新教材高中數學集合與常用邏輯術語單元質量測評新人教A版必修第一冊

第1章集合與常用邏輯術語

單元質量測評

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.下列語句是命題的是（）

A.2f+3x—l>0B.比較兩數大小

C.櫓起袖子加油干！D.cos45°=號

答案D

解析A項不能判斷真假，不是命題；B,C兩項不是陳述句，不是命題；D項是命題.

2.下面所給三個命題中真命題的個數是（）

①若acybc,則a>b；

②若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內接四邊形；

③若二次函數y=af+6x+c中，Z?2-4ac<0,則該二次函數的圖象與x軸有公共點.

A.0B.1

C.2D.3

答案C

解析①該命題為真命題，由〃。?必占得1>0,則有a>8.②該命題為真命題，根據圓內

接四邊形的定義可進行判定.③該命題為假命題，因為當b2-4ac<0時，一元二次方程af+

6x+c=0沒有實數根，因此二次函數的圖象與x軸無公共點.綜上所述，故選C.

3.命題“VxGR,的否定是（）

A.VxGR,|x\+%<0

B.VxGR,|x|+*W0

C.3xGR,|x\+x<0

D.3xGR,Ix\+V20

答案C

解析“VxeR,|*|+f20"的否定是FxWR,|x|+/<0w.

4.已知xi,用GR,則“小>1且用>1"是“小十及>2且用及>1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由Xi＞l且也＞1得汨+至＞1+1=2,*/2＞1X1=1,所以“為＞1且及＞1"是"為

173

+尼＞2且為用＞1"的充分條件；設為=3,用=5，則為+至=5＞2且而及=/＞1,但如＜1,

所以不滿足必要性.故選A.

5.下列命題中，真命題有()

①山x?+2x-1=0是關于x的一元二次方程；②拋物線y=ax+2x-1與*軸至少有一個

交點；③互相包含的兩個集合相等；④空集是任何集合的真子集.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案A

解析對于①來說，當0=0時，加f+2x—1=。是一元一次方程；對于②來說，拋物線y

=ax'+2x—1對應的一元二次方程的判別式4=4+4a,當a＜-l時，方程無實數根，此時拋

物線與x軸無交點；③正確，AQB,BQA=A=B；空集是任何集合的子集，是任何非空集合

的真子集，故④錯誤.

6.“a2+(Zr-l)2=0”是“a(Z?-l)=0”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析a°+(8—l)2=0=a=0且b—1,而a(6—l)=0=a=0或b—1,故"a'+C—1”

=0”是“a(6—1)=0”的充分不必要條件.

7.已知集合{={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y&A,x-y&A\,則6中所含元素的

個數為()

A.3B.6

C.8D.10

答案D

解析當x=5時，y=\,2,3,4；當x=4時，y=l,2,3；當x=3時，y=l,2；當x=2

時，y=l.共10個.故選D.

8.在下列命題中，真命題的個數是()

①VxGR,/+*+3＞0：

是有理數；

②WxGQ,O

③關于X的方程/+|x|—6=0有四個實數根;

@3x,y￡Z,3x—2y=10.

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析①中，x2+x+3=^+0J+y>O,故①是真命題；②中，.?.（^+1是有理

數，故②是真命題；③中，由f+|x|-6=0,得舊=2,；.x=±2,方程有兩個實數根，故

③是假命題；④中，當x=4,y=l時，結論成立，故④是真命題.由以上可知，正確選項為

C.

9.給出下列四個命題：

①設集合X={x|x>—1},則{0}G*

②空集是任何集合的真子集；

③集合4=1},B={*|尸=4711}表示同一集合；

④集合P={a,b},集合Q={b,a},則P=Q

其中正確的命題是（）

A.①②B.①③

C.③④D.④

答案D

解析①中⑻與X均表示集合，不能用e來表示集合與集合之間的關系，①不正確；②

中空集是任何非空集合的真子集，②不正確；③中4={y|y20},6=5|才21或才忘一1},故

不是同一集合，③不正確；④中根據集合中元素的無序性知④正確.故選D.

10.下列命題中，是全稱量詞命題且是真命題的是（）

A.對任意的a,6GR,都有才+夕一24—26+2〈0

B.菱形的兩條對角線相等

C.VxCR,y[x2=x

D.正方形是矩形

答案D

解析A中的命題是全稱量詞命題，但ab—2a—26+2=（a—1）'+（b—1尸20,故是

假命題：B中的命題是全稱量詞命題，但是假命題；C中的命題是全稱量詞命題，但0=|0，

故是假命題；D中的命題是全稱量詞命題且是真命題，故選D.

11.設〃為全集,46是集合，則“存在集合。使得4UC,BQCC'是"405=0”的（）

A.充分而不必要的條件

B.必要而不充分的條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要的條件

答案C

解析

若存在集合。使得AQC,BQGC,則可以推出408=0；若4n8=0,由Venn圖可知，

存在A=C,同時滿足AQC,比GC故“存在集合。使得AQC,醫(yī)QC'是'"。占=0”的充

要條件.

