第13講 雙曲線(xiàn)（十大題型）（解析版）

第13講雙曲線(xiàn)【題型歸納目錄】題型一：雙曲線(xiàn)的定義、條件題型二：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題題型四：軌跡方程題型五：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題型六：求雙曲線(xiàn)的離心率題型七：求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍題型八：由雙曲線(xiàn)離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：雙曲線(xiàn)中的范圍與最值問(wèn)題題型十：焦點(diǎn)三角形【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線(xiàn)的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線(xiàn)的焦距．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、雙曲線(xiàn)的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；2、若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿(mǎn)足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線(xiàn)中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線(xiàn)中靠焦點(diǎn)的一支；3、若常數(shù)滿(mǎn)足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)（包括端點(diǎn)）；4、若常數(shù)滿(mǎn)足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5、若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)．知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中橢圓、雙曲線(xiàn)的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線(xiàn)根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線(xiàn)的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線(xiàn)．當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，雙曲線(xiàn)的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式．此時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．4、雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線(xiàn)本身所確定的，分別表示雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2．5、雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．6、對(duì)于雙曲線(xiàn)，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)三：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍雙曲線(xiàn)上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線(xiàn)x=-a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的．因此雙曲線(xiàn)上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x≤-a或x≥a．對(duì)稱(chēng)性對(duì)于雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的中心．頂點(diǎn)①雙曲線(xiàn)與它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)．②雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線(xiàn)兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)．③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線(xiàn)段A1A2叫作雙曲線(xiàn)的實(shí)軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線(xiàn)段B1B2叫做雙曲線(xiàn)的虛軸．實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b．a(chǎn)叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)．①雙曲線(xiàn)只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線(xiàn)的虛軸與橢圓的短軸混淆．②雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上．③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)．離心率①雙曲線(xiàn)的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線(xiàn)的離心率，用e表示，記作．②因?yàn)閏＞a＞0，所以雙曲線(xiàn)的離心率．由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線(xiàn)的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線(xiàn)開(kāi)口就越開(kāi)闊．所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線(xiàn)開(kāi)口的大小程度．③等軸雙曲線(xiàn)，所以離心率．漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線(xiàn)x=±a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線(xiàn)y=±b，四條直線(xiàn)圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程是．我們把直線(xiàn)叫做雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)；雙曲線(xiàn)與它的漸近線(xiàn)無(wú)限接近，但永不相交．知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=離心率漸近線(xiàn)方程知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)弘p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．對(duì)于雙曲線(xiàn)，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)（1）已知雙曲線(xiàn)方程求漸近線(xiàn)方程：若雙曲線(xiàn)方程為，則其漸近線(xiàn)方程為已知雙曲線(xiàn)方程，將雙曲線(xiàn)方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線(xiàn)方程．（2）已知漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)方程：若雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為，則可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，根據(jù)已知條件，求出即可．（3）與雙曲線(xiàn)有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)等軸雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，為，因此等軸雙曲線(xiàn)可設(shè)為．知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線(xiàn)中a，b，c的幾何意義及有關(guān)線(xiàn)段的幾何特征：雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線(xiàn)本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2．雙曲線(xiàn)，如圖：（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；【典例例題】題型一：雙曲線(xiàn)的定義、條件【例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于的點(diǎn)的軌跡是（

）A．雙曲線(xiàn) B．兩條射線(xiàn) C．一條線(xiàn)段 D．一條直線(xiàn)【答案】B【解析】如圖：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，則若在線(xiàn)段（不包含兩端點(diǎn)）上，有；若在直線(xiàn)外，有；若在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上或線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上（均包含兩端點(diǎn)），則有.故選：B【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于6的點(diǎn)的軌跡（

