第七講離散型隨機(jī)變量的分布列期望和方差-重點(diǎn)強(qiáng)化提升講義-習(xí)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

第七講離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差知識(shí)知識(shí)歸納1.隨機(jī)事件、基本事件、隨機(jī)試驗(yàn)在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件。試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為基本事件。如果試驗(yàn)具有下述特點(diǎn)：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。它被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)。簡稱試驗(yàn)。2．隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，（或隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量），那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用希臘字母X、Y、ξ、η等表示。離散型隨機(jī)變量在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量可能取的值是某個(gè)區(qū)間的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.3.分布列(1)定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.(2)表示：定義表示：P(xi)＝pi，i＝1，2，…，n.表格表示Xx1x2…xnPp1p2…pn圖形表示(3)性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.4.求離散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟(1)確定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每個(gè)取值所表示的意義.(2)利用概率的相關(guān)知識(shí)，求出每個(gè)取值相應(yīng)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…).(3)寫出分布列.(5)離散型隨機(jī)變量有特征：(1)可用數(shù)值表示.(2)試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值.(3)在試驗(yàn)之前不能確定取何值.(4)試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.作用：離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一個(gè)值的概率的大小，從而反映出隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布情況，是進(jìn)一步研究隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)量特征的基礎(chǔ).5.兩點(diǎn)分布列像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列。如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p=P(X=1)為成功概率。X01P1－pp6.離散型隨機(jī)變量的期望若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且.若服從兩點(diǎn)分布，則；7，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為…………則描述了()相對(duì)于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱為隨機(jī)變量的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．若服從兩點(diǎn)分布，則8，六條性質(zhì)(1)(為常數(shù))(2)(為常數(shù))(3)(4)如果相互獨(dú)立，則(5)(6)考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解題型一：寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為，則的分布列為（

）X01PX12PA．B．X012PC．

X012P

D．

2．袋中裝有一些大小相同的球，其中標(biāo)號(hào)為1號(hào)的球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2號(hào)的球2個(gè)，標(biāo)號(hào)為3號(hào)的球3個(gè)，，標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè).現(xiàn)從袋中任取一球，所得號(hào)數(shù)為隨機(jī)變量，若，則.3．一袋中裝有4只同樣大小的球，編號(hào)分別為1，2，3，4，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，則X的分布列為4．全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績，求隨機(jī)變量X的分布列．題型二：利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題1．設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：589則（

）A． B． C． D．2．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P則下列各式正確的是（

）A． B．C． D．3．已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．4．（多選）如果ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，則真命題是（

）A．ξ取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)實(shí)數(shù)B．ξ取所有可能值的概率之和為1C．ξ取某幾個(gè)值的概率等于分別取其中每個(gè)值的概率之和D．ξ在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和題型三：由隨機(jī)變量的分布列求概率1．已知一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X1234Pp則p的值為（）A． B． C． D．2．已知隨機(jī)變量的分布列如表：則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．3．（多選）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．104．隨機(jī)變量Y的概率分布如下：Y123456P0.1x0.350.10.150.2則x＝；＝.題型四：兩點(diǎn)分布1．設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則成功概率（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.82．（多選）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（

