考研數(shù)學(xué)(一301)研究生考試試題及解答參考

研究生考試考研數(shù)學(xué)(一301)模擬試題(答案在后面)一、選擇題(本大題有10小題，每小題5分，共50分)1、設(shè)函數(shù)(f(x))在((-,+∞))上連續(xù)，且滿(mǎn)足)。若對(duì)任意實(shí)數(shù)(a)D)(f(x)=0,,C.不存在4、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x),函數(shù)(f(x))A.正數(shù)C.零D.無(wú)法確定D.(f(c))和(f(d))的大小關(guān)系不確定,,D.無(wú)定義A.(f|(x)|≤Mb-a))(f(x))是定義在區(qū)間([o,+～))上的連續(xù)函數(shù),則函三、解答題(本大題有7小題，每小題10分，共70分)第一題題目背景與要求設(shè)函數(shù)(f(x))在區(qū)間([a,b)上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間((a,b))內(nèi)可導(dǎo),并且滿(mǎn)足(f(a)=f(b)=の。證明:存在至少一個(gè)點(diǎn)(c∈(a,b)),使得(f(c)=の。解析本題考查的是羅爾定理的應(yīng)用。羅爾定理是微分學(xué)中的一個(gè)重要定理，它描述了在一定條件下，函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的存在性。2.在開(kāi)區(qū)間((a,b))內(nèi)可導(dǎo)；()=西，這正是羅爾定理適用的條件。第二題己知函數(shù)((x)=c-r+)在區(qū)間((0,+四))上單調(diào)遞增，且(f[0-可。(1)求函數(shù)(f(x))的服小值點(diǎn)：第三愿設(shè)函數(shù)(()-1n(r2+)+e?),求(())的一階導(dǎo)數(shù)(r())和二階導(dǎo)數(shù)((x))第四墨已知函數(shù),其中(x∈H).(1)求函數(shù)())的定義域。(2)求函數(shù)(f(x))的極值。(3)求函數(shù)(rC0)的單調(diào)區(qū)間。第五題四。證明在((a,5)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(5),使得(r(4)+2(5)-0.第六題設(shè)函數(shù)(f()=dsinx),其中(為實(shí)數(shù)。求函數(shù)(f00)的二階導(dǎo)數(shù)(廣(0)。第七愿設(shè)函數(shù)(r(方)在([4+j)上連續(xù)，且滿(mǎn)足如下條件：研究生考試考研數(shù)學(xué)(一301)模擬試題及解答參考一、選擇題(本大題有10小題，每小題5分，共50分)C)(f(x)=e)D)(f(x)=の解析：題目條件指出對(duì)于任意實(shí)數(shù)(a)和正數(shù)(b),積分函數(shù)。再結(jié)1,我們可以知道這個(gè)常數(shù)必須是1,這樣才能保證在整個(gè)實(shí)數(shù)域上積分值為1。因此，正確答案是B)(f(x)=1)。其他選項(xiàng)都不滿(mǎn)足上述兩個(gè)2、設(shè)函,則(f(x)在(x=D處的極限值為()解析：函數(shù)(f(x)在(x=D處的分母為0,但分子(x2-2x+1)可以化簡(jiǎn)為((x-D2),(f(x))在(x=)處的極限值為(f()=I+1=2)。但題目選項(xiàng)中沒(méi)有2,因此需要檢查計(jì)3、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x+1),則因此，正確答案是A。A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.無(wú)法確定因?yàn)?(-30)的值是負(fù)數(shù)，所以(f3J)在(o=-)時(shí)的符號(hào)為負(fù)數(shù)。同樣，極大值點(diǎn)(x-)的情況也適用于這個(gè)結(jié)論。因此答案是5、設(shè)函數(shù)(00)在區(qū)間CIa.A)上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間((a,5)內(nèi)可導(dǎo)，且(/(>勿對(duì)B()(fdJ)D.(())和(()的大小關(guān)系不確定(F<fd)。這是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)大于確答案是B。D.無(wú)定文解析：根據(jù)反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，(arcsin(x))的導(dǎo)數(shù)因此，正確答案是A。8、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x2+2x+a),若(f(2)=0且(f(-D)>0,則(a)的取值范圍已知(f(2)=0,代入函數(shù)得：接著，計(jì)算(f(-)):[f(-D=(-D3-3X-D2+X-D+4=-1-3-2因?yàn)?f(-D=-2>の不成立,所以選項(xiàng)中不存在符合(f(-の>の的(a)。然而題目要求(f(-)>の,因此屬于判斷錯(cuò)誤,正確的答案應(yīng)為空白選項(xiàng),表述為題目有瑕疵。正確答案應(yīng)調(diào)整題干，以滿(mǎn)足題意，最優(yōu)表述如下：等式下列選項(xiàng)正確的是?此題實(shí)際在問(wèn)以(f(-D>の為前提,(a)應(yīng)在何值范圍內(nèi)滿(mǎn)足條件。B.(If(x)|≤Mb-x))根據(jù)題目條件，(f(x))滿(mǎn)足羅爾定理的條件，即在閉區(qū)間([a,b])上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間((a,b))內(nèi)可導(dǎo),并且(f(a)=f(b)=の。這意味著至少存在一點(diǎn)(c∈(a,b)),使得但是,本題的關(guān)鍵在于利用(If(x)I≤M這個(gè)條件來(lái)估計(jì)(f(x))的大小。