）A．橢圓 B．直線(xiàn) C．雙曲線(xiàn) D．兩條射線(xiàn)【答案】D【解析】因?yàn)椋?，故的軌跡是已、為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)，故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線(xiàn) B．雙曲線(xiàn)左支C．雙曲線(xiàn)右支 D．一條射線(xiàn)【答案】C【解析】因?yàn)榈膸缀我饬x是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，又因?yàn)?，所以由雙曲線(xiàn)的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)右支．故選：C【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·四川成都·高二成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）方程所表示的曲線(xiàn)是（

）A．圓的一部分 B．橢圓的一部分C．雙曲線(xiàn)的一部分 D．直線(xiàn)的一部分【答案】C【解析】方程兩邊平方后可整理出雙曲線(xiàn)的方程，由于的值只能取大于等于1的數(shù)，推斷出方程表示的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一部分．兩邊平方，可變?yōu)?，即，表示的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)的一部分；故選：C．題型二：求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023·廣東揭陽(yáng)·高二惠來(lái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解答下列兩個(gè)小題：(1)雙曲線(xiàn)：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，求的方程；(2)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】（1）雙曲線(xiàn)半焦距為c，由離心率，得，即，又，即，雙曲線(xiàn)的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入此方程得，解得．所以雙曲線(xiàn)的方程為．（2）依題意，設(shè)橢圓方程為：，因?yàn)闄E圓的焦距為，則橢圓的半焦距，即有，又橢圓過(guò)點(diǎn)，因此，整理得：，解得：，則，所以橢圓方程為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求與雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程可得，因此，所求雙曲線(xiàn)的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·四川成都·高二?？计谥校┣鬂M(mǎn)足下列條件的曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是、，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10的橢圓方程；(2)已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，焦距為10．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的和是10，故，∴，又∵，∴，∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸時(shí)，可設(shè)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸時(shí)，可設(shè)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二單元測(cè)試）求適合下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為，其離心率；(2)漸近線(xiàn)方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(3)雙曲線(xiàn)：離心率為，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，求的方程；(4)雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為，且雙曲線(xiàn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題知：，解得，所以雙曲線(xiàn)方程為：；（2）由漸近線(xiàn)方程為，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：，將代入，解得，所以雙曲線(xiàn)方程為：；（3）由，得，即，又，即，雙曲線(xiàn)的方程即為，點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為；（4）橢圓的焦點(diǎn)為，則，設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，所以，且，所以，，所以雙曲線(xiàn)的方程為.題型三：雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題【例3】（2023·新疆喀什·高二?？计谀┮阎獧E圓的左、右焦點(diǎn)分別為F?，F(xiàn)?，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足||MF?|-|MF?||=4.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程：(2)已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，當(dāng)點(diǎn)M與A，B不重合時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.【解析】（1）由橢圓知：所以左、右焦點(diǎn)分別為因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足||MF?|-|MF?||=4所以動(dòng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上，設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)方程為：由雙曲線(xiàn)的定義得：所以所以動(dòng)點(diǎn)設(shè)方程為：（2）設(shè)則由所以所以.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·江蘇徐州·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)．(1)設(shè)F是C的左焦點(diǎn)，M是C右支上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)設(shè)斜率為的直線(xiàn)l交C于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：．【解析】（1）由雙曲線(xiàn)，可得，∴，設(shè)，則，∴，∴，又M是C右支上一點(diǎn)，故，∴，即；（2）設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為，因直線(xiàn)PQ與已知圓相切，故，即，由，得，設(shè)、，則，又，所以，所以．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)?依次為雙曲線(xiàn)（，）的左?右焦點(diǎn)，且，.(1)若，以為法向量的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，求到的距離；(2)設(shè)雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一?三象限的漸近線(xiàn)為，若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求雙曲線(xiàn)的離心率.【解析】（1）由題意，，，則，，直線(xiàn)的方程為.所以，點(diǎn)到的距離為.（2）由題意，，，其中，，則直線(xiàn)的斜率.雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，其斜率為.因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以.代入可得，，又因?yàn)?，所以，兩邊同除以，可得，解?又因?yàn)?，所?【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·四川資陽(yáng)·高二?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)C：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)方程；(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）由題意可知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為和，根據(jù)定義有．，又，所以，，．所求雙曲線(xiàn)的方程為．（2）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的方程為，所以漸近線(xiàn)方程為；由，消去整理得．①當(dāng)即時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于一點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)即時(shí)，由，解得，此時(shí)直線(xiàn)雙曲線(xiàn)相切于一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意．綜上所述：符合題意的的所有取值為，．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（多選題）（2023·安徽合肥·高二?？计谀┮阎p曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該雙曲線(xiàn)的離心率為B．若，則的面積為C．點(diǎn)到兩漸近線(xiàn)的距離乘積為D．直線(xiàn)和直線(xiàn)的斜率乘積為【答案】ACD【解析】由雙曲線(xiàn)方程得，，，雙曲線(xiàn)的離心率為，A正確；若，不妨設(shè)，，，B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)到兩漸近線(xiàn)的距離乘積為，C正確；，，，D正確；故選：ACD【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】（多選題）（2023·湖北十堰·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若是橢圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)，且，共焦點(diǎn)，，，，的離心率分別為，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．， B．C．若，則 D．若，則的最小值為2【答案】BC【解析】依題意，，解得，A不正確；令，由余弦定理得：，因?yàn)樵跈E圓中，在雙曲線(xiàn)中，，所以，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，所以，，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，即，所以，，有，因?yàn)?，所以，，解得，D不正確；故選：BC題型四：軌跡方程【例4】（2023·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】由知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)下支，得，，，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．故答案為：．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·上海浦東新·高二?？计谀┮阎S上兩點(diǎn)，則平面內(nèi)到這兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為8的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______【答案】【解析】由題，動(dòng)點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸為的雙曲線(xiàn)，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：，右焦點(diǎn)為，則，故.則雙曲線(xiàn)方程為：.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是______．【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與圓外切，所以，，，所以，所以，由雙曲線(xiàn)的定義得的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)的右支，因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)為，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，即故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·河北石家莊·高二河北新樂(lè)市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）已知圓M與圓C1：和圓C2：一個(gè)內(nèi)切一個(gè)外切，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】當(dāng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，，，當(dāng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)，，，所以，點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)，設(shè)軌跡方程為，，，則，所以軌跡方程為.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·遼寧本溪·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的方程為，其左?右頂點(diǎn)分別為，一條垂直于軸的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】由題意知，設(shè)直線(xiàn)為，，由三點(diǎn)共線(xiàn)及三點(diǎn)共線(xiàn)，得，兩式相乘化簡(jiǎn)，得，又，所以，即，又，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·浙江杭州·高二杭州四中校考期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：雙曲線(xiàn)的兩條互相垂直切線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡方程為：，這個(gè)圓被稱(chēng)為蒙日?qǐng)A.若某雙曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，則___________.【答案】2【解析】由雙曲線(xiàn)的方程可得，由蒙日?qǐng)A的定義可得雙曲線(xiàn)對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程，所以，即，可得.故答案為：2.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·廣西百色·高二階段練習(xí)）設(shè)P為雙曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)____________．【答案】【解析】設(shè)，，則，即，又，則，整理得，即點(diǎn)M的軌跡方程為.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，圓，點(diǎn)，動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)F，且與圓E內(nèi)切于點(diǎn)M，則動(dòng)圓P的圓心P的軌跡方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】圓的方程為，圓心為，半徑．設(shè)動(dòng)圓圓心為，動(dòng)圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，，的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支，其中，得，而，，故所求軌跡方程為．故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·高二單元測(cè)試）已知雙曲線(xiàn)，、是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，是的平分線(xiàn)，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)______．【答案】【解析】延長(zhǎng)，交于，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，因?yàn)镸是雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，所以，又因?yàn)镻是的中點(diǎn)，O是的中點(diǎn)，所以，所以P的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，所以點(diǎn)P的軌跡方程為．故答案為：.題型五：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【例5】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線(xiàn)段四等分，則該雙曲線(xiàn)的焦距為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)槭请p曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)的左?右頂點(diǎn)和原點(diǎn)把線(xiàn)段四等分，所以，即，即，又因?yàn)?，解得，所以c=2，所以該雙曲線(xiàn)的焦距為.故選：D【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，由于焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的離心率為，則它的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，因?yàn)椋?，則，所以漸近線(xiàn)方程為.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市八中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，若雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為12，則雙曲線(xiàn)C的焦距為（