）．A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)XB．某射手射擊一次，擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分，射手的得分XC．從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋子中取1個(gè)球，定義：“取出白球”，“取出紅球”D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X3．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，那么．4．已知服從兩點(diǎn)分布，且，則．題型五：求離散型隨機(jī)變量的均值1．（2024·湖南長沙·一模）已知隨機(jī)變量的分布列如下：1230.10.70.2則數(shù)學(xué)期望.2．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)）已知，隨機(jī)變量X的分布列為Ｘ1234Pab的最小值為，此時(shí)X的數(shù)學(xué)期望為．3．（2025·陜西咸陽·一模）小明和小王進(jìn)行乒乓球比賽，其中小明每局贏的概率為，小王每局贏的概率為，且每局比賽之間互不影響．(1)若采用3局2勝制，求小王最終贏得比賽的概率；(2)若采用5局3勝制，在小明贏得比賽的條件下，求比賽需要的局?jǐn)?shù)的期望．4．（2024·重慶·一模）近年來，開盲盒深受年輕人的喜愛.甲商店推出一款售價(jià)為1元/個(gè)且外觀相同的盲盒，每開一個(gè)盲盒，會(huì)等可能地開出3款玩偶（分別記為款?款?款）中的某一款.乙商店出售與甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售價(jià)為3元/個(gè).(1)若小明一次性購買了甲商店的3個(gè)盲盒，求他至少開出2個(gè)款玩偶的概率；(2)若小明只想要款玩偶，方案一：直接去乙商店購買；方案二：在甲商店以開盲盒的方式購買，并與老板協(xié)商一致，每次開一個(gè)盲盒，如果開出款玩偶則停止，否則再開一個(gè)盲盒，若連續(xù)四次均未開出款玩偶，老板就贈(zèng)送一個(gè)款玩偶給他.為了得到款玩偶，你認(rèn)為小明應(yīng)該選擇去哪家商店購買更劃算，請(qǐng)說明理由.題型六：均值的性質(zhì)1．（2024·四川南充·一模）某一隨機(jī)變量X的分布列如下表，且，則.X0123P0.1m0.2n2．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則.123450.10.20.30.13．（2024·江蘇鹽城·一模）某學(xué)習(xí)平臺(tái)中“挑戰(zhàn)答題”積分規(guī)則如下：選手每天可參加一局“挑戰(zhàn)答題”活動(dòng).每局中選手需依次回答若干問題，當(dāng)累計(jì)回答正確3道題時(shí)，答題活動(dòng)停止，選手獲得10個(gè)積分；或者當(dāng)累計(jì)回答錯(cuò)誤2道題時(shí)，答題活動(dòng)停止，選手獲得8個(gè)積分.已知選手甲正確回答每一道題的概率均為.(1)記X為“甲完成一局‘挑戰(zhàn)答題’活動(dòng)時(shí)回答的題數(shù)”，求的概率；(2)記Y為“甲連續(xù)9天參加‘挑戰(zhàn)答題’活動(dòng)獲得的積分”，求.4．（2024·重慶·三模）已知是二維離散型隨機(jī)變量，其中X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量，的分布列用表格表示如下：X03605(1)求和；(2)“”表示在條件下的的取值，求“”的分布列；(3)為的數(shù)學(xué)期望，為“”的分布的期望，證明：.題型七：兩點(diǎn)分布的均值1．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則其成功概率為（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.62．拋擲一枚硬幣，記，則（

）A．0 B． C．1 D．13．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，則以下正確的是（

）A． B．C． D．4．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，設(shè)，那么．題型八：由離散型隨機(jī)變的均值求參數(shù)1．（2024·陜西寶雞·二模）已知隨機(jī)變量X，Y滿足，Y的期望，X的分布列為：X01Pab則a，b的值分別為（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量X的分布列為：X1234Pp其中，隨機(jī)變量X的期望為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，．3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)興趣小組模擬“刮刮樂”彩票游戲，每張彩票的刮獎(jiǎng)區(qū)印有從10個(gè)數(shù)字1，2，3，……，10中隨機(jī)抽取的3個(gè)不同數(shù)字，刮開涂層即可兌獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)規(guī)則為：每張彩票只能中獎(jiǎng)一次（按照最高獎(jiǎng)勵(lì)算）若3個(gè)數(shù)的積為2的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中三等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中二等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時(shí)，中一等獎(jiǎng)；其他情況不中獎(jiǎng)．(1)在一張彩票中獎(jiǎng)的前提下，求這張彩票是一等獎(jiǎng)的概率；(2)假設(shè)每張彩票售價(jià)為元，且獲得三、二、一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金分別為2元，3元，10元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．4．（2024·安徽·一模）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對(duì)其中1個(gè)得2分，選對(duì)其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？題型九：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若隨機(jī)變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如下：012若，則．3．（2024·上海徐匯·二模）同時(shí)拋擲三枚相同的均勻硬幣，設(shè)隨機(jī)變量表示結(jié)果中有正面朝上，表示結(jié)果中沒有正面朝上，則.4．（2025·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）為慶祝新中國成立75周年，國慶長假期間，某小型景區(qū)對(duì)游客開展抽獎(jiǎng)免門票活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：盒子里有5個(gè)一模一樣的小球，只有一個(gè)小球上寫著免門票．游客從盒子里摸出一個(gè)小球，若該小球上寫有免門票，則景區(qū)免掉該游客的門票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽獎(jiǎng)．(1)小王家一共有4口人來到該景區(qū)旅游，記這4人中免門票的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；(2)當(dāng)小王選好一個(gè)小球后（此時(shí)小王還不知道小球上是否寫著免門票），景區(qū)工作人員（他知道小球上是否寫著免門票）會(huì)從盒子里取出一個(gè)沒有寫著免門票的小球給小王看，此后小王選擇是否重新從盒子里余下的球中摸出一個(gè)球換取開始選好的球，再看是否能免門票．請(qǐng)問小王作出哪種選擇更容易免門票？請(qǐng)說明理由．題型十：方差的性質(zhì)1．（多選）（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）012340.10.40.20.2A． B．，C．， D．，2．（多選）（2024·遼寧沈陽·一模）下圖是離散型隨機(jī)變量的概率分布直觀圖，其中，則（