12.已知△46。的邊長為a,b,c,定義它的等腰判別式為j9=max{a—b,b—c,c-a}

+min{a—6,b-c,c-a},則“〃=0”是“△/比為等腰三角形”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析充分性：若“介=0”,設則。=max{a—4b—c,c—a}+min{a—Z?,b

—c,c—a}=c—a+8—c=0或c—a+a-6=0,a—b^4b—c,

則△4?。一定為等腰三角形，所以充分性成立.

必要性：若△/比■為等腰三角形，設a=6,當cWa時，則與c—a中必然有一個為

最大值，另一個為最小值，則/6—c+c—a=6—a=0；當c=a時，Z>=0+0=0,所以必要

性成立.故選C.

第n卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上）

13.“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思.”這是唐代詩人王維的《相

思》詩，在這四句詩中，可作為命題的是一.

答案紅豆生南國

解析“紅豆生南國”是陳述句，意思是“紅豆生長在中國南方”，這在唐代是事實，

故本語句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此

物最相思”是感嘆句，都不是命題.

14.設xGR,則“x>l”是的條件.

答案充要

解析因為xeR,"x>l"q">1”,所以“x>l”是“f〉l”的充要條件.

15.命題p：VxGR,f+x+lWO,則命題㈱p為.

答案3xCR,x+x+l=0

解析命題o是全稱量詞命題，根據全稱量詞命題的否定是改量詞，否結論，則是mxe

R,/+*+1=0.

16.由命題'勺xGR,*2+2.+m=0”是假命題，求得實數R的取值范圍是或a,則實數

a—.

答案1

解析因為命題xGR,x+2jr+zz?=0"是假命題，所以其否定“VxER,x+2^+

必/0”是真命題，等價于方程f+2x+爐=0無實根，所以4=4-4成0,解得粉1,又因為卬

的取值范圍是(a,+8),所以實數a=L

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)寫出下列命題的否定，并判斷真假.

(1)pi：3xeR,/一x+lW0；

(2)A：所有的菱形都是平行四邊形；

(3)外：有的梯形是等腰梯形；

(4)"：任意xGZ,1的個位數字不等于3；

(5)例：有一個素數含三個正因數.

解(1)㈱R：VxCR,x—x+l>0；真命題.

(2)㈱.：存在一個菱形，它不是平行四邊形；假命題.

(3)㈱口：所有的梯形都不是等腰梯形；假命題.

(4)^仍：存在xWZ,使f的個位數字等于3：假命題.

(5)㈱?。核械乃財刀疾缓齻€正因數；真命題.

18.(本小題滿分12分)已知集合力={x|-2<xW5},8={x|w+lWxW2m-l},且回

0.

(1)若“命題p：VxRB,入丘4”是真命題，求加的取值范圍；

(2)若“命題q：BxWB”是真命題，求m的取值范圍.

解(1)'；/={*|-2&啟5},8={x|m+1WXW2R-1},且歷"，”命題p：Vx^B,x

e/'是真命題，

7+1W2zw—1,

：.BQA,芹0,.；勿+12一2,

.2，L1W5,

解得2—

(2)<7為真,則4n屏。.

?:吃0,；.G2,

—21W5,

/.；.2W辰4.

19.(本小題滿分12分)已知集合4={才|-1〈水3},片3后力-1或在7+1).

(1)當卬=0時，求4C6；

（2）若0：—KK3,q：1或且g是夕的必要不充分條件，求實數力的取

值范圍.

解（1）當勿=0時、8={x|xW—1或*21},

又A={x\—l<x<3},所以AC\B={x[1Wx<3}.

（2）因為夕：—1<X3,Q：x這立一1或x2%+l.

g是2的必要不充分條件，所以加一123或—所以加W—2或加24.

20.（本小題滿分12分）求關于x的方程HV+2X+I=O的實數根中有且只有一個負實數

根的充要條件.

解若方程a*+2x+l=0有且僅有一個負實數根，貝I：當a=0時，x=-j,符合題意.

當a#0時，方程d/+2x+1=0有實數根，則d=4—4a20,解得aWl,

當a=l時，方程有且僅有一個負實數根十=-1,

當a<l且a#0時，若方程有且僅有一個負實數根，則匕0,即水0.又以上過程均可逆，

a

所以方程a/+2x+1=0有且僅有一個負實數根”的充要條件為“aWO或a=l”.

21.（本小題滿分12分）設a,b,c為△/回的三邊，求證：方程f+2ax+^=0與

2cx一彥=0有公共根的充要條件是/4=90°.

證明必要性：方程/+2@*+爐=0與W+2cx—^=0有公共根f,

+2af+Z/=0,爐

貝！I2=f=——=——.

[U+2cf-Z/=oa-cc-a

.?.產}