）A．30 B．24 C．15 D．12【答案】A【解析】依題意，右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，解得，所以雙曲線(xiàn)C的焦距為30.故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，又；故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·四川瀘州·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為，得，則，即，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即.故選：D.題型六：求雙曲線(xiàn)的離心率【例6】（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)到一條漸近線(xiàn)的距離為3，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意雙曲線(xiàn)方程為C：，可知，，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其中一條漸近線(xiàn)的方程為，故右焦點(diǎn)到該漸近線(xiàn)的距離，所以，所以，故答案為：．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線(xiàn)的左支上存在一點(diǎn)，使得與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)垂直于點(diǎn)，且，則此雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為：，，一條漸近線(xiàn)方程為，可得到漸近線(xiàn)的距離為，，則，，在直角三角形中，，在中，可得，化為，即有.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·湖北·高二鄖陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作．該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線(xiàn)的一部分，設(shè)該雙曲線(xiàn)的方程為，右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________．【答案】/【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為點(diǎn)，連接，設(shè)，則，由雙曲線(xiàn)的定義可得，由于，則,又，則四邊形為矩形，在中，由勾股定理得，即，解得，在中，由勾股定理得，即，．故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）已知分別是雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)上，為等腰三角形，，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)__________.【答案】【解析】由題知，過(guò)作軸于，則，，，解得，故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·四川德陽(yáng)·高二四川省廣漢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)別為和，其右支上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足，且的面積為3，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】由雙曲線(xiàn)中焦點(diǎn)三角形面積，所以，，則，故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）已知圓與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切，且圓心到雙曲線(xiàn)左頂點(diǎn)的距離為，則該雙曲線(xiàn)的離心率是__________．【答案】2【解析】由，得圓心為，半徑為，設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，則雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，又圓與該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切，所以圓心到漸近線(xiàn)的距離為半徑，所以圓心即雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，即.雙曲線(xiàn)左頂點(diǎn)為，由題意得，由，得，解得，所以該雙曲線(xiàn)的離心率是.故答案為：2.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·北京東城·高二北京市第五中學(xué)校考期中）雙曲線(xiàn)C：的漸近線(xiàn)與直線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，且，那么雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)___.【答案】【解析】由雙曲線(xiàn)的方程可得，且漸近線(xiàn)的方程為：，與聯(lián)立可得，所以，由題意可得，解得，又，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·陜西榆林·高二陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心，OF為半徑的圓與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)相交于O，A兩點(diǎn)，若的面積等于2，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】如圖，設(shè)以F為圓心，OF為半徑的圓與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，過(guò)F作交OA于點(diǎn)M，則M為OA的中點(diǎn)，因?yàn)镺A為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，其方程為，即，所以，所以，，所以的面積為，所以，所以雙曲線(xiàn)的離心率，故答案為：．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線(xiàn)(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為該雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)?|PF1|＝3|PF2|，所以由雙曲線(xiàn)的定義知，|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a．在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos60°，化簡(jiǎn)整理得到，故．故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，直線(xiàn)與圓相切，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，設(shè)直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)M，則，，取的中點(diǎn)N，連接，由，可得，則，，可得，且為的中點(diǎn)，則，故，即有，由雙曲線(xiàn)的定義可得，即，則，可得，即，解得，即．故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·陜西安康·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，，C上一點(diǎn)到軸的距離為，，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.【答案】/【解析】設(shè)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，，，則，在中，由余弦定理得，即，即.∴的面積為，化簡(jiǎn)得，同除以可得，解得（負(fù)的舍去）故答案為：題型七：求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍【例7】（2023·貴州黔東南·高二凱里一中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)，若過(guò)右焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意知，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，要使直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的斜率小于直線(xiàn)的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因?yàn)殡p曲線(xiàn)中，所以雙曲線(xiàn)的離心率的范圍是，故答案為：．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35】（2023·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，若雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，等價(jià)為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率，即，即，即，即，則，則，，離心率滿(mǎn)足，即雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練36】（2023·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）已知，分別是雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn).若雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)使得，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖所示，，所以，所以，又因?yàn)椋?，即，所以離心率，所以雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為，故答案為:.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練37】（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】聯(lián)立方程，消去x得：所以，即，解得，設(shè)，則可得，取雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，連結(jié)，由對(duì)稱(chēng)性知四邊形為平行四邊形，由可得，∵，則，∴，則即，整理得，解得，綜上可得：.故雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練38】（2023·遼寧錦州·高二?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支上，滿(mǎn)足，，又直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的左、右兩支各交于一點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)?，故，由雙曲線(xiàn)定義可得，由勾股定理知：，整理得，，又，，，故，，解得，直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的左、右兩支各交于一點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率，所以，所以.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練39】（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？