2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：面積比例問題（學(xué)生版）

專題03面積比例問題

一、知識(shí)導(dǎo)航

除了三角形、四邊形面積計(jì)算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結(jié)論，對(duì)面積比例的分析，往往

比求面積要復(fù)雜得多，這也算是面積問題中最難的一類.

大部分題目的處理方法可以總結(jié)為兩種：(1)計(jì)算；(2)轉(zhuǎn)化.

本文結(jié)合19年各地中考題，簡(jiǎn)要介紹關(guān)于比例條件的一些運(yùn)用方法.

策略一：運(yùn)用比例計(jì)算類

綜合與探究：如圖，拋物線y=&+/?+6經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為租(1＜加＜4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

3

(2)ABCD的面積等于AAOC的面積的一時(shí)，求加的值；

4

【分析】

(1)可重設(shè)解析式為交點(diǎn)式：y=〃(x+2)(x-4),展開得：y=ax2-2ax-Sa,常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，-8〃=6,

2

解得：a=--,故拋物線解析式為：y=--x+-x+6.

442

(2)考慮△AOC和△BCD并無太多關(guān)聯(lián)，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過面積比推導(dǎo)

△BCD的面積.

S2x6=6,

339

SBCD=工義SAOC=丁6=5,

此問題變?yōu)槊娣e定值問題，就不難了.

【小結(jié)】利用面積比計(jì)算出所求三角形面積，再運(yùn)用處理面積定值的方法即可解決問題.

策略二：轉(zhuǎn)化面積比

如圖，B、D、C三點(diǎn)共線，考慮△A3。和△AC。面積之比.

轉(zhuǎn)化為底：

共高，面積之比化為底邊之比：則S鉆。：SAS=8D：C￡).

更一般地，對(duì)于共邊的兩三角形△A8D和△ACD,連接BC,與交于點(diǎn)E,則

SADRLD)：SArn=BM:CN=BE:CE.

A

B

7M

策略三：進(jìn)階版轉(zhuǎn)化

在有些問題中，高或底邊并不容易表示,所以還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為其他線段比值，比如常見有：“A

字型線段比、“8”字型線段比.

“A”字型線段比：S^-.SACD=BD-CD=BA:AM.

"8'字型線段比：SABD:SACD=BD:CD=AB:CM.

以2019連云港中考填空壓軸為例：

[2019連云港中考】

如圖，在矩形A3CD中，AB=4,4)=3,以點(diǎn)C為圓心作C與直線助相切，點(diǎn)尸是C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

AP

連接AP交班＞于點(diǎn)T,則一的最大值是.

D

AB

【分析】

AP.AT均為動(dòng)線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉(zhuǎn)化線段.

構(gòu)造字型線段比：

工丁.pAPAQ

由平行得：一=—

ATAB

BC=3,BM=3x-=-,CM=3x-=—,PM=—+—=—

44444520

“1235414八）419-

MQ=——x—=——,AQ=4+--------=12,

203444

APAQ12

故最大值為——=一三=一=3.

ATAB4

思路2:構(gòu)造"8"字型線段比是否可行？

4PTPTP

雖然問題是一的比值，為便于構(gòu)造“8”字，可轉(zhuǎn)化為“土匚+1”，即求」二的最大值,

ATATAT

過點(diǎn)尸作尸0〃A3交8。延長(zhǎng)線于。點(diǎn)，可得：IL=fQ；考慮到AB是定線段，故只要尸0最大即可.

ATAB

但是本題尸點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，故很難分析出點(diǎn)尸在何位置，尸。取到最大值，若尸點(diǎn)換個(gè)軌跡路線，或許就

很容易分析了.

。一、

,、、D

AB

二、典例精析

例一、

已知拋物線y=奴？+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(1,O)和點(diǎn)5(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)

點(diǎn).

(1)拋物線的解析式為,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

(2)如圖，連接OP交BC于點(diǎn)。，當(dāng)乂。。：5ABM,=1:2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】

(1)y=-x2-2x+3;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).

(2)根據(jù)&迪：5兇如=1：2可得CD:BD=1:2,

故。點(diǎn)是線段8c靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，又8(-3,0)、C(0,3),

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2).

例二、

如圖，拋物線y=a、2+2x+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)3(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)3在原點(diǎn)的右側(cè))，與y

軸交于點(diǎn)C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)如圖，連接3C,點(diǎn)。是直線3c上方拋物線上的點(diǎn)，連接C?,CD.OD交BC于點(diǎn)、F,當(dāng)

S&COF:SACDF=3:2時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)?

