24.3　正多邊形和圓

第頁(yè)24.3正多邊形和圓

教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】1.了解正多邊形的定義;2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系,并能應(yīng)用它們進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算;3.會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)關(guān)系畫正多邊形.【過(guò)程與方法】學(xué)習(xí)借助圓來(lái)研究正多邊形這一數(shù)學(xué)方法,通過(guò)轉(zhuǎn)化,用解直角三角形來(lái)研究圓內(nèi)接正多邊形,培養(yǎng)學(xué)生探索、推理、歸納、遷移等能力.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】學(xué)生經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、探究等數(shù)學(xué)活動(dòng),感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又服務(wù)于生活,體現(xiàn)了事物之間的相互聯(lián)系與相互作用.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】探索正多邊形和圓的關(guān)系,弄清正多邊形半徑、中心角、邊心距和邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.【教學(xué)難點(diǎn)】利用圓研究正多邊形,化正多邊形問(wèn)題為解直角三角形問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

一、情境導(dǎo)入我國(guó)國(guó)旗上的五角星及正六邊形、正三角形等許多圖形都可以利用圓的有關(guān)知識(shí)畫出來(lái),早在古代,就有人用直尺和圓規(guī)作出正三角形、正方形及正五邊形了,可是利用尺規(guī)卻無(wú)法作出正七邊形或正十一邊形,許多先人的嘗試都以失敗告終,這種局面持續(xù)了2019多年.1796年,年僅19歲的數(shù)學(xué)家高斯解決了這個(gè)問(wèn)題,成為轟動(dòng)數(shù)學(xué)界的偉大成就.目前,對(duì)于正多邊形的研究,我們經(jīng)常借助圓來(lái)討論,那么它們之間有怎樣的聯(lián)系呢?二、合作探究探究點(diǎn)1正多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)典例1已知正六邊形的半徑為R,求正六邊形的邊長(zhǎng)、邊心距和面積.[解析]如圖,邊長(zhǎng)a6=AB,半徑OA=R,作OM⊥AB于M,設(shè)邊心距OM=r,在RtAOM中,∵正六邊形的中心角為60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM,而AB=2AM,∴AB=OA=R.r=R2-∴S=6S△AOB=6×12×AB×OM=332有關(guān)正多邊形的計(jì)算,都要作出它的半徑和邊心距為輔助線,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.變式訓(xùn)練半徑為2的圓內(nèi)接正三角形、正四邊形、正六邊形的邊心距之比為.

[答案]1∶2探究點(diǎn)2畫正多邊形典例2(1)畫一個(gè)半徑為2cm的圓的內(nèi)接正七邊形;(2)畫一個(gè)半徑為3cm的圓的內(nèi)接正十二邊形.[解析](1)作法:在半徑為2cm的☉O中,用量角器畫α=360°7≈51°,這個(gè)角所對(duì)的弧就是圓的1(2)作法:在半徑為3cm的☉O上,以半徑的長(zhǎng)在圓上依次截取弦長(zhǎng)等于半徑的弧,再作各弧的相應(yīng)弦的垂直平分線,各平分線與圓相交,這些點(diǎn)和前面的6等分圓的點(diǎn)就把圓12等分,依次連接各等分點(diǎn),就得到半徑為3cm的圓接正十二邊形(如圖2).(1)不管用什么方法畫正多邊形,關(guān)鍵是將圓進(jìn)行等分.用量角器等分時(shí),其畫法的根據(jù)是:正n邊形的圓心角都等于360°(2)用量角器等分圓周是一種簡(jiǎn)單而常用的方法,它適用于畫任意正多邊形,但作的是近似圖形;尺規(guī)作圖法是一種比較準(zhǔn)確的等分圓的方法,但有很大的局限性,不能將圓任意等分,它只適應(yīng)于作某些特殊的正多邊形.如正三邊形、六邊形、十二邊形、二十四邊形、…、正四邊形、正八邊形、正十六邊形等.變式訓(xùn)練如圖,已知半徑為R的☉O,用多種工具多種作法作出它的圓內(nèi)接正三角形.[解析]方法一:(1)用量角器畫圓心角∠AOB=120°,∠BOC=120°;(2)連接AB,BC,CA,則△ABC為圓內(nèi)接正三角形,如圖1所示.方法二:(1)用量角器畫圓心角∠BOC=120°;(2)在☉O上用圓規(guī)截取AC=(3)連接AC,BC,CA,則△ABC為圓內(nèi)接正三角形,如圖2所示.方法三:(1)作直徑AD;(2)以D為圓心,以O(shè)A為半徑畫弧,交☉O于B,C;(3)連接AB,BC,CA,則△ABC為圓內(nèi)接正三角形,如圖3所示.三、板書設(shè)計(jì)正多邊形與圓1.正多邊形計(jì)算有關(guān)正多邊形的計(jì)算,都要作出它的半徑和邊心距為輔助線,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.2.畫正多邊形方法:(1)用量角器——平分圓心角(可作任一正多邊形);(2)尺規(guī)——作特殊的正多邊形(正三、四、六、八、十二、二十四邊形等