计谥校┮阎行脑谠c(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別是F?、F?，這兩條曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF?F?是以PF?為底邊的等腰三角形，若|PF?|=10，橢圓與雙曲線(xiàn)的離心率分別為e?、e?，則e?e?的取值范圍是_____.【答案】．【解析】設(shè)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，則，，在第一象限，則，∴，，，，，又，∴，∴，，，則，．故答案為：．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練40】（2023·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線(xiàn)C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支交于A，B兩點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為_(kāi)______________.【答案】【解析】由題可知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由于過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的右支交于A，B兩點(diǎn)，則，因此，，又，所以，該雙曲線(xiàn)的離心率為取值范圍是.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練41】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若雙曲線(xiàn)上存在一點(diǎn)滿(mǎn)足以為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，，又，則，即，得，∴，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：．題型八：由雙曲線(xiàn)離心率求參數(shù)的取值范圍【例8】（2023·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，，若C的離心率為，則的值為_(kāi)_____．【答案】3【解析】由及雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，，因?yàn)?，在中，由余弦定理可得，即，所以，即，解得或（舍去?故答案為：3【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練42】（2023·江蘇·高二統(tǒng)考期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，已知雙曲線(xiàn)的離心率，則的取值范圍為_(kāi)____________【答案】【解析】因?yàn)楸硎倦p曲線(xiàn)的方程，所以有，因此，因?yàn)?，所以由，即k的取值范圍為，故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練43】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的離心率為，則的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練44】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若雙曲線(xiàn)的離心率不大于，則C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，解得，則，故虛軸長(zhǎng).故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練45】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意，社區(qū)向的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，且焦點(diǎn)在y軸上，可得＝，則＝＝，整理得＝，解得＝，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練46】（2023·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則點(diǎn)到的漸近線(xiàn)的距離為_(kāi)_____.【答案】3【解析】由題意，雙曲線(xiàn)的離心率為2，即，解得，所以雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的方程為，即，所以點(diǎn)到的漸近線(xiàn)的距離為.題型九：雙曲線(xiàn)中的范圍與最值問(wèn)題【例9】（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谀┤酎c(diǎn),在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上,且的面積為1（為坐標(biāo)原點(diǎn)）,則長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)______.【答案】2【解析】解:由題知雙曲線(xiàn)方程為,所以雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為,故兩條漸近線(xiàn)斜率之積為-1,即兩漸近線(xiàn)垂直,故為直角三角形,記,所以,因?yàn)槿切蔚拿娣e為1,所以,即,解得,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,故長(zhǎng)度的最小值為2.故答案為:2【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練47】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)A是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】8【解析】由雙曲線(xiàn)C：，可得，，所以，所以，，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，所以，由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可知：，令，則，所以，記，設(shè)，則，所以，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)（1，0）．故答案為：8．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練48】（2023·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市八中?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)的方程為，如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，則的最小值為_(kāi)______．【答案】/【解析】雙曲線(xiàn)的方程為，則，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)為、，，圓心為，半徑為，則，當(dāng)、、共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立；又，當(dāng)、、共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為，故答案為:．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練49】（2023·福建福州·高二福建省福州第二中學(xué)?？计谀┯幸煌雇哥R其劑面圖（如圖所示）是由橢圓和雙曲線(xiàn)的實(shí)線(xiàn)部分組成，已知兩曲線(xiàn)有共同焦點(diǎn)M，N，動(dòng)點(diǎn)A，B分別在左右兩部分實(shí)線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則△ANB周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____________【答案】【解析】由題意，雙曲線(xiàn)，可得，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得，即，又由橢圓，可得，根據(jù)橢圓的定義可得，所以，所以周長(zhǎng)為,故周長(zhǎng)的最小值為，其中三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練50】（2023·北京·高二期中）已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到B的距離多2，則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為_(kāi)__________.【答案】4【解析】點(diǎn)，，且動(dòng)點(diǎn)M到A的距離比到B的距離多2，所以，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)右側(cè)一支，則動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和，當(dāng)且僅當(dāng)M，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以動(dòng)點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和的最小值為4.故答案為：4.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練51】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)為．若已知點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則的最小值是______．【答案】3【解析】由題意，可知，∴，∴雙曲線(xiàn)的方程為．由，得，∴．又或，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，為3．故答案為：3.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練52】（2023·江西宜春·高二上高二中?？计谀┦请p曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】9【解析】由題意，圓的圓心為，半徑為2，的圓心為，半徑為1，故雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)即為兩圓圓心.所以的最大值即：的最大值減去的最小值.的最大值為，的最小值為，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得兩者相減得.故答案為：9【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練53】（2023·廣西桂林·高二桂林中學(xué)校考期中）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右支各有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由，可得，依題意有，解得.故答案為：.題型十：焦點(diǎn)三角形【例10】（2023·安徽滁州·高二校考期末）若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】聯(lián)立方程得,①若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支交于不同的兩點(diǎn)，則方程①有兩個(gè)不等的負(fù)根.所以解得.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練54】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)=1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，且，則△的面積為_(kāi)___.【答案】16【解析】雙曲線(xiàn)，所以，，所以，，