）

A． B．C． D．3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，滿足，則.4．（2024·湖南長沙·三模）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)方案的支持情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.題型十一：方差的期望表示1．（2024·浙江溫州·三模）已知隨機(jī)變量X，Y的分布列如下：X10Y2P0.50.5P0.50.5則（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）隨機(jī)變量的分布列如表所示，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，滿足（

）01A．先增大后減小 B．先減小后增大 C．增大 D．減小3．（多選）（2024·山東·三模）中華人民共和國第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年9月在陜西省舉辦．為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會(huì)志愿者隊(duì)伍，向全國人民奉獻(xiàn)一場精彩圓滿的體育盛會(huì)，第十四屆全國運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長．下列說法正確的有（

）A．設(shè)事件：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，則B．設(shè)事件：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件：“抽取的3人中全是男志愿者”，則C．用表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則D．用表示抽取的三人中男志愿者的人數(shù)，則4．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）某機(jī)構(gòu)要對(duì)某職業(yè)的月收入水平做一個(gè)調(diào)研，選擇了，，三個(gè)城市，三個(gè)城市從業(yè)人數(shù)分別為10萬，20萬，20萬，該機(jī)構(gòu)決定用分層抽樣的方法從三個(gè)城市中抽取1000個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查，并分析、城市的樣本數(shù)據(jù)后得到以下頻率分布直方圖：

（1），，三個(gè)城市應(yīng)各抽取多少個(gè)樣本？并估計(jì)城市從業(yè)人員月收入的平均值；（2）用頻率估計(jì)概率，，城市從業(yè)人數(shù)視為無限大，若從，兩城市從業(yè)人員中各隨機(jī)抽取2人，表示這抽取的4人中月收入在3000元以上的人數(shù)，求的分布列和期望．（用分?jǐn)?shù)作答）鞏固提升鞏固提升1．隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則（

）01230.10.1A．0.2 B．0.4 C．0.2 D．02．若隨機(jī)變量的分布列如下表，表中數(shù)列為等差數(shù)列，則的取值是（

）34567A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量的分布列如表：02其中成等差數(shù)列，則的值是（

）A． B． C． D．4．設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列如下表，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)（

）12A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大5．已知在所有礦石中含有某種稀有元素的概率約為0.1，小郅與小祥同學(xué)有一把探測(cè)器可識(shí)別該稀有元素且準(zhǔn)確率高達(dá)0.9（即有0.1的概率對(duì)不含有該稀土元素的礦石作出反應(yīng)）.在某次探索實(shí)踐任務(wù)中，他們共同發(fā)現(xiàn)了一堆由探測(cè)器檢驗(yàn)含有該元素的礦石，但是否真的含有該元素則需進(jìn)一步檢驗(yàn)，再回實(shí)驗(yàn)室途中，小祥提出用2000元向小郅賣出所有礦石，若礦石中真實(shí)含有該元素，則價(jià)值約10000元，否則將一文不值.若小郅同學(xué)出錢購買，則他獲得利潤的均值約為：（

）元.A．2200 B．1100 C．2200 D．70006．盒中裝有3個(gè)黃球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中每次隨機(jī)取出1個(gè)球且不放回，直至取出紅球．設(shè)在此過程中，取到黃球的個(gè)數(shù)為，則（

）A．1 B． C． D．27．若某科技小制作課的模型制作規(guī)則是：每位學(xué)生最多制作3次，一旦制作成功，則停止制作，否則可制作3次.設(shè)某學(xué)生一次制作成功的概率為，制作次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是每名學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為X，若X的均值，則p的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（多選）某學(xué)校舉行文藝比賽，比賽現(xiàn)場有5名專家教師評(píng)委給每位參賽選手評(píng)分，每位選手的最終得分由專家教師評(píng)分和觀看學(xué)生評(píng)分確定.某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家教師評(píng)分情況如下表.觀看學(xué)生全部參與評(píng)分，所有評(píng)分均在7～10之間，將評(píng)分按照，，分組，繪成頻率分布直方圖如圖，則下列說法正確的是（

