2025高考數(shù)學復習必刷題：存在性問題的探究（學生版）

第74講存在性問題的探究

知識梳理

題型一：存在點使向量數(shù)量積為定值

例L(2024?甘肅天水?高二天水市第一中學校考期末)已知橢圓E的中心在原點，焦點在尤

軸上，橢圓的左頂點坐標為卜&,0),離心率為e=f.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點(1,0)作直線/交E于P、。兩點，試問：在無軸上是否存在一個定點使

標?改為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由.

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例2.(2024?山西大同?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓二+與=1(°>6>0)的一個焦點與拋物線

ab

y2=4氐的焦點F重合，且橢圓短軸的兩個端點與F構成正三角形.

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點(1,0)的直線/與橢圓交于不同兩點P、Q,試問在x軸上是否存在定點外m,0),

使豆?四恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由.

例3.(2024.重慶渝北.高二重慶市松樹橋中學校?？茧A段練習)已知橢圓C的中心在坐標

原點，焦點在x軸上，其左、右焦點分別為耳，入，短軸長為2班.點尸在橢圓C上，且滿

足△尸月鳥的周長為6.

(I)求橢圓C的方程；

(II)過點(T，。)的直線/與橢圓C相交于A,8兩點，試問在x軸上是否存在一定點”,

使得祝?荻恒為定值？若存在，求出該點M的坐標；若不存在，請說明理由.

變式1.（2。24.全國?高三專題練習）已知橢圓C:：+…>。）的離心率為去橢

圓經(jīng)過點A

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點（1,0）作直線/交C于兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點尸，使

兩?兩為定值？若存在，求出這個定點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

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變式2.（2024.遼寧錦州.統(tǒng)考模擬預測）已知「工為雙曲線E:1-1=1（°>0*>0）的

ab

左、右焦點，E的離心率為石，“為E上一點，且圖一|〃制=2.

（1）求E的方程；

⑵設點M在坐標軸上，直線/與E交于異于M的兩點，且點”在以線段A3為直徑的

圓上，過“作MC1.AB,垂足為C,是否存在點。，使得|CD|為定值？若存在，求出點

。的坐標；若不存在，請說明理由.

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變式3.（2024?山西大同?統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓0:0+2=1（4>6>0）的離心率為

ab

*且直線y=x+b是拋物線C2：y2=4x的一條切線.

⑴求橢圓G的方程；

⑵過點s（o,-￡|的動直線力交橢圓G于A,8兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個

定點T,使得以A3為直徑的圓恒過定點T?若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理

由.

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變式4.（2024?江蘇揚州?統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓C:=+多=l（a>b>0）的左頂點為A,

過右焦點F且平行于y軸的弦PQ=AF=3.

⑴求△APQ的內(nèi)心坐標；

⑵是否存在定點。，使過點。的直線/交C于M,N,交尸。于點R,且滿足

MRND=MD~RN^若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由.

題型二：存在點使斜率之和或之積為定值

例4.（2024.山東泰安?統(tǒng)考模擬預測）已知為。坐標原點，

A（2,0）,B（0,l）,C（0,-l）,D（2,l）,OE=AOA,DF=ADA,Q<2<1,CE和BF交點為P.

⑴求點尸的軌跡G；

⑵直線y=x+皿加WO）和曲線G交與N兩點，試判斷是否存在定點。使左

如果存在，求出Q點坐標，不存在請說明理由.

例5.（2024.重慶渝中.高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）己知點4（-2,0）,B（2,0）,

3

尸(x,y)是異于A，B的動點，%,L分別是直線AP,阱的斜率，且滿足加?％=-：.

(1)求動點尸的軌跡方程；

⑵在線段A3上是否存在定點E,使得過點E的直線交P的軌跡于M,N兩點，且對直線

x=4上任意一點Q,都有直線QM,QE,QV的斜率成等差數(shù)列.若存在，求出定點E,

若不存在，請說明理由.

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例6.(2024?吉林?吉林省實驗校考模擬預測)以雙曲線己方-弓=1(。>08>0)的右焦點產(chǎn)

ab

為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點。

(1)求C的方程.

(2)在x軸上是否存在定點過點M任意作一條不與坐標軸垂直的直線/,當/與C交于

兩點時，直線AF,8廳的斜率之和為定值？若存在，求出M點的坐標，若不存在，說

明理由.

變式5.(2024.湖北荊州?高二荊州中學?？茧A段練習)已知圓C方程為

x2+y1-Smx-(6m+2)y+6m+\=0(meR,m^0),橢圓中心在原點，焦點在x軸上.