我們可以使用拉格朗日中值定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。根據(jù)拉格朗日中值定理,對(duì)于任何(xγ,x?∈取(x?=a)或(x,=b)(因?yàn)?f(a)=f(b)=の),B.0為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以將分子中的e"用泰勒展開(kāi)式近似表示：代入上式，得到：由于√1+h2≈1當(dāng)h接近0時(shí)，我們可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)：分子中的h與分母中的h相消，得到：當(dāng)h接近0時(shí)，都趨于0,所以：解析：此題考查函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，對(duì)于函數(shù)(f(x)=x3x2+2x+1),我們分別對(duì)每一項(xiàng)求導(dǎo)，得到(f(x)=3x2-6x+2)。2、設(shè)實(shí)數(shù)(x,x?,x3)滿(mǎn)足(x?+x?+x=3)且(x即[3×3≥3]即[9≥9因此，我們有(3x?=3),解[(a+b+c)2=(3)2=9][a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=9[3+2(ab+bc+ac)=將(ab+bc+ac=3代入(ab[(ab+bc+ac)2=(3)2=9][(ab)2+2abc(b+c)+(bc)2+2abc(a+c[I2·3+3·I2+I2·3+6·1·√3=9][3+3+3+63=9[9[(a+b+c)2=9][3+2(ab+bc+ac)=9[2(ab+bc+ac)=6][ab+bc+ac=3]將(ab+bc+ac=3代入(ab+b[(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+因此,(xjx?x?)的值為-6。再次計(jì)算發(fā)現(xiàn),由于之前的分析有誤,我們沒(méi)有考慮到或(-)。3、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x+2),則(f(x))在(x=の處的值答案：0解析:首先計(jì)算給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(f(x))。根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,(f(x)=x3-3x+2)の。因此,(f1(x))在(x=)處的值為0。這說(shuō)明在(x=)時(shí),原函數(shù)(f(x))的斜率為0,即該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于x軸。數(shù)(f(x))的極限(lim-f(x))區(qū)間([o,+～))上的連續(xù)函數(shù)則函6、設(shè)函數(shù)(f(x)=x3-3x2+2x),則(f(x)的極小值點(diǎn)是1,極小值是2.00小值是0。由于(ln2<),我們有(1-2ln2>0,因此(h(x)≥0。這意味著(e?≥2x+1)對(duì)·通過(guò)對(duì)(g(x)=の的求解需要一定的技巧,但可以觀察得知,當(dāng)(xくの時(shí)(e*>區(qū)間為凸區(qū)間；當(dāng)(O<x<)時(shí)為正值，對(duì)應(yīng)區(qū)間為凹區(qū)間。綜上所述，(f(x))在((0,1))為凹函數(shù)，在((-∞,0))和((1,+))為凸函數(shù)。第四題,,(1)求函數(shù)(f(x))的定義域。(2)求函數(shù)(f(x))的極值。(3)求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間。(1)函數(shù)(f(x))的定義域?yàn)?R),因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。,,因?yàn)?x>の,所以(e>1),所以(g'(x)>0,即(g(x))在((0,+○)上單調(diào)遞增。(3)由于(f(x)>の對(duì)所有的(x∈R)都成立,所以(f(x))在((-～,+～))上単調(diào)(4)由上面(3)中的證明,我們知道(f(x))在((-～,+～))上單調(diào)遞增,且(f(の=I)。題目:設(shè)函數(shù)(f(x))在區(qū)間([a,])上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(一個(gè)輔助函數(shù)(g(x)),并利用羅爾定理來(lái)完成令(g(x)=e2*f(x))。顯然,由于([x))在([a,b)上連續(xù),在((a,b)內(nèi)可導(dǎo),則(g(x))[g'(x)=(e2)'f(x)+e2(f(x))'=2e2*f(x)+e2f(x)=e2(即(g(a)=g(b)=の。根據(jù)羅爾定理,如果函數(shù)(g(x))在閉區(qū)間([a,b])上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間((a,b))內(nèi)可導(dǎo),并且(g(a)=g(b),那么在((a,b))內(nèi)至少存在一點(diǎn)(ξ),使因此,對(duì)于(g(x)=e2^f(x)),在((a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(5)使因?yàn)?e25)始終大于0,所以必有(f(5)+2f(ξ)=0。這正是我們要證明的結(jié)論。第六題設(shè)函數(shù)(f(x)=e*sinx),其中(x)為實(shí)數(shù)。求函數(shù)(f(x))的二階導(dǎo)數(shù)(f"首先，對(duì)(f(x)=e*sinx)求一階導(dǎo)數(shù)，使用乘積法則：[f"(x)=(e)'sinx+e(sinx)'][f(x)=e*s接著，對(duì)(f'(x))求二階導(dǎo)數(shù)，再次使用乘積法則：[f"(x)=(e)'(sinx+cosx)+e*(sinx+cose(cosx-sinx)][f"(x)=e(sinx+cosx+cosx-sinx)][