2023年高考數(shù)學(xué)必背知識手冊第八章 立體幾何初步（公式、定理、結(jié)論圖表）

2023年高考數(shù)學(xué)必背知識手冊（新教材）第八章立體幾何初步（公

式、定理、結(jié)論圖表）

現(xiàn)實(shí)世界中的物體柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

.

空間幾何體I立體圖形的直觀圖

柱、錐、臺、球的表面積和體力

平面的基本性質(zhì)

訪中直線占直線的位置更系

空間點(diǎn)、直線、空間中直線、平面的平行

平面的位置關(guān)系

朝中直線與平面的位置關(guān)系

空間中直線、平面的垂直

空間中平面與平面的位置關(guān)系

空間平行、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

判定判定

直線與直線平行--直線與平面平行.i平面與平面平行

iA?性質(zhì)-）

性質(zhì)

性質(zhì)

-----------------判定|--------'--------判定|----------------

直線與直線垂直一.」!直線與平面垂直-1平面與平面垂直

性質(zhì)］

［、知識梳理|

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

圖形

AB顯

ABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn),但不一定相等延長線交于一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2.正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征

(1)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反

之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱

錐.特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體.

3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

,0

③W

圖形

互相平行且相長度相等且相交

母線延長線交于一點(diǎn)

等，垂直于底面于~.點(diǎn)

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

龍

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓

4.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方和正

上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線.

(3)三視圖的長度特征：

“長對正、高平齊、寬相等”，即正俯同長、正側(cè)同高、俯側(cè)同寬.

5.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、y軸、Z軸兩兩垂直，直觀圖中，X,軸，V軸的夾角為45?；?35。,z'

軸與/軸和V軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸;平行于x軸和z軸的線段在

直觀圖中保持原長度不變;平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半.

6.多面體的表(側(cè))面積

因?yàn)槎嗝骟w的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是

側(cè)面積與底面面積之和.

7.圓柱、圓錐'圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

八已

/金;’\:

側(cè)面展開圖，心，'2s

S圓鍍側(cè)=匹以S圓臺側(cè)=兀(〃1+-2)/

側(cè)面積公式S網(wǎng)柱-=2兀//

r'=尸r=0

三者關(guān)系

S圓柱側(cè)一271n*S/臺側(cè)一兀(/11)19S圓錐側(cè)一Tirl

8.柱、錐、臺和球的表面積和體積

名稱

表面積體積

幾何體

V=Sh

柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底

V=^Sh

錐體(棱錐和圓錐)S衣面積=S惻+S底

5-

%=；（S上+S卜

臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上.+S下

S=4nR24a

球丫=彳711?

3-----

9.平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).

(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面.

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直

線.

(4)公理2的三個推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

10.空間直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系的分類

|平行直線

共面直線［相交直線

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'//a,b'//b,把a(bǔ)'與

b,所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍：國司.

(3)平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

等角定理.：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).

11.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)

直線a在平面a內(nèi)/0/aUa有無數(shù)個公共點(diǎn)

直線a與平面a_a_

a//a沒有公共點(diǎn)

平行

直線

直線a與平面a

在平/Var\a=A

斜交

面外有且只有一個公共點(diǎn)

直線a與平面a

垂直上7

⑵空間中兩個平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)

兩平面平行a〃夕沒有公共點(diǎn)

//

兩平斜交aC4=7

面相有一條公共直線

交aa工B且

垂直，'。7

,/p_____/aC°=a

12.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

符號

文字語言圖形語言

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該

---------1aUa,W

判定定理直線與此平面平行(簡記為“線線平行今線面平

a9

行”)

：.l//a

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平IUB，

性質(zhì)定理面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平aC8=

行今線線平行”)b，

：.l//b

13.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面內(nèi)的兩條相交直?.Z〃￡,b//[i,

線與另一個平面平行，則aCb=P,

判定定理1ax7

這兩個平面平行(簡記為口bUa,

“線面平行臺面面平行”):.a"§

如果兩個平行平面同時和B，aGy=a，

性質(zhì)定理第三個平面相交,那么它

們的交線平行:.allb

14,直線與平面垂直

(1)定義：如果直線/與平面a內(nèi)的任意二＞直線都垂直，則直線/與平面a垂直.