）現(xiàn)場專家教師評(píng)分表專家教師ABCDE評(píng)分9.69.59.68.99.7A．B．用頻率估計(jì)概率，估計(jì)觀看學(xué)生評(píng)分不小于9分的概率為C．從5名專家教師中隨機(jī)選取3人，X表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)，則D．從5名專家教師中隨機(jī)選取3人，X表示評(píng)分不小于9分的人數(shù)，則10．（多選）某地質(zhì)考察隊(duì)在一片區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)了五處具有研究價(jià)值的地質(zhì)構(gòu)造點(diǎn)，依照初步判斷的研究價(jià)值高低，分別標(biāo)記為1，2，3，4，5號(hào)點(diǎn)位，每次考察時(shí)，隨機(jī)選擇一處地質(zhì)構(gòu)造點(diǎn)進(jìn)行深入研究，選擇各點(diǎn)位的概率與該點(diǎn)標(biāo)記的序號(hào)成正比，比例系數(shù)為k，設(shè)隨機(jī)變量G表示選擇的地質(zhì)構(gòu)造點(diǎn)編號(hào)，則（

）A． B．C． D．11．（多選）下列說法正確的有（

）A．的展開式中，的系數(shù)是B．的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)和為C．從名男生，名女生中選名學(xué)生參加志愿者服務(wù)，表示參加志愿服務(wù)的男生人數(shù)，則D．有個(gè)不同的正因數(shù)12．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為012則.13．某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會(huì).一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會(huì).小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.5，0.6，0.7，且每次考試是否通過相互獨(dú)立，則小王在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率為；他在一年內(nèi)參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.14．已知一組數(shù)據(jù)1，1，2，3，5，2，1的第60百分位數(shù)為，且隨機(jī)變量的分布列為0.50.40.30.3則，．15．某趣味運(yùn)動(dòng)設(shè)置了“謎語競猜”活動(dòng)，在活動(dòng)中設(shè)置①、②、③三道謎語題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對(duì)當(dāng)前謎語才能繼續(xù)競猜下一道謎語，并且獲得本謎語的獎(jiǎng)金．每次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立．猜對(duì)三道謎語的概率及獲得的相應(yīng)獎(jiǎng)金如下表：謎語①②③猜對(duì)的概率0.80.5獲得的獎(jiǎng)金（元）102030(1)若，按“①、②、③”的順序猜謎，求所獲獎(jiǎng)金至少為30元的概率；(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎．若以猜謎所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，按哪種順序猜謎所獲獎(jiǎng)金更多？16．已知正四棱錐的體積為，高為.(1)現(xiàn)有一螞蟻從點(diǎn)處等可能地沿各條棱向底面勻速移動(dòng)，已知該螞蟻每秒移動(dòng)個(gè)單位，求秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離的分布列及期望.(2)假設(shè)有若干只螞蟻，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的螞蟻計(jì)劃只可能從點(diǎn)出發(fā)，另外的螞蟻計(jì)劃既可能從點(diǎn)出發(fā)，又可能從點(diǎn)出發(fā).

若螞蟻只可能從點(diǎn)出發(fā)，則記分；若既既可能從點(diǎn)出發(fā)，又可能從點(diǎn)出發(fā)，則記分.

假設(shè)每只螞蟻計(jì)劃從哪個(gè)點(diǎn)出發(fā)相互獨(dú)立，視頻率為概率.（i）從螞蟻中隨機(jī)抽取只螞蟻，記這只螞蟻的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；（ii）從若干螞蟻中隨機(jī)抽取一些螞蟻，記這些螞蟻的合計(jì)得分恰為分的概率為，隨著抽取螞蟻的無限增加，是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.走進(jìn)高考走進(jìn)高考1．（2013·湖北·高考真題）如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E（X）=（）A． B． C． D．2．（2017·浙江·高考真題）已知隨機(jī)變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>3．（2024·廣東江蘇·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.4．（2022·浙江·高考真題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則，．5．（2021·浙江·高考真題）袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則，.6．（2013·天津·高考真題）一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4.從盒子中任取4張卡片（假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）.（1）求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率.（2）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.7．（2024·北京·高考真題）某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中估計(jì)值的大?。ńY(jié)論不要求證明）8．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？9．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．10．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．11．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）12．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測(cè)中,“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè),如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè),得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(I