2025屆新高三開學摸底考試數學試卷（新高考）（解析版）

2025屆新高三開學摸底考試卷（新高考通用）

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本

試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.（2024?廣西?模擬預測）已知集合A={x|-2<尤<3},JB=|X|x2-5x<O,xeN},則AB=（）

A.{.r|0<x<3}B.[x\-2<x<5]C.{0,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【分析】先求集合B,注意xeN,再求AcB.

【詳解】X2-5X<0^0<X<5,又因為xeN,所以2={1,2,3,4},得AB={1,2}.

故選：D.

2.（2024.河南.模擬預測）已知復數z滿足-■^=-2"則z的虛部為（）

z

C.1D.±

A.-iB.-i

510510

【答案】c

【分析】根據條件，利用復數的四則運算，即可求出結果.

4z—i

【詳解】因為——=-4，所以4iz+l=2z，所以1=（2-4i）z,

Z

12+4i2+4i11.1

SirDIZ=----------=-----------------------------=-----------=——+7，所以Z的虛部為￡,

“以2-4i（2-4i）（2+4i）2010。5

故選：C.

3.（23-24高三下?陜西西安?階段練習）已知向量。=（狐1）,6=（1,〃），若（。+6）//（。-6）,則（）

A.mn=\B.mn=—lC.m—n=OD.帆_討=0

【答案】A

【分析】利用平面向量共線的坐標表示計算即可.

【詳解】6=(〃z+l,l+w),a-b=(m-l,l-n),

(a+Z?)〃(a—6),；.(加+1)(1—〃)=(〃?—1乂1+〃)，化簡得w7〃=l.

故選:A.

4.(23-24高一下?廣東廣州?期中)某校開展數學建?；顒?，有建模課題組的學生選擇測量某山峰的高度，

為此，他們設計了測量方案.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為45。，沿傾斜角為15。的斜坡向上走了90

米到達2點(A,B,P,Q在同一個平面內)，在2處測得山頂尸的仰角為60。，則山高尸。為()米

A.45(76-72)B.45(n+&)C.90(A/3-1)D.90(石+1)

【答案】B

【分析】在4AB尸中，利用正弦定理求"，進而在Rt.PA。中求山的高度.

【詳解】依題意，ZPAQ=45,ZBAQ=15,貝U?PAB30,ZAPQ=45,

又NPBC=60,貝IJ/BPC=30，即有N3PA=15,ZPBA=}35,

APAB

在，AB尸中，AB=90,由正弦定理得

sinZABP-sinZAPB?

[7_6

且sin15=sin(60-45)=sin60cos45-cos60sin45=---------

ABsin/ABP90sinl35。第號血④

則”=

sinZAPBsin15°"一夜a_垃，

4

在RtP4Q中，尸。=APsin45=髻%x也=45(#+衣,

A/6—A/22

所以山高尸。為45(#+&)米

故選：B

5.(2024.黑龍江哈爾濱?模擬預測)已知sinasin[a+《J=cosasin[三-aj,貝i|tan12a+?J=()

A.2-73B.-2-y/3C.2+?D.-2+白

【答案】B

【分析】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=6,進一步結合兩角和的正切公式即可得解.

【詳解】由題意^■sin。a+^-sinacosa=^^cos2a—^sinacosa,BP^-cos2a=—sin2a,

222222

/\tan2a+tan—①一四匚一2一技

即tanla=6，所以tan2a+-=----------------—

I4Ji_tan2atan—1-73-2

4

故選：B.

6.(2023?遼寧鞍山?一模)函數是定義在R上的偶函數，且/(l+x)=/(l-x),若xe[0』,/(%)=2\

則/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根據〃l+x)=〃l-X),結合f(x)是定義在R上的偶函數，易得函數的周期為2,然后由

/(2023)=/(1011x2+l)=/(I)求解.

【詳解】因為〃1+X)=〃1-力，且/'(X)是定義在R上的偶函數，

所以〃l+x)"(xT，

令r=x-l,則x=t+l,

所以〃r+2)=f⑺，即以x)=f(x+2),

所以函數/(x)的周期為2,

所以“2023)=7(1011x2+1)=/(1)=2.

故選：B.

7.(23-24高三上?福建?階段練習)函數〃x)=sinx+2卜inx|,xe[0,2K]的圖象與直線y=左有且僅有兩個不

同的交點，則上的取值范圍是()

A.（0,1）B.（0,3）C.（1,3）D.（0,2）

【答案】C

【解析】先分類討論去絕對值號，得出函數/（X）的解析式，然后畫出函數/（力與，=左的圖象進行判斷.

