2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】

專題4.5平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【八大題型】

【新高考專用】

1、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

平面向量的數(shù)量積是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，試題主要以選擇題、填空題的形式呈

現(xiàn)，其中平面向量的數(shù)量積、夾角、模與垂直條件等知識(shí)是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，難度中等，有時(shí)會(huì)與

三角函數(shù)、平面幾何等相結(jié)合命題.學(xué)生在高考復(fù)習(xí)中應(yīng)注意加強(qiáng)對(duì)向量的數(shù)量積、數(shù)量積的坐標(biāo)表示的掌

握，能靈活求解.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的求解方法】

1.平面向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法

(1)基底法：當(dāng)已知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)

計(jì)算問題；

(2)坐標(biāo)法：當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.

【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)量積的兩大應(yīng)用】

1.夾角與垂直

->a?b

根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若6為非零向量，則cos6=(夾角公式),＜2_1_心臺(tái)＜2-心=0等,

可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度、垂直問題.

2.向量的模的求解思路：

(1)坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；

⑵公式法：利用同=及G±92=?才±21I+同2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算;

(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利

用余弦定理等方法求解.

【知識(shí)點(diǎn)3向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的方法和思想】

1.向量數(shù)量積綜合應(yīng)用的三大解題方法

(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)

的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決.

(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來(lái)

進(jìn)行求解.

(3)利用向量運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以

向量為載體考查三角形問題時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用.

【知識(shí)點(diǎn)4極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過(guò)程與幾何意義

⑴平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和:

|Z+W+|1石|2二2（|￡/+|W）.

證明：不妨設(shè)A5=a,AD=Z?,貝|AC=Q+B,DB=a—bf

2222

IAC|=AC=（a+5）=|a|+2a-b+\^?，

\DB[=DB2=（^-b^=\^-2a-b+麻②，

①②兩式相加得：

|AC|2+|DB|2=2（麻+陽(yáng)=2（網(wǎng)2+

⑵極化恒等式：

上面兩式相減，得：＞刃=曲2+研2-"際]--------極化恒等式

平行四邊形模式：a-5=^[|AC|2-|DB|2].

(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的L

4

【方法技巧與總結(jié)】

1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

⑴G—司=藍(lán)—工

/->2->2——今2

⑵(a±6)=a±2〃?〃+1.

2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

(1)若。與方的夾角為銳角，則。?%>()；若a?6>0,貝必與b的夾角為銳角或0.

4->->->->->->->

(2)若a與人的夾角為鈍角，則a?b<0；若a?60,貝!I。與6的夾角為鈍角或兀.

->

>->(i?h6

3.向量。在向量6上的投影向量為節(jié)/-

-,>

?舉一反三

【題型1平面向量的數(shù)量積】

【例1】(2024.廣東.一模)已知商訪的夾角為150。，且同=2,同=k，則0+2均不=()

A.-9B.-3C.3D.9

【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.

【解答過(guò)程】0+2司)=江/+2同2

=|a|-|b|?cosl500+2\b\

=2.存(￥)+2?(⑹2=3

故選：C.

【變式1-1](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)平面向量日=(4,2),b=(m,1),若2與3不能作為平面向量的一

組基底，貝必不=()

A.2B.10C.-6D.0

【解題思路】由條件，結(jié)合基底的定義列方程可求小，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求港3.

【解答過(guò)程】因?yàn)?，與3不能作為平面向量的一組基底，

所以江//石，又江=(4,2),b=(m,1),

所以4—2m=0,故TH=2,

所以3=(2,1),

所以d-3=4x2+2xl=10.

故選：B.

【變式1-2］（2024.安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工

業(yè)上應(yīng)用廣泛.如圖所示，分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成

的曲邊三角形即為菜洛三角形，已知正三角形A8C的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸為48的中點(diǎn)，則麗?（可+而）的值

為（）

A.1B.2-V3C.-D.—

22

【解題思路】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,

即可求解.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)C且垂直于BC的直線為y軸，建立平

面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)檎鼳ZBC的邊長(zhǎng)為1,且點(diǎn)P為7TB的中點(diǎn)，所以NPCB=30。，

點(diǎn)P在以C為圓心，BC為半徑的圓上，

則C（O,O）,B（—i,o）,a（一（凈,p（一苧

所以而=譚，一》同=

則方+麗=（V3-|,y-1）,

所以瓦.（R4+PB）=yx（V3-1）-1x（y-1）=2-V3.

