人教A版必修第二冊(cè)82立體圖形的直觀圖學(xué)案

8.2立體圖形的直觀圖

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的

關(guān)鍵是把握水平放置的平面圖形

能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)潔空間幾

的直觀圖的畫法，這是畫空間幾何

何體(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、

體的直觀圖的根底.

棱柱及其簡(jiǎn)潔組合)的直觀圖.

2.充分利用直觀圖的作圖規(guī)那么，

理解好“斜〃”二測(cè)〃的含義.

課前篇?自主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點(diǎn)立體圖形的直觀圖

(1)在圖形中取相互垂直的入軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)0.畫直觀

圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的工，軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)且使Nvoy

=45。(或135°),它們確定的平面表示水平面.

(2)圖形中平行于％軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行

于v軸或y軸的線段.

(3)圖形中平行于％軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平

行于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.

畫空間幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是

多畫一個(gè)與％軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平

行性和長(zhǎng)度都不變.

［重點(diǎn)理解］

“斜〃”二測(cè)〃的解讀

“斜〃是指在平面內(nèi)的圖形中與%軸垂直的線段，在直觀

圖中均與r軸成45°或135°；

“二測(cè)〃是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于V軸或,

軸的線段長(zhǎng)度不變;平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼亩种?

斜二測(cè)畫法畫圖的關(guān)鍵是在原圖中找到打算圖形位置與外形的

點(diǎn)，并在直觀圖中畫出.

“變〃的量與“不變〃的量

（1）平面圖形用其直觀圖表示時(shí)，一般說來，壬后天卷丕變；

⑵點(diǎn)的共線性不變,線的共點(diǎn)性不變,但角的大小有變化（特殊

是垂直關(guān)系有變化）；

（3）有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化.因此圖形的外形發(fā)生變化.

斜二測(cè)畫法的位置特征與度量特征簡(jiǎn)記為：橫丕變?cè)杭?jí)近U

平行位置不轉(zhuǎn)變.

［自我排查］

△ABC時(shí)，假設(shè)NA的兩邊分別平行于％軸、y軸，且NA=90。,

那么在直觀圖中N4=（）

A.45°B,135°

C.45°或135°D,90°

答案：C

解析：在畫直觀圖時(shí)，NA，的兩邊依舊分別平行于7軸、y軸，

而NVOy=45?；?35。.應(yīng)選C.

2.（多項(xiàng)選擇）用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)

其中的線段的說法正確的選項(xiàng)是（）

B.原來垂直的仍垂直

D.原來共點(diǎn)的仍共點(diǎn)

答案：ACD

解析：由斜二測(cè)畫法規(guī)那么知，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.應(yīng)選ACD.

3.如下圖為某一平面圖形的直觀圖，那么此平面圖形可能是以

下圖中的（）

答案：A

解析：由直觀圖知，原四邊形一組對(duì)邊平行且不相等，為梯形,

且梯形兩腰不能與底垂直.應(yīng)選A.

△A5C的直觀圖如下圖，那么原△A5C的面積為.

答案：9

解析：由題意，易知在△45。中，AC-LAB,且AC=6,AB=3,

SAABC=2X6X3=9.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破

研習(xí)1平行投影與中心投影

［典例1］以下說法：

①平行投影的投影線相互平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn);

②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但平行線可能變

成了相交的直線；

③幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式.

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

B.1

C.2D.3

［思路點(diǎn)撥］

［答案］D

［解析］平行投影的投影線相互平行，中心投影的投影線相交

于一點(diǎn)；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但平行線有可能

變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最終相交

于一點(diǎn)；幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式.故3種

說法都正確.

［巧歸納］1.考察一個(gè)幾何體的投影是什么圖形，先分清晰是平

行投影還是中心投影，投影面的位置如何，再依據(jù)平行投影或中心投

影的性質(zhì)來推斷.

2.平行投影需留意圖形、投射線、投射面之間的位置關(guān)系，位

置發(fā)生轉(zhuǎn)變，一般狀況下投影也會(huì)轉(zhuǎn)變.

3.中心投影與人的視覺效果全都，解題時(shí)可結(jié)合生活實(shí)際作出

推斷.

［練習(xí)1］關(guān)于直角A05在定平面a內(nèi)的正投影有如下推斷：

①可能是0。角；

②可能是銳角；

③可能是直角；

④可能是鈍角；

⑤可能是180。的角.

其中正確推斷的序號(hào)是.（把你認(rèn)為正確推斷的序號(hào)都

填上）

答案：①②③④⑤

解析：如圖①，當(dāng)直角A05所在平面與平面a垂直時(shí)，它在a

內(nèi)的正投影為射線。4,因此推斷①是正確的.

如圖②，直角405所在平面與平面a不垂直，它在a內(nèi)的正投

影為那么NAO夕為銳角，因此推斷②是正確的.

如圖③，直角A05在平面a內(nèi)的正投影為NA，Ob,而NAYXB，

為鈍角，因此推斷④是正確的.

如圖⑤，直角A05所在平面與平面a垂直，頂點(diǎn)0在平面a

內(nèi)的正投影為。，因此推斷⑤是正確的.

