2024-2025學年遼寧省大連市王府高級中學高二（上）期中數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年遼寧省大連市王府高級中學高二（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x+y?1=0的傾斜角為(

)A.45° B.135° C.90° D.120°2.已知向量a=(1,?1,0)，則與a共線的一個單位向量e=(

)A.(1,1,0) B.(?22,23.用0，1，2，3，4這五個數字能組成無重復數字且1與3不相鄰的五位數的個數有(

)A.36 B.48 C.60 D.724.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點M在棱AB上，且AM=13，點P是平面ABCD上的動點，且動點P到直線A1D1的距離與點A.圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.直線5.已知直線l1：3x+2ay?5=0，l2：(3a?1)x?ay?2=0，若l1//l2A.?16 B.6 C.0 D.06.已知點P為拋物線y2=2px(p>0)上一動點，點Q為圓C：(x+2)2+(y?4)2=1上一動點，點F為拋物線的焦點，點P到y軸的距離為d，若A.1 B.2 C.3 D.47.設F1、F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓CA.32 B.233 8.過雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點B.已知OA.233 B.3+1 C.4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.過點P(1,2)且在x、y軸截距相等的直線方程為x+y?3=0

B.過點(?1,2)且垂直于直線x?2y+3=0的直線方程為3x+y=0

C.過兩圓x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y?4=0的交點的直線的方程是x+y+2=010.某工程隊有6輛不同的工程車，按下列方式分給工地進行作業(yè)，每個工地至少分1輛工程車，則下列結論正確的有(

)A.分給甲、乙、丙三地每地各2輛，有120種分配方式

B.分給甲、乙兩地每地各2輛，分發(fā)丙、丁兩地每地各1輛，有180種分配方式

C.分給甲、乙、丙三地，其中一地分4輛，另兩地各分1輛，有60種分配方式

D.分給甲、乙、丙、丁四地，其中兩地各分2輛，另兩地各分1輛，有1080種分配方式11.已知拋物線C：y2=2px(p>0)與圓O：x2+y2=5交于A、B兩點，且|AB|=4，直線l過C的焦點F，且與C交于A.p=2

B.1|MF|+1|NF|=1

C.存在某條直線l，使得|MF|+2|NF|=5

D.若點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖，在四面體OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在OA上，且OM=2MA，點13.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x?2)2+(y?3)2=1交于M，N兩點.若OM?14.如圖所示，平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，CB⊥CD，BA?BC+2DA?DC=0，若點A，C分別為焦點在軸上的橢圓E：x28+y2b2=1(b>0)的上、下頂點，點B在橢圓E四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,0)，B(?2,0)，C(?3,?3)．

(1)求BC邊上的中線AD的所在直線方程；

(2)求△ABC的外接圓M被直線l：x?y+1=0截得的弦長．16.(本小題15分)

已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點A(2,?4)．

(Ⅰ)求拋物線C的方程，并求其準線l的方程；

(Ⅱ)若點B(0,2)，求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線m17.(本小題15分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸長為4，直線2x?y=0為雙曲線C的一條漸近線．

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過點T(2,0)的直線l交雙曲線C于點M，N(點M在第一象限)，記直線MA斜率為18.(本小題15分)

如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面圓O的內接正三角形，且邊長為3，E在母線PC上，且AE=3，CE=1，EC⊥BD．

(1)求證：平面BED⊥平面ABD；

(2)求二面角E?AB?D的余弦值；

(3)設線段PO上動點為M，求直線DM與平面19.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，拋物線Γ：y2=4x的焦點與F2重合，若點P為橢圓C和拋物線Γ在第一象限的一個公共點，且△POF2的面積為63，其中O為坐標原點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C的上頂點B參考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.D

6.B

7.B

8.D

9.CD

10.BD

11.ABD

12.1

13.214.1215.解：(1)在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,0)，B(?2,0)，C(?3,?3)，

∵B(?2,0)，C(?3,?3)，

∴BC邊的中點D的坐標為(?52,?32)，

∴中線AD的斜率為?32?0?52?0=35，

∴中線AD的直線方程為：y?0=35(x?0)，即3x?5y=0；

(2)設△ABC的外接圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

∵A、B、C三點在圓上，

∴F=04?2D+F=09+9?3D?3E+F=0，

解得D=2E=4F=0，

∴外接圓M的方程為x2+y2+2x+4y=0，即(x+116.解：(Ⅰ)由題拋物線C：y2=2px(p>0)過點A(2,?4)，16=4p，解得p=4，

拋物線C的方程為y2=8x，其準線l方程為x=?2；

(Ⅱ)由題，①當直線m的斜率不存在時，y軸符合題意，其方程為x=0；

②如果直線m的斜率為0，y=2符合題意；

③如果直線m的斜率存在且不為0，則設直線m的方程為y=kx+2，

由y=kx+2y2=8x得ky2?8y+16=0，

由△=64?64k=0得k=1，

故直線m的方程為y=x+2，即x?y+2=0，

17.解：(1)∵虛軸長為4，∴2b=4，即b=2，

∵直線2x?y=0為雙曲線C的一條漸近線，

∴ba=2，∴a=1，

故雙曲線C的標準方程為x2?y24=1．

(2)由題意知，A(?1,0)，B(1,0)，

設直線l的方程為x=ny+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯立x2?y2418.解：(1)證明：如圖所示，設AC與BD交于點F，連接EF，

由于PO⊥底面ABD，BD?底面ABD，故PO⊥BD，

又EC⊥BD，即BD⊥PC，PC∩PO=P，PC，PO?平面AEC，

故BD⊥平面AEC，又EF，AC?平面AEC，故BD⊥EF，BD⊥AC，

△ABD為底面圓O的內接正三角形，且邊長為3，

則AD=3,AF=3×32=32，AC=ADsinπ3=2；

又AE=3,CE=1，

∴AC2=AE2+CE2，即AE⊥EC，

而AEAC=AFAE=32，

∴△AEC∽△AFE，則∠EFC=π2，即EF⊥AC，

結合BD⊥EF，AC，BD?平面ABD，AC∩BD=F，

∴EF⊥平面ABD，又EF?平面BED，

∴平面BED⊥平面ABD．

(2)以點F為坐標原點，以FA，FB，FE為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

結合(1)可知PO=2EF=2(3)2?(32)2=3，

則A(32,0,0),B(0,32,0),D(0,?32,0),E(0,0,32),P(12,0,3),O(12,0,0)，

則AB=(?32,32,0),AE=(?32,0,32)，

設平面ABE的法向量為n=(x,y,z)，

n19.解：(1)設P(x0,y0)x0>0，y0>0，由拋物線方程y2=4x，得焦點F2(1,0)，

設橢圓半焦距為c，則c=1，則F1(?1,0)，

因為S△POF2=12×1×y0=63，解得y0=263，

而點P在拋物