2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第9章-第6節(jié)-雙曲線【課件】

第6節(jié)雙曲線2025課標(biāo)解讀1.通過雙曲線的實(shí)際背景理解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.掌握雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的

等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做

,兩焦點(diǎn)間的距離叫做

.

數(shù)學(xué)表達(dá)式:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}距離的差的絕對(duì)值

雙曲線的焦點(diǎn)

雙曲線的焦距

微點(diǎn)撥1.要注意定義中的“絕對(duì)值”,若沒有絕對(duì)值,當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)時(shí),點(diǎn)M的軌跡為靠近點(diǎn)F2的雙曲線的一支;當(dāng)|MF1|-|MF2|=-2a(0<2a<|F1F2|)時(shí),點(diǎn)M的軌跡為靠近點(diǎn)F1的雙曲線的一支.2.要注意定義中2a的范圍限制.若2a=|F1F2|,則點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線;若2a>|F1F2|,則點(diǎn)M的軌跡不存在;若2a=0,則點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

微點(diǎn)撥在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,看x2與y2的系數(shù)的正負(fù),若x2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在y軸上.即“焦點(diǎn)位置看正負(fù),焦點(diǎn)隨著正的跑”.3.雙曲線的幾何性質(zhì)

簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸為

,對(duì)稱中心為

頂點(diǎn)

A1(0,-a),A2(0,a)漸近線直線直線離心率

離心率決定雙曲線開口的大小,e越大開口越大實(shí)虛軸實(shí)軸長|A1A2|=

,虛軸長|B1B2|=

;實(shí)半軸長

,虛半軸長

a,b,c的關(guān)系c2=

(c>a>0,c>b>0)

坐標(biāo)軸

原點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)2a2baba2+b2常用結(jié)論

2.若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)也成立.3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦),其長為;異支的弦中最短的為實(shí)軸,其長為2a.4.設(shè)P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2為其焦點(diǎn),記∠F1PF2=θ,則

5.等軸雙曲線(1)定義:中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,實(shí)半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.(2)性質(zhì):①a=b;②e=;③漸近線互相垂直;④等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng).6.共軛雙曲線(1)定義:如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸,那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線.(2)性質(zhì):①它們有共同的漸近線;②它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓;③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)2.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)×××√題組二回源教材

C6.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)第121頁練習(xí)第3題改編)已知方程=1表示雙曲線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

(-∞,-2)∪(-1,+∞)

解析

由方程

=1表示雙曲線,得(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2)∪(-1,+∞).7.(人教A版選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題3.2第9題)相距1400m的A,B兩個(gè)哨所,聽到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s,已知聲速是340m/s,則炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程是

.

解析

以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系(圖略),則A(-700,0),B(700,0),設(shè)M(x,y)為曲線上任一點(diǎn),則||MA|-|MB||=340×3=1

020<1

400,∴點(diǎn)M的軌跡為雙曲線,且a=510,c=700,∴b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=1

210×190=229

900.題組三連線高考8.(2023北京,12)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0),離心率為,則C的方程為

.

42研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用例1(1)已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線 C.拋物線 D.圓B解析

如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點(diǎn).又O為F1F2的中點(diǎn),∴|MF2|=2.∵點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,∴由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由雙曲線的定義可得,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線.(2)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=

.

變式探究1(變條件變結(jié)論)在本例(2)中,若將條件“|PF1|=2|PF2|”改為“∠F1PF2=60°”,則△F1PF2的面積是多少?變式探究2(變條件變結(jié)論)在本例(2)中,若將條件“|PF1|=2|PF2|”改為“=0”,則△F1PF2的面積是多少?[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]已知F是雙曲線=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為

.

9

解析

如圖,已知F(-4,0),設(shè)F'為雙曲線的右焦點(diǎn),則F'(4,0),點(diǎn)A(1,4)在雙曲線兩支之間.由雙曲線的定義,得|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF'|+|PA|≥4+|AF'|=4+5=9.當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F'三點(diǎn)共線時(shí),取等號(hào).考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程B(2)(2024·福建三明模擬)已知圓C1:(x+3)2+y2=9,圓C2:(x-3)2+y2=1,若動(dòng)圓E與C1,C2都外切,則圓心E的軌跡方程為

.

解析

圓C1:(x+3)2+y2=9的圓心為C1(-3,0),半徑r1=3,圓C2:(x-3)2+y2=1的圓心為C2(3,0),半徑r2=1.由于動(dòng)圓E與圓C1,C2都外切,設(shè)動(dòng)圓E的半徑為r,則|EC1|=r+3,|EC2|=r+1,所以|EC1|-|EC2|=3-1=2<|C1C2|,所以點(diǎn)E的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的雙曲線D

考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)(多考向探究預(yù)測(cè))考向1漸近線

D

解析

如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)M在左支上.設(shè)右焦點(diǎn)為F2,連接MF2,NF2,由對(duì)稱性知四邊形MF1NF2為平行四邊形.由|F1N|=2|F1M|得|F2M|=2|F1M|.由雙曲線的定義知|F2M|-|F1M|=2a,所以|F1M|=2a,|F2M|=|F1N|=4a.因?yàn)椤螹F1N=60°,所以∠F1MF2=120°.在△MF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|F1M|2+|F2M|2-2|F1M|·|F2M|cos

120°,-3解析

由題意知a2=1,b2=-m,其中m<0,所以雙曲線的漸近線方程為

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·山東煙臺(tái)模擬)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)中,例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過雙曲線鏡面反射后,反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).如圖,從雙曲線C的右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射,且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)F1.已知入射光線PF2的斜率為-2,且PF2和反射光線PE互相垂直(其中P為入射點(diǎn)),則雙曲線C的漸近線方程為