明：面試得分第一?二（按得分從高到低排）的兩名畢業(yè)生之一被錄用的概率不小于0.59.【答案】（1）（i）；（ii）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，直接求解即可；先求得的取值，再根據(jù)期望計(jì)算公式，直接計(jì)算即可；（2）分別計(jì)算錄用面試第一名，和第二名的概率，即可證明.【小問(wèn)1詳解】（i），（ii）的可能取值為，則，所以【小問(wèn)2詳解】①第一種情況，錄用了面試得分第一的人.若面