故選:B.

【變式1-3］（2024.山東威海.一模）在△ABC中，ABAC=90°,\AB\?|^4C|=1,P是△ABC所在平面內(nèi)一

點(diǎn)，而=嵩+3奇，則而?瓦的最大值為（）

A.5+2V3B.10+2V3C.5-2V3D.10-2V3

【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積以及基本不等式求解即可.

【解答過(guò)程】/.BAC=90",AB-AC=0,

???Q嘀+31

二而2=（需+3菊=（葡+6儡湍+卜裾）=1+0+9=10,

PB-~PC=（PA+AB）-（PA+XC）

=PA2+PA-AC+PA-AB+AB-AC

10-AP-AC-AP-AB

=10-3\AC\-|AB|=10-（3|Zc|+畫）＜10-2/3|Zc|-|AB|=10-2V3

當(dāng)且僅當(dāng)3|彳？|=\AB\,即I同I=V3,|4C|=:時(shí)等號(hào)成立,

所以而-玩的最大值為10-2V3.

故選：D.

【題型2平面向量的夾角問題】

【例2】(2024.福建泉州.模擬預(yù)測(cè))已知向量乙前滿足同=|同,2與3的夾角為,N+B+m=0,則2與強(qiáng)

夾角為()

A.-B.-C.—D.—

6336

【解題思路】對(duì)等式，五+b+c=0進(jìn)行變形得'=-a-b,再運(yùn)算數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

【解答過(guò)程】設(shè)m=同=1,由題得3=-五一九

所以五?c=a?(—a—6)=—a2—a-b=—\a\2—\a\?|b|cos^=—1—1=—|,

c2=(—a—b)2=a2+2a-6+&2=3,所以同=V3,

所以cos〈d,,〉=就卷=一手,又他1〉e[0潤(rùn)，

所以Q?=當(dāng)，

6

故選:D.

【變式2-1](2024.四川雅安.一模)已知單位向量出3滿足機(jī)另=0,貝|3n+3,2石+41=()

A3V10n2遮心^V10

A.-------D.C.—L).

105510

【解題思路】求出伍+5)?(22+4力，忖+可與3+4司,再應(yīng)用夾角余弦公式求解即可.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)棰?|同=1,a-b^O,

2

所以伍+b)■(2d+46)=2向2+6a-6+41bl=6,

222

因?yàn)楹?b|=\a\+2a-b+\bf=2,\2a+4司？=4|a|+16a-b+16同？=20,

所以眄+同=魚，|2B+4司=24，

所以cos位+b,2a+4b)=(￡+f+牛==亞，

、/\a+b\\2a+4b\V2x2>/510

故選：A.

【變式2-2](2024.湖北?二模)已知平面向量d=(1—%,—x—3),b=(1+x,2),a-b=-4,貝囁+23與

3的夾角為()

A.-B.-C.—D.—

3434

【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得久=-1,再由平面向量的夾角公式代入計(jì)算，

即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】2?3=-4n(1-x)(l+x)—2(久+3)=-4今x=—1nB=(2,—2),

b=(0,2)=>a+2Z>=(2,2),

/T.07*(a+2byb0+4V2

??.cos(a+2b,b)==爾=3'

(d+2b,b)e[O,TT],(a+2b,b)=%

故選：B.

【變式2-3](2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))單位向量2,3,m滿足2—23+23=0,則cos佰石一2寸=()

A.漁B.漁C.漁D.漁

8426

【解題思路】法一:將a=2b-20平方得了]》求出B—2司=手,再利用夾角公式求解;法二:設(shè)a=(1,0)

向量坐標(biāo)化，確定3，泊再利用向量夾角的坐標(biāo)公式求解.

