《金融工程》 課件 第十四章 Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型

第十四講Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型及其應(yīng)用1《金融工程》2025/4/82主要內(nèi)容第一節(jié)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格建模第二節(jié)BSM期權(quán)定價(jià)公式第三節(jié)

波動(dòng)率的概念和計(jì)算第四節(jié)BSM模型的擴(kuò)展應(yīng)用32025/4/84歐式期權(quán)定價(jià)——軼事期權(quán)定價(jià)是一件非常具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。在20世紀(jì)的前面70多年里，眾多經(jīng)濟(jì)學(xué)家做出無數(shù)努力，試圖解決期權(quán)定價(jià)的問題，但都未能獲得令人滿意的結(jié)果。在探索期權(quán)定價(jià)的漫漫征途中，具有里程碑意義的工作出現(xiàn)在1973年——金融學(xué)家F.Black與M.Scholes發(fā)表了“期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債”的著名論文該論文推導(dǎo)出了確定歐式期權(quán)價(jià)值的解析表達(dá)式——Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)公式，探討了期權(quán)定價(jià)在估計(jì)公司證券價(jià)值方面的應(yīng)用，更重要的是，它采用的動(dòng)態(tài)復(fù)制方法成為期權(quán)定價(jià)研究的經(jīng)典方法M.Scholes主要因?yàn)檫@一工作與R.Merton一道榮膺了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)2025/4/85歐式期權(quán)定價(jià)——軼事巧合的是，國際上第一個(gè)期權(quán)交易所——芝加哥期權(quán)交易所于1973年4月底掛牌營業(yè)，略早于B-S公式的正式發(fā)表（5-6月號(hào)）兩位作者最先把論文投給JPE，遭到了編輯的拒絕，而且沒有得到審稿意見。拒絕的理由：金融太多，經(jīng)濟(jì)學(xué)太少他們于是向經(jīng)濟(jì)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)評(píng)論投稿，同樣在沒有得到審稿意見的情況下遭到拒絕這一番波折導(dǎo)致他們檢驗(yàn)B-S公式的論文發(fā)表在先6第一節(jié)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格建模

一、有效市場(chǎng)假說71965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說。該假說認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的81、弱式效率市場(chǎng)：證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。2、半強(qiáng)式效率市場(chǎng)：證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。3、強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說：不僅是已公布的信息，而且是所有可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒有用處。根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說。弱式有效市場(chǎng)假說暗含：91.未來價(jià)格變動(dòng)幅度與當(dāng)前價(jià)格及之前價(jià)格都無關(guān)－－獨(dú)立增量性未來價(jià)格只與當(dāng)前價(jià)格有關(guān)，與當(dāng)前價(jià)格之前的價(jià)格無關(guān)；－－馬爾可夫性（簡(jiǎn)稱馬氏性，也稱之為無記憶性）深證綜指收盤價(jià)時(shí)序圖10深證綜指收盤價(jià)對(duì)數(shù)收益時(shí)序圖11二、馬爾可夫過程馬氏過程是一類具有特殊性質(zhì)的過程，它可以是：離散的隨機(jī)過程：如我們的二叉樹；連續(xù)的隨機(jī)過程：如布朗運(yùn)動(dòng)(wiener過程)12三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布13M0.25的分布直方圖(Δt=0.01,模擬次數(shù)=1000)三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布14M0.25的分布直方圖(Δt=0.01,模擬次數(shù)=100000)三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布15M0.25的分布直方圖(Δt=0.0001,模擬次數(shù)=1000)三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布16M0.25的分布直方圖(Δt=0.0001,模擬次數(shù)=100000)四.布朗運(yùn)動(dòng)與股票價(jià)格相似性17股票價(jià)格VS布朗運(yùn)動(dòng)：弱勢(shì)有效市場(chǎng)股票價(jià)格具有馬氏性VS