(2)判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條祖交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

(3)推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

(4)直線和平面垂直的性質(zhì)：

①垂直于同一個平面的兩條直線壬丘.

②直線垂直于平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任二直線.

③垂直于同一條直線的兩平面壬立.

15.直線和平面所成的角

(1)平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角.

(2)當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90。和

02.

(3)直線和平面所成角的范圍是0?；?。乏90。.

16.二面角的有關(guān)概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍是0WW180。.

17.平面與平面垂直

(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

判定定一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面3/JLa

理垂直力/u疥"

a邛、

口

性質(zhì)定兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直＞今

aCp=a

理線與另一個平面垂直力

/_La

〈常用結(jié)論》

1.特殊的四棱柱

底面為平行側(cè)棱垂直直平行底面為

四棱柱

平行四邊形六面體于底面六面體矩形

底面?zhèn)壤馀c底面

長方體正四棱柱正方體

邊長相等邊長相等

上述四棱柱有以下集合關(guān)系：：正方體:有正四棱柱|號

｛長方體｝會｛直平行六面體；呈；平行六面體:'等'四棱

柱

2.球的截面的性質(zhì)

⑴球的任何截面是圓面；

(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；

(3)球心到截面的距離d與球的半徑式及截面的半徑r的關(guān)系為r^R2-d2.

3.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關(guān)系如下:

s直觀圖=斗、原用彩，S原圖形=2啦￡直觀圖?

4.正四面體的表面積與體積

棱長為a的正四面體，其表面積為［如，體積為書Q.

5.幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,

①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=y/3a;

②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a;

③若球與正方體的各棱相切，則2汽=也以

(2)若長方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為火，則2/OZS2.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1,棱長為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑

R內(nèi)外接球半徑R*=｛&

6.異面直線的判定定理

經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.

7.等角定理的引申

(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個角相等.

(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個邊相同，一個邊相反，則這兩個南互補(bǔ).

8.唯一性定理

(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

9.線、面平行的性質(zhì)

(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.

(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度粗差.

(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面型￡.

(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

(5)如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行.

(6)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平

面平行.

(7)垂直于同一條直線的兩個平面壬丘.

(8)垂直于同一平面的兩條直線土丘.

10.若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

11.一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.

12.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

13.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.

14.過一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直.

〈解題方法與技巧)

一、空間幾何體概念辨析題的常用方法

|緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)

定義法

系或增加線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

-通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個結(jié)論是錯誤的，只要舉出一個反

典例1：下列結(jié)論正確的是()

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)

形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線

D[A錯誤.如圖1所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是

B錯誤.如圖2,若△N8C不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直

線，所得的幾何體都不是圓錐.

C錯誤.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長.D正確.]

二'識別三視圖的步驟

(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；

對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

典例2：(1)如圖是一個正方體，A,B,C為三個頂點(diǎn)，。是棱的中點(diǎn)，則三棱錐438

(2)中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖

中木構(gòu)件右邊的小長方體是梯頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,

則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()

俯

視

方

向

O

E

匚

口

D

C

B

A

選A.

易知

線，

為虛

，故

不見

均看

和8。

〃。

中棱

視圖

和俯

視圖

[(1)正

)A

(2

(1)A

.]

圖形

中的

項(xiàng)A

為選

視圖

其俯

示，

圖所

件如

木構(gòu)

眼的

帶卯

合時

，咬

可知

題意

(2)由

步驟

體的

幾何

確定

視圖

由三

三、

:

面形狀

斷出底

視圖判

根據(jù)俯

面了

定底

.....

.........

.........

.........

g.

:

特征

面的

與側(cè)

側(cè)棱

體的

幾何