【解答過(guò)程】法一：因?yàn)?-23+25=6,所以a=2石一2*所以小=4京;+4不一8九人

由房3,5是單位向量，得蘇=/=*=1,故另.3=2

8

所以后一2日2=g2-46-c+4c2=1-1+4=|,所以忸一24=當(dāng)

因?yàn)??(b-2c)=(2b-2。.(3-21)=2聲+4產(chǎn)一6石工=6-￡

a*(b-'2c)V6

所以cos(d,b—2c)=

|a||d-2c|4-

法二：因?yàn)槲逡?3+23=6,所以d=23—2,.因?yàn)樨癕l是單位向量,

所以設(shè)a=(1,0)，3=(%,乃)，c=(x2,y2),則好+比=1,x^+yl=1,(1,0)=(2/-2的,2%—2y2)，

解得=1%2=-3，月=先=±譚?

取屋&甯”(VW)，販-

因?yàn)閍(b-2c)=(1,0)-G，-W)=1B-2c|=苧,

所以COS⑹b-2c)=需篇=&=*

2

故選：B.

【題型3平面向量的模長(zhǎng)】

【例3】(2024?浙江溫州.一模)己知平面向量窗石滿足同=同=1,(a,b)=60°,則恒+2同=()

A.1B.V3C.2D.V7

【解題思路】由題意，結(jié)合口+2回2=*+4鼠3+4源計(jì)算即可求解.

【解答過(guò)程】由題意知,\a\=\b\=l,{a,b)=60°,

|a+2b\=d2+4a.-b+4b2=1+4|a||b|cos60°+4=7,

所以+2b\=V7.

故選：D.

【變式3-1](2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))平面向量2=(1,-2),3=(2,m),若之〃3,則歸一司=()

A.V3B.2C.V5D.V6

【解題思路】利用向量平行求出小，再利用模長(zhǎng)公式求解答案.

【解答過(guò)程】因?yàn)?/3,所以lxm=—2x2,解得m=—4,所以2—3=(—1,2),所以恒―同=店.

故選：C.

【變式3-2](2024?北京海淀?三模)已知3為單位向量，向量B滿足r3=2,\a-Ae\=1,則同的最大值

為()

A.1B.2C.V5D.4

【解題思路】設(shè)3=(1,0),2=(x,y),根據(jù)2京=2求出》,再根據(jù)B一箱|=1得到y(tǒng)2=1—(2—Q2,最

后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【解答過(guò)程】依題意設(shè)3=(1,0),a=(x,y),

由五?3=2,所以x=2,則d=(2,y),

又a—Ae=(2,y)—(A,0)=(2—A,y),且—Ae|=1,

所以J(2-Q2+y2=1,即y2=1_(2一;1)2,

所以㈤=122+y2=J4+1一(2—4)2w亞,當(dāng)且僅當(dāng)4=2時(shí)取等號(hào),

即⑷的最大值為近.

故選：C.

【變式3-3](2024.湖南湘西.模擬預(yù)測(cè))己知乙3,0均為單位向量，且儲(chǔ)力=+B0=；,貝|厄+石+

花|(t6R)的最小值為()

A.三B.如C.2D.三

4242

【解題思路】利用向量的模的計(jì)算可得同+3+花|=Vl+t+t2,結(jié)合二次函數(shù)可求最小值.

【解答過(guò)程】因?yàn)槿苏鶠閱挝幌蛄?，且?房力=看口+就>=泉

所以|N+b|=J0+b)2=y/a2+2a-b+b2=Jl2+2xlxlxcos^+I2=1,

\a+b+tc\=J(a+b+tc)2=J(a+b)2+2t(a+b)-c+(tc)2

—Jl2+2txlxlxcos^+t2—V1+t+t2—+1)2+1>=今

當(dāng)"一如M+B+m(teR)的最小值為當(dāng)

故選：B.

【題型4平面向量的垂直問題】

【例4】(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))若出3是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，立+3與22—3垂直，則4=()

A.0B.2C.-1D.-2

【解題思路】由數(shù)量積的定義可求出五不，再由向量垂直的性質(zhì)求解即可得出答案.