布朗運(yùn)動(dòng)具有馬氏性和獨(dú)立增量性；股價(jià)走勢(shì)具有連續(xù)性，VS

布朗運(yùn)動(dòng)具有連續(xù)軌道；假設(shè)股價(jià)的同時(shí)間長(zhǎng)度的增長(zhǎng)率獨(dú)立同分布與布朗運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)獨(dú)立增量相符；大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量加和必然呈現(xiàn)正態(tài)特征；VS布朗運(yùn)動(dòng)的增量具有正態(tài)特征直觀比較18直觀上講，布朗運(yùn)動(dòng)的概念最初描述的是花粉顆粒在水中的運(yùn)動(dòng)（1826,英國植物學(xué)家布朗）；花粉由于相互碰撞和與介質(zhì)水分子的碰撞做出不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)路徑；股票價(jià)格的波動(dòng)來自于：投資者對(duì)股價(jià)的“碰撞”（類比于介質(zhì)分子的碰撞）；股票的內(nèi)在因素影響（市值大小，上市公司的行為、業(yè)績(jī)，類比于花粉顆粒的大小，花粉的密度等）；市場(chǎng)因素的影響（如利率，印花稅等，類比與水的溫度變化、水杯的晃動(dòng)）；因此在一定程度上與花粉顆粒的運(yùn)動(dòng)相仿。2025/4/819僅僅使用標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)去研究股票價(jià)格存在欠缺：1)股價(jià)不是圍繞0點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，其期望收益不為零；2)不同股票單位時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)是不同的，不是千篇一律的1標(biāo)準(zhǔn)差.3)股票價(jià)格恒為正值四.布朗運(yùn)動(dòng)與股票價(jià)格相似性設(shè)在實(shí)際概率環(huán)境下，股票價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即：20五.股票價(jià)格的隨機(jī)過程——GBM

geometricBrownianmotion

3.股票價(jià)格的隨機(jī)過程GBM21由Ito公式，股票價(jià)格的對(duì)數(shù)過程即為廣義Brown運(yùn)動(dòng)

22在無套利市場(chǎng)中，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，應(yīng)該成立

風(fēng)險(xiǎn)中性下的股價(jià)過程23故，在風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下，St的價(jià)格過程滿足：股票價(jià)格的解析式為：風(fēng)險(xiǎn)中性下的股價(jià)過程即：

風(fēng)險(xiǎn)中性與實(shí)際概率下的股價(jià)關(guān)系24

25第二節(jié)期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)－Black-Scholes-Merton(BSM)期權(quán)定價(jià)公式一、BSM期權(quán)定價(jià)公式假設(shè)26股價(jià)過程為幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）允許賣空交易無摩擦，即沒有交易成本、稅收等證券無限可分標(biāo)的資產(chǎn)不產(chǎn)生紅利不存在套利機(jī)會(huì)證券可以連續(xù)交易所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)利率同為常數(shù)二.Black-Scholes-Merton公式的推導(dǎo)2728歐式看漲期權(quán)的B-S-M公式歐式期權(quán)定價(jià)公式30匯總：無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)公式三、應(yīng)用31例14.1假設(shè)滬深300現(xiàn)貨指數(shù)，滬深300看漲指數(shù)期權(quán)2022年11月21日的信息如下:S=3800X=3750T-t=0.5年r=0.025波動(dòng)率＝0.20則：d1=0.253，d2=0.112，N(d1)=0.5999，N(d2)=0.5446C=SN(d1)-Xexp(-rT)N(d2)=262.732例：考慮一支不付紅利的股票，當(dāng)前價(jià)格是20，無風(fēng)險(xiǎn)利率為12%，股價(jià)收益波動(dòng)率為20%，現(xiàn)考慮以該股票為標(biāo)的，到期期限為12個(gè)月，執(zhí)行價(jià)格為21歐式看漲期權(quán)的定價(jià)。方法一、利用二叉樹模型估計(jì)看漲期權(quán)的價(jià)格，參見excel方法二、利用Black-Scholes公式求解33練習(xí)341、參數(shù)如例題，利用B-S公式求解執(zhí)行價(jià)為21，期限為1年的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值。2、鹽湖鉀肥07.6.14日股價(jià)為46.86,平均波動(dòng)率為50%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為3.06%，到期期限為0.025年，求以鹽湖鉀肥為標(biāo)的，執(zhí)行價(jià)為15.1元的鉀肥JTP1認(rèn)沽權(quán)證的價(jià)值.(N(－14.374)=0,N(-14.295)=0)35青海鹽湖鉀肥2007年6月1日公告(節(jié)選）

鑒于公司認(rèn)股認(rèn)沽權(quán)證鉀肥JTP1的行權(quán)價(jià)格15.1元與公司正股“鹽湖鉀肥（代碼：000792）”的二級(jí)市場(chǎng)價(jià)格的價(jià)差巨大，最近三個(gè)交易日鉀肥JTP1認(rèn)沽權(quán)證日換手率均超過1000％，如果截止2007年6月22日，公司正股收盤價(jià)在15.1元以上，鉀肥JTP1將沒有任何投資價(jià)值和行權(quán)價(jià)值，敬請(qǐng)廣大本公司權(quán)證投資者注意投資風(fēng)險(xiǎn)和行權(quán)風(fēng)險(xiǎn)。