【分析】

（1）解析式：y=—x2+2x+3

（2）顯然△C。尸和△口）/共高，可將面積之比化為底邊之比.

OF:DF=S,COF：S、CDF=3:2,

思路1:轉(zhuǎn)化底邊之比為"A”字型線段比

在y軸上取點(diǎn)E（0,5）,（為何是這個(gè)點(diǎn)？因此此時(shí)OC:CE=3:2）

過點(diǎn)E作BC的平行線交無軸于G點(diǎn)，

EG與拋物線交點(diǎn)即為所求。點(diǎn)，

根據(jù)平行線分線段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直線EG解析式為：y=-x+5,

與拋物線聯(lián)立方程，得：一/+2》+3=-》+5,

解得：%,=1,x2=2.

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）.

思路2:轉(zhuǎn)化底邊之比為“8”字型線段比

過點(diǎn)。作。G//y軸交8C邊于點(diǎn)G,則一=——,又0c=3,故點(diǎn)G滿足。G=2即可.這個(gè)問題設(shè)。點(diǎn)

FDDG

坐標(biāo)即可求解.

也可以構(gòu)造水平"8"字，過點(diǎn)。作。G//x軸交3c于點(diǎn)G,則為=器,又。2=3,...■DGMZ即可.但此

處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議.

y

其實(shí)本題分析點(diǎn)的位置也能解：

思路3:設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為+2m+3）,

/QOAQ、

根據(jù)。尸：DF=3:2,可得尸點(diǎn)坐標(biāo)為一八一―m2+-m+-

[5555y

點(diǎn)、F在直線BC上,將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線3C解析式：y=-x+3,

3693。

——m2+—m+—=——m+3,

5555

解得叫=1,m2=2,

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）.

這個(gè)計(jì)算的方法要求能理解比例與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，即由。點(diǎn)坐標(biāo)如何得到F點(diǎn)坐標(biāo).

三、中考真題演練

1.（2023?山東青島?中考真題）許多數(shù)學(xué)問題源于生活.雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察

撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象——拋物線.在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y

軸上，坐標(biāo)原點(diǎn)。為傘骨。4,的交點(diǎn).點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)A,8在拋物線上，OA,08關(guān)于y

軸對(duì)稱.OC=1分米，點(diǎn)A至晨軸的距離是0.6分米，A,8兩點(diǎn)之間的距離是4分米.

圖①圖②

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）分別延長(zhǎng)A。，3。交拋物線于點(diǎn)RE,求E,尸兩點(diǎn)之間的距離；

（3）以拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為S-將拋物線向右平移；”（加＞0）個(gè)單位，得到一條

新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為邑.若邑=：3岳，求”的值.

2.(2023?吉林長(zhǎng)春?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線＞=-/+法+2"是常數(shù))

經(jīng)過點(diǎn)(2,2).點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,0),點(diǎn)8在該拋物線上，橫坐標(biāo)為其中相＜0.

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵當(dāng)點(diǎn)8在x軸上時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(3)該拋物線與x軸的左交點(diǎn)為尸，當(dāng)拋物線在點(diǎn)P和點(diǎn)B之間的部分(包括P、3兩點(diǎn))的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)

的縱坐標(biāo)之差為2-機(jī)時(shí)，求加的值.

(4)當(dāng)點(diǎn)8在無軸上方時(shí)，過點(diǎn)5作軸于點(diǎn)C,連結(jié)AC、BO.若四邊形AO3C的邊和拋物線有兩個(gè)

交點(diǎn)(不包括四邊形49BC的頂點(diǎn))，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)線段3。的中點(diǎn)為。.當(dāng)以點(diǎn)C、

E、。、D(或以點(diǎn)C、F、。、D)為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形AO3C面積的一半時(shí)，直接寫出所

有滿足條件的機(jī)的值.

3.（2023?黑龍江?中考真題）如圖，拋物線丁=以2+版+3與工軸交于4（-3,0）,8（1,0）兩點(diǎn)，交V軸于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式.

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得SpBc=gsMe，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

4.（2023.湖北十堰?中考真題）4知拋物線了=加+在+8過點(diǎn)8（4,8）和點(diǎn)。（8,4）,與，軸交于點(diǎn)A.

（1）求拋物線的解析式；

⑵如圖1,連接點(diǎn)。在線段A3上（與點(diǎn)A,8不重合），點(diǎn)F是。4的中點(diǎn)，連接ED,過點(diǎn)。作

DE上FD交BC于點(diǎn)E,連接E尸，當(dāng)Q即面積是△>1￡）尸面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)