【解答過(guò)程】解：a,3是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，

貝!J|2|=\b\=1,a-K=1x1xcos60°=

因?yàn)?B與2五一反垂直，

則Rd+b)-(2a-h)=2Aa2+(2-2)a-h-b2=0,

即2；1-1+(2-；1)*1=0,解得4=0.

故選：A.

【變式4-1](2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知向量d=(1,4),另=(2,—1).若0+23)1丸貝牧=()

A.1B.-1C.12D.-12

【解題思路】(方法一)由a超的坐標(biāo)，求得2+23的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示式列出方程求解即得;

(方法二)先由他+2均1石化簡(jiǎn)，再代入立了得坐標(biāo)計(jì)算即得.

【解答過(guò)程】(方法一)由a=(1,4),b=(2,-1),得江+23=(5,4-2).

由@+2區(qū))1人得值+2司j=0,即5x2+(/I-2)x(-1)=0,解得4=12.

故選：C.

(方法二)由(五+2])13,得0+2司j=0,即江■石+2>2=o,

將a=(1,4),匕=(2,-1)代入得，1X2+4X(-1)+2X[22+(-1)2]=0,解得4=12.

故選：C.

【變式4-2](2024?海南省直轄縣級(jí)單位?模擬預(yù)測(cè))已知向量2=(1,2),b=(4,x),c=2a+b,若2，落

則實(shí)數(shù)x的值為()

A.7B.-7C.2D.-2

【解題思路】先求出落再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?=(1,2),h=(4,x),

所以/=2a+b=(6,4+%),

由江1c,得d-c=0>

則6+2(4+x)=0,解得x=-7.

故選：B.

【變式4-3](2024?甘肅張掖?三模)已知向量匕3滿足|由=問=1,且213,若(痛+3)10+4),則

()

A.4+〃=0B.4+〃=—1

C.A/i=-1D.2/1=0

【解題思路】根據(jù)題意，(府+刃，0+m)，則(獲+另)?(,+/)=(),結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律化簡(jiǎn)可解.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，alb,所以五不=0,

又(a五+，)_!,(/+〃力)，所以(ad+-(a+=o,

BPAa2+(1+Ajtz)d?b+/ib2=0,因?yàn)閨d|=\b\=1,

所以2+〃=0.

故選：A.

【題型5平面向量的投影】

【例5】(2024.山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知單位向量乙族滿足恒-3=1,則d在B方向上的投影向量為()

C.-aD.-CL

【解題思路】?jī)蛇吰椒角蟪鰯?shù)量積，然后在根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以M=Lb=1,由。一匕=1得a—b=1,則十一2@/+廬=

,TT1

1,得Q-/?=-,

設(shè)孟與b的夾角為氏則石在b方向上的投影向量為同

故選：A.

【變式5-1］（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知向量,=（1,0）是=（1,2g）,則向量日+3在向量江上的投影向量為

A.(2,2V3)D.2a

【解題思路】根據(jù)題中條件及投影向量的定義計(jì)算即可求解.

【解答過(guò)程】由向量a=（i,o）,b=（i,28），

則立+另=（2,2次），（a+b）-a=1x2+0x273=2,\a\=l,

7（a+b\a7

則向量2+b在2上的投影向量為：%匚=2a.

Ial網(wǎng)

故選：D.

【變式5-2］（2024.湖北.模擬預(yù)測(cè)）已知向量日=（1,0）,3=（0,1）,港3=大3=1,則向量旨在向量下上的投

影向量為（）

【解題思路】設(shè)出，的坐標(biāo)，利用給定條件得到落再利用投影向量公式求解即可.

［解答過(guò)程］設(shè)己=(x,y)，因?yàn)閐=(1,0),b=(0,1),a-c=b-c=1,

即向量3在向量讓的投影向量為善.［=+.整=（舅）.

\c\\c\V2V222，

故選：A.