是雙曲線(xiàn)左支上的點(diǎn)，，，在△中，由余弦定理得，，△的面積為.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練55】（2023·上海普陀·高二?？计谥校c(diǎn)為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，、為左、右焦點(diǎn)，若，則的面積是__．【答案】【解析】由題意得，，且，由余弦定理得，所以,所以的面積,故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練56】（2023·江蘇泰州·高二靖江高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C與雙曲線(xiàn)E：有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)M是橢圓C與雙曲線(xiàn)E的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________．【答案】【解析】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦半距為.令，，即因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線(xiàn)E上，所以即,，即又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以，即.因?yàn)闄E圓C與雙曲線(xiàn)E：有相同的焦點(diǎn)，，所以，，所以橢圓方程為.故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練57】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)分別是雙曲線(xiàn)的下、上焦點(diǎn)，若點(diǎn)是雙曲線(xiàn)下支上的點(diǎn)，且，則的面積為_(kāi)_______.【答案】16【解析】因?yàn)槭请p曲線(xiàn)下支上的點(diǎn)，所以，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==0，所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16故答案為：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練58】（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？计谥校┮阎?，為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，，則______．【答案】/【解析】，，則，，，.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練59】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，過(guò)左焦點(diǎn)交雙曲線(xiàn)左支于A、B兩點(diǎn)，若則等于________.【答案】8【解析】雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)過(guò)左焦點(diǎn)交雙曲線(xiàn)左支于A、B兩點(diǎn)，則，又,則故答案為：8【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期末）若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，實(shí)軸長(zhǎng)為，且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題可得，解得，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程＋＝1表示的曲線(xiàn)是（