,,,,f3sinx,0<x<7r

【詳解】/'（x）=sm尤+2同11工=|.,

[-sinx,7i<x<27T

如圖所示，

要使〃句=$也%+2版11R,彳口0,2句的圖象與直線，=左有且僅有兩個不同的交點，則只需1〈發(fā)<3.

故選：C.

【點睛】本題考查根據函數圖象的交點個數求參數的取值范圍，較簡單，畫出函數的圖象是關鍵.

22

8.（2024?山東?模擬預測）己知雙曲線E：、一2=1（。>0力>。）的左、右焦點分別為6，K,過F?的直線

cib

與E的右支交于A,B兩點，且忸囚=2|A詞，若=則雙曲線E的離心率為（）

A.上B.叵C.逑D.畫

333

【答案】B

【分析】設|9|=乙則怛閶=2『，根據雙曲線的定義，可得|明|和|班|,再在直角三角形中，利用勾股定

理可得關于。，。的關系，可得雙曲線的離心率.

【詳解】如圖：設|然|=/,則怛閭=2r,

根據雙曲線的定義，可得|M|=2a+r,|%|=2。+2二,

因為曲-河二。，所以/創(chuàng)轉=90。，

用、』M「+|A為「小丹「n］（2a+ry+r=（2c）2

耳！以）=><

2222

\AF1|+|AB|=\BFf［｛2a+Z）+（3r）=（2〃+

由（2a+l）+（3，）=（2a+2，）—2a=3%,

代入（2a+t）2+r=（2c）2可得17a2=%2ne=￡=姮.

a3

故選：B

【點睛】方法點睛：選擇填空題中，出現圓錐曲線的問題，首先要考慮圓錐曲線定義的應用，不能用定義,

再考慮其他方法.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（2024?廣東汕頭.一模）某次數學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學

生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名

學生中，成績位于［80,90）內的學生成績方差為12,成績位于［90,100）內的同學成績方差為10.則（）

參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數和方差分別為：加、輸、7、s；.記樣本平均數為

石，樣本方差為$2,$2=/^卜；+任一砌2］+'^卜；+（》一同21

m+nL」m+n'-」

B.估計該年級學生成績的中位數約為77.14

C.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數為87.50

D.估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25

【答案】BCD

【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,列等式求出實數。的值，可判斷A選項；利

用中位數的定義可判斷B選項；利用總體平均數公式可判斷C選項；利用方差公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1,

則（2a+3a+7a+6a+2a）xl0=200a=l,解得a=0.005,A錯；

對于B選項，前兩個矩形的面積之和為（2a+3a）x10=50a=0.25<0.5,

前三個矩形的面積之和為（2a+3a+7a）xl0=120a=0.6>0.5,

設計該年級學生成績的中位數為機，則〃?七（70,80）,

根據中位數的定義可得025+（機-70）x0.035=0.5,解得相。77.14,

所以，估計該年級學生成績的中位數約為77.14,B對；

對于C選項，估計成績在80分以上的同學的成績的平均數為

6ax85+2a*95=87.5分,C對；

6a+2a6a+2a

對于D選項，估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為

1[12+（87.5-85）1+[[10+（87.5一95）1=30.25,D對.

故選：BCD.

10.（2024?河南?模擬預測）已知函數/（x）=sin（3x+：j,下列說法正確的是（）

A.的最小正周期為T

B.點借o]為〃尤）圖象的一個對稱中心

C.若/（尤）=。（。的在4-白餐上有兩個實數根，則且

L189J2

D.若的導函數為了'⑺，則函數）=/（x）+/'（x）的最大值為亞

【答案】ACD

【分析】對于A,直接由周期公式即可判斷；對于B,直接代入檢驗即可；對于C,畫出圖形，通過數形結

合即可判斷；對于D,求得后結合輔助角公式即可得解.

【詳解】由題意可得T=],故A正確；

/^=sin^=1^O,所以信,。)不是/⑺圖象的一個對稱中心，故B錯誤；

令t=3x+巴，由一二得至VfV女,

318963

(冗、77JT

根據題意可轉化為直線y=a與曲線/(x)=sin3x+w,xe有兩個交點,

I5)1oy

數形結合可得迫Wa<l,故C正確；

2

設尸⑺為“X)的導函數，

則/(%)+/((x)=sin+3cossin(3x+g+ej<A/10,其中tan。=3,

當且僅當3工+巴+9=四+2也,左eZ,即當且僅當x=-0+2+也MeZ時等號成立，故D正確，

323183

故選：ACD.