【變式5-3］（2024?陜西寶雞?二模）已知向量出加勺夾角為45。，且同=4,港伍一不）=0,貝必在2上的

投影向量為（）

A.2dC.V2aD.2V2a

【解題思路】化簡(jiǎn)ay-B）=o求出后|=4位,進(jìn)而求出3在a上的投影向向345。?卷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)镹?0—3）=0,所以浮-a-b^O,即同2=彥=Bi=16,

所以江?3=|m.\b\■cos45°=4.間X曰=16,解得同=4vL

從而，殆a上的投影向量為同8545。*=力

故選：B.

【題型6坐標(biāo)法解決向量數(shù)量積問題】

【例6】（2024?北京?三模）已知點(diǎn)N在邊長(zhǎng)為2的正八邊形兒,42,…,4的邊上，點(diǎn)M在邊力送2上，則ArM-

A.[-4-2V2,2V2]B.[-4,4+2V2]

C.[-2A/2,4+2V2]D.[-2V2,4]

【解題思路】以義為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，計(jì)算4MM1N即可.

設(shè)N（%i，%）,M（%2,。）,則4M=（%2＞0）＞=（Xi，yi）＞

所以41M=xrx2,

由于正八邊形的每個(gè)外角都為:；

4

則G[0,2],%!G[-V2,2+V2],

所以41M-ArN=%1%26[-2A/2,4+2V2].

故選：C.

【變式6-1]（2024.海南.三模）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊

長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三

角形中，已知力B=2,尸為弧AC上的一點(diǎn)，且NPBC=g則前?而的值為（）

6

A.4-V2B.4+V2

C.4-2V3D.4+2V3

【解題思路】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【解答過(guò)程】如圖所示，

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為x軸,過(guò)點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則B（0,0）,C（2,0）,

由=1得P（V5,1）,所以喬=（V5,1）,CP-（V3-2,l）,所以前.而=百（遮—2）+lxl=4-

2V3.

故選：C.

【變式6-2X2024?湖南永州?三模）在△ABC中，乙4cB=120",|Zc|=3,|BC|=4,DC-DB=0,貝”南+說(shuō)|

的最小值為（）

A.6V3-2B.2V19-4C.3A/3-1D.719-2

【解題思路】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為無(wú)軸，過(guò)C垂直BC的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系，求得點(diǎn)D的軌跡方程，取BD的中點(diǎn)為M,求得M的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合可求|屈+同Imh

【解答過(guò)程】由題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，過(guò)C垂直CB的直線為y軸建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系，

則4(_|,卓)，8(4,0),由瓦?麗=0,可得。是以BC為直徑的圓,

所以。的軌跡方程為(x-2)2+V=4,

取BD的中點(diǎn)為M,設(shè)M(x,y),D(%o，yo),

可得二京,所以巴:篦；4,所以(2x-6)2+(2y)2=4,

、y2

所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x-3尸+*=1,圓心為“(3,0),半徑為1,

由屈+前=2前，所以I荏+而I=2|前I，所以I荏+zmmin=2|前Imin，

所以I而Imin=\AH\-1=J(-|-3)2+(第_0)2_1=3舊—1,

所以|屈+而|min=6V3-2.

故選：A.

【變式6-3](2024?四川成都?三模)在矩形2BCD中，AB=5,AD=4,點(diǎn)E滿足2荏=3麗，在平面ABCD

中，動(dòng)點(diǎn)P滿足瓦?麗=0,則麗?尼的最大值為()

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過(guò)程】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)(。是8E中點(diǎn))，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樵诰匦?BCD中，AB=5,AD=4,2AE=3EB,PE-PB=0,

所以動(dòng)點(diǎn)P在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)P(cosasin。)，

則4(0,4),D(4,4),C(4,—l),

DP-AC=(cos。—4,sin0-4)?(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0-4)=V41cos(0+/)+4,

其中銳角9滿足tan?=￡故而?前的最大值為例+4,

故選：A.

【題型7向量在物理中的應(yīng)用】

【例7】（2024?山西長(zhǎng)治?模擬預(yù)測(cè)）平面上的三個(gè)力&F2/3作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài).若|&|=1N,|F2|=

漁產(chǎn)N,6與F2的夾角為45。，則F3與a夾角的余弦值為（）

AV6+V20V6+V2「V6-V2「V6-V2

A.-----D.----------C.-----D.-----------

4444

【解題思路】根據(jù)用+月+用=6,先求得同=瓦+引，再由同=J同2+|同2+2同同COS。，即可

求解.