）A．焦點(diǎn)為點(diǎn)(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓B．焦點(diǎn)為點(diǎn)(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓C．焦點(diǎn)為點(diǎn)(－3,0)與(3,0)，離心率為的橢圓D．焦點(diǎn)為點(diǎn)(0,－3)與(0,3)，離心率為的橢圓【答案】B【解析】由方程可知，它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且a＝5，b＝4，∴c＝3，所以橢圓的焦點(diǎn)為F1(0,－3)，F(xiàn)2(0,3)，離心率為．故選：B.3．（2023·江西·高二校聯(lián)考期中）若方程表示雙曲線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程表示雙曲線(xiàn),則，解得或，故選：D4．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)的右支上，滿(mǎn)足軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且，則離心率（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，設(shè)M點(diǎn)為，代入，解得，又，故，則，即，即，又，解得．故選：C．5．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┮阎p曲線(xiàn)的離心率e是它的一條漸近線(xiàn)斜率的2倍，則e=（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由題意可知，，即，則，解得：，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選：C6．（2023·安徽滁州·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）若雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程得：，由雙曲線(xiàn)定義得:即，解得（舍去）或，故選：A.7．（2023·陜西漢中·高二校考期中）設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．若雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)l平行，另一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直，則雙曲線(xiàn)C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，直線(xiàn)的方程為，即直線(xiàn)的斜率為，又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為，所以，，因?yàn)?，解得．故選：D．8．（2023·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線(xiàn)的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，設(shè)，則點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離.由雙曲線(xiàn)的定義可得，故，所以，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解?故選：A.