???本公告前一交易日，鹽湖鉀肥的收盤價(jià)格為40.75元，“鉀肥JTP1”認(rèn)沽權(quán)證的行權(quán)價(jià)格為15.1元，內(nèi)在價(jià)值為0.000元。采用Black－Sholes公式，以本公告前一交易日鹽湖鉀肥收盤價(jià)格40.75元、鹽湖鉀肥股價(jià)波動(dòng)率49.90%、無風(fēng)險(xiǎn)利率3.06%計(jì)算，“鉀肥JTP1”認(rèn)沽權(quán)證的理論價(jià)值為0.000元。36四、BSM模型的金融學(xué)理解與貢獻(xiàn)37（一）BSM模型的金融學(xué)理解

四、BSM模型的金融學(xué)理解與貢獻(xiàn)38（一）BSM模型的貢獻(xiàn)與不足Black-Scholes模型為金融衍生品的定價(jià)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)其給出的歐式期權(quán)的解析定價(jià)公式提高了市場(chǎng)的定價(jià)效率，為場(chǎng)內(nèi)交易的期權(quán)提供了合理的理論價(jià)值參考。Black&Scholes提出的動(dòng)態(tài)套期保值的思想對(duì)于其他類型期權(quán)的定價(jià)，放松市場(chǎng)條件后的期權(quán)合理價(jià)格計(jì)算等都提供了重要的解決思路參考。Black-Scholes模型基于一系列假設(shè)條件在現(xiàn)實(shí)中并不總是成立；同時(shí)模型沒有考慮市場(chǎng)的微觀結(jié)構(gòu)。Black-Scholes模型對(duì)于一些更復(fù)雜的路徑依賴期權(quán)和提前行權(quán)的期權(quán)無法給出解析表達(dá)式，低于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)的情況也沒有討論。39第三節(jié)

波動(dòng)率的概念和計(jì)算一.波動(dòng)率的相關(guān)概念40波動(dòng)率是金融資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)程度，是對(duì)資產(chǎn)收益率不確定性的衡量，用于反映金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)水平。但資產(chǎn)的實(shí)際波動(dòng)率在市場(chǎng)中無法直接觀測(cè)的，因此經(jīng)常采取一些計(jì)算方法從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格或者衍生品價(jià)格信息中獲取實(shí)際波動(dòng)率的近似取值。二.歷史波動(dòng)率41

二.歷史波動(dòng)率42

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三.交易天數(shù)與日歷天數(shù)四、隱含波動(dòng)率與VIX指數(shù)44交易者可以很容易從屏幕上獲得某個(gè)看漲期權(quán)的信息：四個(gè)月后到期、執(zhí)行價(jià)格為100、當(dāng)前交易價(jià)格為6.51，其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)為101.5，短期利率是8%，我們能夠以某種方式用到這些信息嗎？45隱含波動(dòng)率（impliedvolatility）是代入到Black-Scholes公式中作為標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，使得最終求出的期權(quán)理論價(jià)格等于市場(chǎng)價(jià)格。從某種意義上講，這是市場(chǎng)對(duì)于期權(quán)整個(gè)生命周期中波動(dòng)率的觀點(diǎn)。46

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波動(dòng)率微笑與波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)48波動(dòng)率微笑曲線或者波動(dòng)率偏斜曲線：波動(dòng)率隨著執(zhí)行價(jià)格的變化而變化的模式波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)：相同執(zhí)行價(jià)格、不同到期日的期權(quán)合約的隱含波動(dòng)率構(gòu)成的曲線。波動(dòng)率曲面：既反映執(zhí)行價(jià)格影響，又反映期限影響的波動(dòng)率圖形。期權(quán)的重要貢獻(xiàn)之一就是提供了投資者對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)性的態(tài)度??！波動(dòng)率微笑與波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)49圖14.1波動(dòng)率微笑示意圖波動(dòng)率微笑與波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)50波動(dòng)率微笑與波動(dòng)率曲面51產(chǎn)生波動(dòng)率微笑的原因，可能來自以下幾個(gè)方面：1.實(shí)際標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。2.實(shí)際標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格可能產(chǎn)生跳躍。除此以外，投資者的交易偏好，市場(chǎng)價(jià)格漲跌的不對(duì)稱性，如投資者的暴跌恐懼癥也會(huì)導(dǎo)致不同執(zhí)行價(jià)的期權(quán)隱含波動(dòng)率有所差異。2025/4/852波動(dòng)率與VIX指數(shù)53第四節(jié)BSM模型的擴(kuò)展應(yīng)用一、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)