【解答過(guò)程】???三個(gè)力平衡，

居+F2+F3=0,

.?.同=周+同=恫元同2

2+2E+2=J12+2X1X^COS45O+（^）=V2.

設(shè)及與瓦的夾角為。，則|國(guó)=J|同2+匠『+2同|同cose,

2

即^^=J12+V2+2x1x魚cos。，

解得cos8=—三

4

故選：A.

【變式7-1］（23-24高一下?浙江臺(tái)州.期末）一條河的兩岸平行，河寬600m,一艘船從河岸邊的某處出發(fā)

到河對(duì)岸.設(shè)船在靜水中行駛的速度的大小為4km/h,水流速度的大小為2km/h.當(dāng)船以最短距離到對(duì)岸時(shí)，

船行駛所用的時(shí)間（保留兩位小數(shù)）為（）

A.0.17hB.0.15hC.0.13hD.O.lOh

【解題思路】要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度日必須垂直于對(duì)岸，利用勾股定理求出合

速度，從而可求出航行時(shí)間.

【解答過(guò)程】設(shè)一艘船從岸邊A處出發(fā)到河的正對(duì)岸，設(shè)船的速度|正|=4km/h,水流速度|記|=2km/h,

要使航程最短，需使船的速度與水流速度的合成速度日必須垂直于對(duì)岸，

如圖指：|叫=0司2—|國(guó)2=2g(km/h),

故選：A.

【變式7-2]（23-24高一下.河北保定?期中）平面上三個(gè)力用，豆,瓦作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，|同=1N,

|^|=V2N,瓦與瓦的夾角為45。,則同的大小為（）

A.V3NB.5NC.V5ND.V6N

【解題思路】根據(jù)平衡狀態(tài)得居=-（及+或），結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.

【解答過(guò)程】由題意得，瓦=-（月+月），

所以I同=1一（可+或）1=]（瓦+瓦f+2瓦.瓦+瓦2="+2+2=V5N,

故選：C.

【變式7-3]（2024.浙江溫州.二模）物理學(xué)中，如果一個(gè)物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段

位移，我們就說(shuō)這個(gè)力對(duì)物體做了功，功的計(jì)算公式：勿=立?§（其中皿是功，甘是力,§是位移）一物體

在力元=（2,4）和號(hào)=（-5,3）的作用下，由點(diǎn)4（1,0）移動(dòng)到點(diǎn)B（2,4）,在這個(gè)過(guò)程中這兩個(gè)力的合力對(duì)物體

所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【解題思路】利用條件，先求出兩個(gè)力的合力耳+及及同，再利用功的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】因?yàn)槎?（2,4）,K=（-5,3）,所以及+可=（一3,7）,又力（1,0）,8（2,4）,所以屈=（1,4）,

故W=（耳+或）.屈=-3+7x4=25.

故選：A.

【題型8向量數(shù)量積與解三角形綜合】

【例8】（2024?湖北?一模）如圖，在AABC中，ABAC=12（T,4B=2,AC=1,。是BC邊上靠近B點(diǎn)的三等

分點(diǎn)，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則族?方的取值范圍為（）

A?5]B.卜工C?卜消D.卜羽

【解題思路】先用余弦定理求出BC,再將向量用基底表示，借助向量運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】由COSN艮4C=畫需昌叱=—J,解得BC=巾.

NI￡kD11IZ

設(shè)在=ACB,0<2<1,

則族-CD=（AC+CEyCD=（AC+ACB）-|CB=|XC-CB+|ZCB2=|ZC-（AB-AC）+^A.=|XC-

iU]

4B-|心+爭(zhēng)=三+如卜3,3J

故選：c.

【變式8-1]（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，若4B=6,ABAC=工,N4CB=二則瓦？?前+6??方=

34

（）

A.54B.27C.9D.3V6

【解題思路】利用正弦定理求出BC,再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.