二、多選題9．（2023·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市一中校考期末）若，則方程可以表示下列哪些曲線(xiàn)（

）A．橢圓 B．雙曲線(xiàn) C．拋物線(xiàn) D．圓【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，，方程表示雙曲線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，方程為，即，表示兩條直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，當(dāng)時(shí)，，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，當(dāng)時(shí)，，方程表示圓.故選：ABD10．（2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)，左、右焦點(diǎn)為，為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則下列正確的是（

）A．離心率為 B．漸近線(xiàn)方程為C．虛軸長(zhǎng)為4 D．若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，已知雙曲線(xiàn)，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以漸近線(xiàn)方程為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，虛軸長(zhǎng)，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由定義可知，若，則或（舍），D選項(xiàng)正確；故選：BCD.11．（2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)校考期中）定義：以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線(xiàn)與原雙曲線(xiàn)互為共軛雙曲線(xiàn)，以下關(guān)于共軛雙曲線(xiàn)的結(jié)論正確的有（

）A．與共軛的雙曲線(xiàn)是B．互為共軛的雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)不相同C．互為共軛的雙曲線(xiàn)的離心率為，則D．互為共軛的雙曲線(xiàn)的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上【答案】CD【解析】對(duì)于A，根據(jù)共軛雙曲線(xiàn)的定義可知，與共軛的雙曲線(xiàn)是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的漸近線(xiàn)方程為，的漸近線(xiàn)方程也為，二者相同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可得，故，由于，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；對(duì)于D，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其共軛雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然這4個(gè)焦點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，D正確，故選：CD12．（2023·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)：與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn).若，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（

）A．雙曲線(xiàn)的離心率為B．雙曲線(xiàn)的方程為C．若，則的內(nèi)切圓面積為D．過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有3條【答案】ACD【解析】

如圖，設(shè)、與的內(nèi)切圓分別相切與兩點(diǎn)，所以，且，因?yàn)?，可得，雙曲線(xiàn)：與橢圓的焦點(diǎn)相同，所以，可得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為，故A錯(cuò)誤；所以雙曲線(xiàn)的方程為，故B正確；對(duì)于C，若，設(shè)，則，，由可得，解得，可得，由得，解得，即內(nèi)切圓的半徑為，則的內(nèi)切圓面積為故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，其方程為，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，可得，即直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)其方程為，與雙曲