11.(2022?山東濟南?一模)平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡

西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現的.已知在平面直角坐標系中，M(-2,0),N(2,0),動點尸

滿足|出/卜|「叫=5,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結論正確的是()

A.曲線C與y軸的交點為(0,-1),(O,l)B.曲線C關于x軸對稱

C.PMV面積的最大值為2D.|。尸|的取值范圍是［1,3］

【答案】ABD

【分析】根據給定條件，求出曲線C的方程，由x=。判斷A；由曲線方程對稱性判斷B；取特值計算判斷

C；求出工?的范圍計算判斷D作答.

【詳解】設點P(x，N)，依題意，?+2)2+力?-2)2+產］=25,整理得：d+/=+25-4，

對于A,當尤=0時，解得y=±l,即曲線C與y軸的交點為(0,-1),(0,1),A正確；

對于B,因d+(_"=d+/=Ji6d+25-4，由換，方程不變，曲線C關于無軸對稱，B正確；

對于C,當Y=_|時，y2=|,即點p(等，當)在曲線C上，S崢=；即\老=瓜'C不正確;

對于D,由/=，16/+25-4-%220得:X4-8.X2-9<0,解得04/49,

于是得|OP「='+5+25-4e[1,9]，解得14|。尸區(qū)3,D正確.

故選：ABD

【點睛】結論點睛：曲線C的方程為尸(x,y)=o,(1)如果2-X,y)=。，則曲線C關于y軸對稱；

⑵如果P(x,-y)=0,則曲線C關于x軸對稱；(3)如果歹(r,-y)=0,則曲線C關于原點對稱.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2024.江西?二模)已知非零向量。,6滿足2同=忖，且a_L(a-6),則的夾角大小為.

【答案】|

【分析】由向量垂直的數量積表示和數量積的定義式運算即可.

【詳解】因為設向量。與6的夾角為6,

所以〃?(〃_/?)=a?_[.)=同2_同..cos8=0,

1

所以同0—2卜1.同cos夕=0,所以cos。=萬.

TT

因為0<。<兀，所以。=g.

所以向量a,6的夾角大小為巳.

故答案為：y.

13.(23-24高二下?四川廣安?階段練習)已知直線>=去+6既是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=-ln(-x)

的切線，貝必+6=.

【答案】-/e-1

e

【分析】利用導數的幾何意義計算即可.

【詳解】設曲線y=lnx與y=-ln（-x）的切點分別為（％,%）,（超,%），

易知兩曲線的導函數分別為y=工

X

MX2b=0

1+b--ink

所以kx+b=]nxn=><

lx-1+b=\nkk=-

kx2+b=-ln(-x2)e

則A+b=L

e

故答案為：—.

e

14.（2024?安徽安慶?三模）一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數字1,2,3,4,4.現

甲從中隨機摸出一個球記下所標數字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數字，若摸出的球上所標

數字大即獲勝（若所標數字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.

【答案】|

【分析】設事件“甲獲勝”為事件A,事件“乙摸到2號球”為事件3,由古典概率公式求出P（A）,P（AB）,再

由條件概率求解即可.

【詳解】設事件“甲獲勝”為事件A,事件“乙摸到2號球，，為事件B,

1+2+CC」,“必=C；_3

《?C二25'

i

故答案為：

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（2024?湖南益陽?三模）已知。、b,c分另I」是44BC內角A,B,C的對邊，（b-a）cosC=c（cosA-cosB）,

b2=2ac.

⑴求cosC；

（2）若448c的面積為JI?,求J

7

【答案】(1)(2)2.

O

【解析】(1)由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡，然后結合余弦定理可求;

(2)由已知結合三角形的面積公式即可直接求解.

【詳解】(1)由S—a)cosC=c(cosA-cos8)及正弦定理可得，

sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA-sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB=sinCcosA+sinAcosC,

即sin(B+C)=sin(A+C),

所以sinA=sinB,

所以a=

因為。2=lac-2bc，

所以Z?=2c,

222

由余弦定理可得，cose：“2：%2；。24C+4C-C_7

2ab2x2cx2c8

(2)由(1)知sinC=n=半

因為2MBe的面積為止，所以LabsinC=^a2x@l=拒，解可得。=4,

228

貝fJc=L=2

2

【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面積公式在求解三角形中的應用,

屬于中檔試題.