【解答過(guò)程】在△ABC中，若4B=6,NBAC=工，乙4cB=:由正弦定理得BC=竺草=3粕，

34sin-

4

所以瓦I-~BC+CA-CB^BA-^C+AC-^CBC2=54.

故選：A.

【變式8-2]（2024.安徽六安.模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量?jī)?yōu)b,蹣足同=1,同=百，日不=—|,

口一,3一寸=30。，貝U用的最大值等于（）

A.2A/7B.V7C.2A/3D.3A/3

【解題思路】由乙4。8=150。,44。8=30。，即點(diǎn)4O,B,C四點(diǎn)共圓，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解答過(guò)程】設(shè)瓦？=a,OB=b,OC=c,

由|團(tuán)=1,|h|=V3,a-b=—I，貝！ICOSNAOB=—日，

所以乙408=150。，又缶一3花一4=30。，所以乙4cB=30。，

即點(diǎn)4。,民。四點(diǎn)共圓，要使同最大，即|赤|為圓的直徑，

在△力。B中，由余弦定理可得AB?=OA2-+OB2-20AxOBxcos/LAOB=7,

即4B=V7,又由正弦定理可得2R=TT=2V7,

smz.AOB

即?的最大值為2V7,

故選：A.

【變式8-3]（2024.江西.三模）已知鈍角△ABC的面積為3,4B=4,4C=2,則說(shuō)?前的值是（）

A.-6B.-2V7C.2夕或一2bD.-6或6

【解題思路】根據(jù)題設(shè)求得sin/l=[,依題分角4為鈍角和角C為鈍角兩種情況討論檢驗(yàn)，利用向量數(shù)量積的

4

定義即可分別求得.

【解答過(guò)程】依題意，|x2x4sinX=3,解得sin/=|,

若角”為鈍角，貝!Jcos/=-V1-sin2X=

4

由余弦定理，BC2=42+22-2x4X2X（--）=20+4V7>AB?,符合題意，

4

此時(shí)，AB-AC=4x2cosA=8x（—，）=一2位；

若角C為鈍角，則cos4=Vl-sin2/1=―,

4

由余弦定理，BC2=42+22-2x4x2x—=20-4近，

4

此時(shí)BC?+4C2-/1B2=20-4V7+4-16=8-4近<0,即cosC<0,符合題意，

此時(shí)荏?就=4x2cosX=8x"=2V7.

4

故選：C.

1.（2023.全國(guó).高考真題）已知向量2,3,[滿足I由=\b\=1,同=&，且a+另+1=6,則cos（a-4=

【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)镹+b+c^6,所以R+b^-c,

即浮+b2+2d-b=召，即1+l+2a-b=2,所以4-b=0.

如圖，設(shè)。A=a,OB=b,OC=c,

c

由題知,04=OB=1,OC=A/2,A048是等腰直角三角形,

AB邊上的高OD='加=冬

所以CD=CO+。。=&+j=言,

17

tanz力。。=方=/漢48=而,

cos(a—c,b—c)=cosZ-ACB=cos2z.ACD=2cos12Z-ACD-1

2―4

—1-

5

故選:D.

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知。。的半徑為1,直線用與。。相切于點(diǎn)A,直線PB與。。交于8,C兩

點(diǎn)，。為8C的中點(diǎn)，若小。|=衣，則港?訪的最大值為（）

n1+2V2

A.2D.----------

22

C.1+V2D.2+V2

【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得萬(wàn)?麗-1

V2.(TC

—sin(2a—胃或刀.而=i+—sin(2a+-

24.

【解答過(guò)程】如圖所示，\0A\=1,|OP|=V2,則由題意可知:乙4P。=?,

由勾股定理可得|P4|=VOP2-OA2=1

當(dāng)點(diǎn)4D位于直線P。異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)NOPC=a,0<a<-,

4

貝l|：~PA-~PD=\PA\-\PD\cos(a+g

=1xV2cosacos(a+

V2.

—V2coscrcosa------sina

2

=cosz2(x—si■nacoscr

1+cos2a1

—2sin2a

2

1V2(

-———sin2a—

22V3)

0<a<-,則一工W2a—二<巳

4444

.??當(dāng)2a-：=—個(gè)時(shí)，談?麗有最大值1.