研習(xí)2空間幾何體的直觀圖的畫法

［典例2］用斜二測(cè)畫法畫出底面半徑為1cm,高為2cm的圓

錐的直觀圖.

［思路點(diǎn)撥］|畫軸|一|畫底面|一|畫頂點(diǎn)|一|成圖

［解］(1)畫軸：如圖①，畫％軸、y軸、z軸相交于點(diǎn)0,使N

%Oy=45°,Zx0z=9Q0；

(2)畫底面：以點(diǎn)。為中點(diǎn)，在入軸上取線段A5,使A5=2cm,

在y軸上取線段CD,使CD=1cm,用光滑曲線順次連接A,C,B,

D,得底面；

(3)畫高：在z軸上取0E=2cm；

(4)成圖：連接EA,EB,EC,ED,去掉幫助線，將被遮擋局部

改為虛線，就得到圓錐的直觀圖，如圖②.

［巧歸納］1.畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測(cè)畫法畫出水

平放置的平面圖形，再畫Z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最終

連點(diǎn)成圖便可.

2.直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長(zhǎng)不變，縱長(zhǎng)減半，豎長(zhǎng)

不變，平行關(guān)系不變.〃

［練習(xí)2］用斜二測(cè)畫法畫正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂

直于底面）的直觀圖.（底面邊長(zhǎng)尺寸不作要求，側(cè)棱長(zhǎng)為2cm）

解：（1）畫軸：畫7軸、軸、，軸，使NV0曠=45。（或135。），

Zx'0'z'=9Q°.

（2）畫底圖：依據(jù)丁軸，軸，畫正六邊形的直觀圖A5CDEE

（3）畫側(cè)棱：過A,B,C,D,E,尸各點(diǎn)分別作，軸的平行線，

在這些平行線上分別截取AV,BB',CC,DD',EE,尸尸都等于側(cè)

棱長(zhǎng)2cm.

（4）成圖：順次連接A，，B',C,D',E',F',并加以整理（去掉

幫助線，將被遮擋的局部改為虛線），就得到正六棱柱的直觀圖.

E'PD'

研習(xí)3直觀圖的有關(guān)計(jì)算

［典例3］正△ABC的邊長(zhǎng)為m那么△A5C的平面直觀圖△

AbC的面積為（）

A2

A.4aIJ?&ci

C亞足D落2

85-L-,?］6"

［答案］D

1/3

［解析］由圖②可知，AfB,=AB=a,0c=/。。=予Az.在圖②

、歷\［61

中作C。」Ab于點(diǎn)。'，那么CZ)'=4-0'C=王-a,所以SMB，C=5

ZoZ

應(yīng)選D.

［巧歸納］此題是求直觀圖的面積，因此應(yīng)在直觀圖中求解，

需求出直觀圖的底和高，然后用三角形的面積公式求解.

［練習(xí)3］AABC,實(shí)行斜二測(cè)畫法畫的它的直觀圖，且直觀圖

面積為4cm2,那么△A5C的面積為.

答案：8啦cm2

解析：由斜二側(cè)畫法可知，直觀圖與原圖形面積比為爽：4,

那么8：5=w：4,S，=4cm2,原圖形面積5=/5=8爽(crd).

課后篇?根底達(dá)標(biāo)延長(zhǎng)閱讀

1.如圖,在正方體A5CD—45601中，M,N分別是BBi,BC

的中點(diǎn)，那么圖中陰影局部在平面ADDiAi上的射影為()

2.如下圖，直觀圖的平面圖形是（）

A.正三角形B.銳角三角形

D.直角三角形

答案：D

解析：由直觀圖知，ZACB=90°,故△ABC為直角三角形.應(yīng)

選D.

3.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的正五角星的直觀圖，那么正

五角形的各個(gè)角.（填“相等〃”不等〃或“不全相等〃）

答案：不全相等

解析：畫出直觀圖比擬可知.

△A5C的斜二測(cè)直觀圖如下圖，A'C'=3,8c=2,那么A3邊

上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為.

答案：

解析：由于在直觀圖中，ZA'C'B'=45°,那么在原圖形中NAC5

=90。，AC=3,BC=4,；.AB=y32+42=5.

.,.AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為:AB=2.5.

5.如下圖，在梯形A5CZ）中，AB//CD,A5=4cm,CD=2cm,

ZDAB=30°,AD=3cm,試用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖.

解：（1）如圖①所示，在梯形A5CD中，以邊A5所在的直線為

%軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖②所示，畫出對(duì)應(yīng)

的丁軸、軸，使N%O_/=45。.

（2）在圖①中，過點(diǎn)。作。軸，垂足為點(diǎn)E在圖②中，在/

3、行

軸上取A'B'=AB=4cm,4￡=八后=號(hào)七￡7作E77〃y軸，使E'D'

113

=1￡r>=］X］=0.75cm,再過點(diǎn)。作OC〃V軸，且使。。=。。=2

cm.

（3）連接4。，B'c,并擦去犬軸與y軸及其他一些幫助線，如

圖③所示，那么四邊形AEC。就是所求作的直觀圖.

課后自讀方案

［誤