22

16.(23-24高二上?江蘇徐州?階段練習)已知橢圓C：斗=1(a>b>0)的一個焦點為網2,0),且離

ab

心率為近

3

⑴求橢圓C的方程；

(2)直線/：y=x+7"與橢圓C交于A,B兩點，若ABO面積為G，求直線/的方程.

22

【答案】⑴土+工=1

62

(2)y=x±2

【分析】(1)根據焦點坐標和離心率求出a，c,從而求出6,即可求解方程；

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，韋達定理求出弦長，利用點到直線的距離求出高，根據面積建立方程求解即可.

【詳解】（1）由焦點為尸（2,0）得c=2,又離心率e=￡=逅，得到〃=指,

a3

22

所以/=°2一°2=6一4=2,所以橢圓C的方程為工+匕=1.

62

⑵設4（Xi，yi）,B（x2ly2）,

fx2y2,

聯(lián)立v62,消y得4/+6mx+3--6=0,

y=x+m

2222

A=36m-16（3m—6）=-12m+96>0,得至I」m<8,

由韋達定理得，玉+%-當，不々=即』，

M也

2

又因為AB=個1+k\x2—x1\

H

又原點到直線的距離為4=0，

遍

所以S480=34|陰=gxMx一

02

所以m4-8m2+16=0,所以："2=4,B|]m=±2,滿足加？<8,

所以直線/的方程為y=x±2.

17.（2024?河南?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面B4B_L平面ABC。/%_LAB,A8〃C￡>,且

AB=2CD=2AD=2BC=2AP=2.

（1）證明：平面PAC_L平面P2C；

（2）求平面PAD與平面PBC夾角的正弦值.

設平面尸5c的法向量%=(m,n,p),

n2-PB=-m+2〃=0

則,n#,p，令P=l，得%=(2百,6,1),

n?BC=-----F------=0

I0222

21

設平面PAD與平面尸5C的夾角為，，則cos6=^^^=不二二:，

匐同2x44

所以平面MD與平面P8C夾角的正弦值為J1-COS26=史.

4

18.(2024?廣東茂名?二模)在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具

體賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣,

勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗

者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，

敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為p(O<p<l),且不同對陣的結果相互獨立.

(1)若。=0.6,經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最

后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.

【答案】⑴①006；②3.128

(2)答案見解析..

【分析】(1)結合對立事件概率和獨立事件概率公式求解即可；

(2)結合對立事件概率和獨立事件概率公式比較計算.

【詳解】⑴①記“甲獲得第四名”為事件A,則尸⑷=(1-0.6)2=0.16；

②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X,

則X的所有可能取值為2,3,4,

連敗兩局：P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,

X=3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負；負勝負；勝負負；

x=3)=0.62+(1-0.6)X0.6X(1-0.6)+0.6X(1-0.6)X(1-0.6)=0.552,

p(X=4)=(1-0.6)x0.6x0.6+0.6x(1-0.6)x0.6=0.288；

故X的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

故數學期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128；

(2)“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率尸=03+0(1—。)22+(1-2)23=(3—2。)/,

在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為加，

由(3-2p)p3-p2=p2(3/?-2/?2-l)=/?2(2p-l)(l-^>),且0<P<1

所以。時，(3-2p)p3>p2,“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；

時，(3—“單敗淘汰制，，對甲奪冠有利；

P=g時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.

19.(2024?河南信陽.二模)已知函數y=〃尤)，其中〃尤)=g/-&，ZeR.若點A在函數y=〃尤)的圖

像上，且經過點A的切線與函數y=/(x)圖像的另一個交點為點8,則稱點8為點A的一個“上位點”，現有

函數y=〃x)圖像上的點列監(jiān)，M2,Mn,使得對任意正整數”，點心都是點吃+1的一個“上位

點”.

(1)若左=0,請判斷原點。是否存在“上位點”，并說明理由；

⑵若點Ml的坐標為(310),請分別求出點〃2、AG的坐標；

⑶若M的坐標為(3,0),記點M”到直線y=，"的距離為力.問是否存在實數機和正整數T,使得無窮數列辦、

dT+l....辦+“…嚴格減？若存在，求出實數機的所有可能值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)原點。不存在“上位點”，理由見解析

⑵點場的坐標為(。,0)，點M的坐標為

2

⑶存在，m=--

【分析】（1）先求得函數經過點。的切線方程，再