(1)證明圓C恒過一定點M,并求此定點M的坐標；

(2)判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關系，并證明你的結論；

(3)當〃z=2時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過(1)中的點求此時橢圓方

程；在無軸上是否存在兩定點A,8使得對橢圓上任意一點。(異于長軸端點)，直線

QA,Q8的斜率之積為定值？若存在，求出A,B坐標；若不存在，請說明理由.

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變式6.（2024?河北.高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：，+2=1（°＞匕＞0）的左、右焦

點分別為《，居，焦距為2,實軸長為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過點耳不與x軸重合的直線/與橢圓C相交于E,。兩點，試問在x軸上是否存在

一個點使得直線ME,MD的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點〃的坐

標；若不存在，請說明理由.

變式7.（2024.吉林長春?高三長春外國語學校校考開學考試）已知橢圓

C:^+方=1（。＞6＞0）的離心率為（，及、入分別是橢圓的左、右焦點，尸是橢圓上一

點，且△尸與居的周長是6.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線/經(jīng)過橢圓的右焦點入且與C交于不同的兩點N,試問：在x軸上是否

存在點。，使得直線。用與直線。N的斜率的和為定值？若存在，請求出點。的坐標；若

不存在，請說明理由.

變式8.（2024.全國?高三專題練習）設橢圓C：\+E=Ka＞"＞。）的離心率是受，過點

aZ?2

P（0,l）的動直線L于橢圓相交于A,B兩點，當直線L平行于尤軸時，直線L被橢圓C截得

弦長為2后.

（I）求E的方程；

（ii）在y上是否存在與點p不同的定點Q,使得直線4。和2。的傾斜角互補？若存在,

求。的坐標；若不存在，說明理由.

題型三：存在點使兩角度相等

例7.（2024?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）已知橢圓G：二+9=1（。＞1）的左右焦點分別為

a

辱F2,A,B分別為橢圓G的上，下頂點，尸2到直線A耳的距離為右.

⑴求橢圓G的方程；

⑵直線尤=無。與橢圓G交于不同的兩點C,。，直線分別交X軸于P,Q兩點.問：y

軸上是否存在點R,使得NORP+NORQ=]?若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明

理由.

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例8.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓C：5+W=l（a＞b＞。）經(jīng)過點A（-2,0）且兩個

焦點及短軸兩頂點圍成四邊形的面積為4.

（1）求橢圓C的方程和離心率；

（2）設尸，Q為橢圓c上不同的兩個點，直線謖與y軸交于點E,直線AQ與y軸交于點

F,且尸、0、。三點共線.其中。為坐標原點.問：x軸上是否存在點“，使得

=若存在，求點M的坐標，若不存在，說明理由.

例9.（2024?四川綿陽.模擬預測）已知點A是圓C:（x-1）2+V=16上的任意一點，點

產(chǎn)（-1,0）,線段AF的垂直平分線交AC于點P.

⑴求動點P的軌跡E的方程；

⑵若過點G（3,0）且斜率不為。的直線/交（1）中軌跡￡于M、N兩點，。為坐標原點，

點3（2,0）.問：龍軸上是否存在定點T,使得=恒成立.若存在，請求出點T

的坐標，若不存在，請說明理由.

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變式9.（2024?陜西西安.陜西師大附中?？寄M預測）已知橢圓C:三+匕=l（a>0）經(jīng)過點

（-1，1）,過點T（G,。）的直線交該橢圓于P,。兩點.

（1）求△OPQ面積的最大值，并求此時直線PQ的方程；

（2）若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點S（s,0）使得ZPST=NQST恒成立？若存

在，求出$的值；若不存在，說明理由.

變式10.（2024.四川成都.高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學考試）已知橢圓

。：3+方=1（。>>>0）過點,孝］,且上頂點與右頂點的距離為

⑴求橢圓C的方程；

⑵若過點尸（3,0）的直線/交橢圓C于A3兩點，X軸上是否存在點Q使得

NPQA+NPQB』，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

變式U.（2024?河南信陽?高三信陽高中?？茧A段練習）在平面直角坐標系宜b中，動點M

到點0（2,0）的距離等于點M到直線x=1距離的加倍，記動點M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）已知直線/：y=+r（此2）與曲線C交于4,8兩點，問曲線C上是否存在兩點P,。滿

足ZAPB=ZAQ8=90。，若存在，請求出兩點坐標，不存在，請說明理由.

題型四：存在點使等式恒成立

例10.（2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預測）已知R是圓M：（x+6y+V=8上的動點，點

N（g,0）,直線NR與圓M的另一個交點為S,點L在直線MR上，MS//NL,動點L的

軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵若過點P（-2,0）的直線/與曲線C相交于A,B兩點，且A,B都在x軸上方，問：在尤

軸上是否存在定點。，使得AQAB的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結論并證明.