（一）有紅利率標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)設(shè)期權(quán)有效期內(nèi)連續(xù)紅利率為q，類似遠(yuǎn)期價(jià)格確定，將B-S公式中的S0替換成S0e-qT，為（一）有紅利率標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)例14.3.加曼－科爾哈根外匯期權(quán)定價(jià)公式56GarmanandKohlagen,1983

例14.457設(shè)美元對(duì)人民幣的即期匯率為1美元=7.0人民幣，美元的無風(fēng)險(xiǎn)利率為3.5%（連續(xù)復(fù)利），人民幣的無風(fēng)險(xiǎn)利率為1.5%（連續(xù)復(fù)利），美元兌人民幣的匯率年波動(dòng)率為10%，美元兌人民幣匯率波動(dòng)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，設(shè)存在6個(gè)月期，執(zhí)行價(jià)格為美元兌人民幣6.9的歐式看漲美元外匯期權(quán)，試計(jì)算該期權(quán)當(dāng)前的價(jià)格。（以1美元為例）例14.458

例14.559假設(shè)某投資者現(xiàn)在持有一份歐式看跌期權(quán)合約，該合約將在1年后到期。其標(biāo)的股票在期權(quán)持有期內(nèi)連續(xù)支付股息，其年紅利率為4%。該股票當(dāng)前的價(jià)格為50元，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為50元，股票價(jià)格的年化波動(dòng)率為20%，市場(chǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。求該歐式看跌期權(quán)合約的價(jià)格。例14.560

設(shè)期權(quán)有效期內(nèi)現(xiàn)金紅利的現(xiàn)值為I，類似遠(yuǎn)期價(jià)格確定，將B-S公式中的S0替換成S0–I，為一、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)（二）支付現(xiàn)金紅利資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)例14.662假設(shè)某投資者現(xiàn)在持有一份歐式看漲期權(quán)合約，該合約將在1年后到期。在此期間，標(biāo)的股票分別在3個(gè)月后、6個(gè)月后和9個(gè)月后各支付定額現(xiàn)金紅利，每次支付的金額為1.5元。該股票當(dāng)前的價(jià)格為50元，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為50元，股票價(jià)格的年化波動(dòng)率為20%，市場(chǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。求該期權(quán)合約當(dāng)前的理論價(jià)格。例14.563

例14.5續(xù)

64二、權(quán)證定價(jià)65權(quán)證在我國分為股本權(quán)證和備兌權(quán)證，備兌權(quán)證類似于股票期權(quán)；股本權(quán)證類似國外的權(quán)證，由股票發(fā)行公司發(fā)行，認(rèn)股權(quán)證的行駛需要發(fā)行新股，增加股票數(shù)量，因此此種權(quán)證的發(fā)行會(huì)導(dǎo)致股價(jià)下降，但仍然可以使用BSM公式。權(quán)證定價(jià)分析

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67權(quán)證定價(jià)分析68

行權(quán)收益為：

行權(quán)收益為：該價(jià)格會(huì)體現(xiàn)在權(quán)證發(fā)行后股票價(jià)格的波動(dòng)上

權(quán)證定價(jià)分析69例14.7

某公司共發(fā)行100萬股股票，每股價(jià)格為40美元，該公司正在考慮發(fā)行20萬份權(quán)證，每份權(quán)證給權(quán)證持有者在5年后可以以每股60美元的價(jià)格買入股票的權(quán)利。假定無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利為每年3%，波動(dòng)率為每年30%，公司不支付股息，則公司發(fā)行權(quán)證的消息公布后，公司股價(jià)會(huì)變動(dòng)多少？70

三、信用風(fēng)險(xiǎn)度量KMV模型71核心：沿用merton模型，把企業(yè)與銀行的借貸關(guān)系視為期權(quán)買賣關(guān)系，借貸關(guān)系中的信用風(fēng)險(xiǎn)信息隱含在這種期權(quán)交易之中，從而通過應(yīng)