當(dāng)點(diǎn)4D位于直線P0同側(cè)時(shí)，設(shè)NOPCa,0<a<-,

4

則：PA-PD=PA-PDcosQ-a)

=lxV2cosacosg-a)

L(五V2\

=V2cosaI—cosa+—sinaI

=cosi2a+sinacosa

1+cos2a1

=----2----1-2sin2a

i.V2.z.n\

=—I--sin(2naH—),

22\4/

0<a<J,貝嚀W2a+E(手

.?.當(dāng)2a+E=］時(shí)，PA'而有最大值等.

綜上可得，PA-PD的最大值為苫2

故選：A.

3.(2023?北京?高考真題)已知向量2,3滿足日+3=(2,3)6—3=(―2,1),則向2—.2=()

A.-2B.-1C.0D.1

【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【解答過(guò)程】向量建I滿足宰+b=(2,3),a-b=(-2,1),

所以|向2一?瓦2=(3+b).(a-6)=2x(-2)+3x1=-1.

故選：B.

4.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量2=(3,1遙=(2,2),則cos(N+3,R—力=()

【解題思路】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得忸+b\,\a-b\,他+司?0-3),從而利用平面

向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)槿?(3,1)1=(2,2),所以4+3=(5,3)8一1=(1,一1),

則恒+同=V52+32=V34,|a-b|=V1TT=夜，(a+h)-(a-b)=5x1+3x(-1)=2,

(a+S)-(a-5)2V17

所以cos(2+b,a—b)=

|a+H||a-h|一V34xV217,

故選：B.

5.(2023?全國(guó)?高考真題)已知向量N=(1,1),另=(1,一1),若R+小)1伍+髭)，則()

A.A+〃=IB.A+〃=—1

C.2/1=1D.A/z=-1

【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出2+4丸匯+而再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【解答過(guò)程】因?yàn)槲濉?1,1),b—(1,—1)9所以五+Ab=(1+A,1—A),a,+/ib—(1+1—〃)，

由(d+昉)1(a+可得，(a+Ah)-(a+=0,

即(1+A)(l+〃)+(1—A)(l—〃)=0,整理得：A/z=—1.

故選：D.

6.(2024.北京.高考真題)設(shè)a,另是向量，則“Q+fo)?(a-fo)=0”是％=或2="的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知R+&)-(a-b)=0等價(jià)于同=\b\,結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)樗?司?(2—3)=為一/=0,可得彥=b2,即同=\b\,

可知(2；+6)■(d—6)=0等價(jià)于同=同,

若2=3或a=-另，可得向=|司，即(1+3)?R-另)=0,可知必要性成立；

若Q+司?(2—3)=0,SP|a|—\b\,無(wú)法得出B=b或d=—

例如2=(1,0)1=(0,1),滿足同=|同，但五不反且日中一丸可知充分性不成立；

綜上所述，“值+b)-(a-b)=。”是“3中3且3豐—廬的必要不充分條件.

故選：B.

7.(2024.全國(guó)?高考真題)已知向量%另滿足㈤=1,同+2同=2,5.(6-2a)1b,則同=()

A.-B.—C.—D.1

222

【解題思路】由巧一2a)13得岸=2a-b,結(jié)合㈤=l,\d+2b\=2,得1+43不+4岸=1+6源=4,

由此即可得解.

【解答過(guò)程】因?yàn)槟?2a)1b,所以@一2江)石=0,即位=2a-b,

又因?yàn)棰?l,\d+2b\=2,

所以1+4a-b+4b2=1+6石2=4,

從而同=y.

故選：B.

8.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)向量五=（久+1,%）,另=（久,2）,則（）

A.“x=—3”是*13”的必要條件B."x=1+遮”是％〃戶的必要條件

C.“x=0”是213”的充分條件D.%=-1+遍”是*〃薩的充分條件

【解題思路】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【解答過(guò)程】對(duì)A,當(dāng)五13時(shí)，貝展不=0,

所以x?（x+l）+