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例11.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓「：5+左=1（。＞10）的左、右焦點分別為

ab

F、,F?過點8（0力）且與直線即垂直的直線交x軸負半軸于O,且2月后+M=G

（1）求橢圓「的離心率;

(2)若過8、D、工三點的圓恰好與直線/:x-&y-6=0相切，求橢圓「的方程;

(3)設a=2.過橢圓T右焦點B且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓「交于尸、。兩點，點M

是點尸關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N,使得M、Q、N三點共線？若

存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由.

例12.(2024.福建福州?福州三中?？寄M預測)如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近

線的距離為若，左、右頂點分別為A、B.曲線C是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短

軸，且離心率為g的橢圓，設尸在第一象限且在雙曲線上，直線8尸交橢圓于點M,直線

AP與橢圓交于另一點N.

(1)求橢圓及雙曲線的標準方程；

⑵設MN與x軸交于點T,是否存在點P使得馬=4/(其中/，/為點P,T的橫坐標),

若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由.

變式12.(2024?福建福州?福州四中校考模擬預測)已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓

E：%r1的左頂點和右焦點分別為"動點尸滿足網(wǎng)—小斗記動點尸的

軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設點。在E上，過Q作C的兩條切線，分別與y軸相交于M,N兩點.是否存在點。，使

得|加郎等于E的短軸長？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

變式13.(2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預測)己知點M到點尸的距離比它到直線/：

丁=-2的距離小記動點M的軌跡為E

(1)求E的方程;

⑵若過點下的直線交E于A(4%),州%,％)兩點，則在無軸的正半軸上是否存在點P，

使得B4,尸8分別交E于另外兩點C,D,且荏=3也？若存在，請求出尸點坐標，若不

存在，請說明理由.

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變式14.(2024?北京海淀?中關村中學校考三模)已知橢圓從「+2=13>6>())的焦距

ab

為2,長軸長為4.

(1)求橢圓E的方程及離心率；

⑵過點M(-3,0)且與x軸不重合的直線/與橢圓E交于不同的兩點8、C,點8關于x軸的

對稱點為8'.問：平面內(nèi)是否存在定點尸，使得？恒在直線PC上？若存在，求出點尸的坐

標；若不存在，說明理由.

題型五：存在點使線段關系式為定值

例13.(2024?全國?高三專題練習)橢圓E經(jīng)過兩點,曰］,［￥，￥］，過點尸的動直線

/與橢圓相交于A,8兩點.

⑴求橢圓E的方程；

(2)若橢圓E的右焦點是P,其右準線與x軸交于點。，直線AQ的斜率為左，直線3Q的斜

率為左2，求證：左+左2=。；

⑶設點尸億。)是橢圓E的長軸上某一點(不為長軸頂點及坐標原點)，是否存在與點尸不同

QAPA

的定點。，使得冷="丁恒成立？只需寫出點。的坐標，無需證明.

例14.(2024.福建寧德??？寄M預測)己知雙曲線C與雙曲線舌一］=1有相同的漸近

線，且過點42夜,-1).

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)己知點0(2,0),E,尸是雙曲線C上不同于。的兩點，且理.力聲=0，OGL瓦于點

G,證明:存在定點H,使|G"|為定值.

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例15.(2024?四川成都?高三?？茧A段練習)已知橢圓C：亍+a=1(">6>0)的離心率為

過橢圓右焦點廠的直線/與橢圓交于48兩點，當直線/與x軸垂直時，|AB|=3.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵當直線/的斜率為H%w0)時，在X軸上是否存在一點尸(異于點尸)，使X軸上任意一

點到直線刑與到直線尸8的距離相等？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由.

變式15.（2024?陜西安康?陜西省安康中學?？寄M預測）已知橢圓E的中心為坐標原點,

對稱軸為坐標軸，且過點4（2,0）,21,.直線x=7（不經(jīng)過點B）與橢圓E交于M,N

兩點，。。,。），直線"Q與橢圓E交于另一點C,點尸滿足酬?祀=0,且P在直線NC

上.

⑴求E的方程;

（2）證明：直線NC過定點，且存在另一個定點R,使|尸用為定值.

變式16.（2024?湖南衡陽?高三衡陽市八中?？茧A段練習）已知雙曲線

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C:,-方=l（a>0,b>0）的右焦點，右頂點分別為尸，A,川02），W典=1,點加在線

段A3上，且滿足忸=直線ON的斜率為1,0為坐標原點.

⑴求雙曲線C的方程.

⑵過點廠的直線/與雙曲線C的右支相交于尸，。兩點，在x軸上是否存在與產(chǎn)不同的定

點E,使得但P|?|P。|=但0?|FPH'亙成立？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理

由.

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變式17.(2024?河北秦皇島?校聯(lián)考模擬預測)如圖，橢圓C:=+2=l(a>6>0)的左、