四川省南充市閬中東風(fēng)中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題

四川省閬中東風(fēng)中學(xué)校20232024學(xué)年度上期高二第一次段考數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘試卷滿分150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1.若向量和滿足條件，則的值是（）A.﹣1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】直接代入數(shù)量積求解即可．【詳解】因?yàn)楹蜐M足條件，即；故選：D．2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線方程確定直線斜率，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可得傾斜角大小.【詳解】直線，即，所以直線的斜率為，又直線的傾斜角的范圍為，所以直線的傾斜角為.故選：D.3.已知平面α的一個法向量是，，則下列向量可作為平面β的一個法向量的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】兩個平面平行，其法向量也平行，即可判斷各選項(xiàng).【詳解】平面α的一個法向量是，，設(shè)平面的法向量為，則，對比四個選項(xiàng)可知，只有D符合要求，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面法向量的性質(zhì)，兩個平面法向量的關(guān)系，空間向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.已知直線，，若，則（）A. B.2 C. D.2或【答案】A【解析】【分析】利用兩條直線（一般式方程）相互平行的充要條件即可得出．【詳解】因?yàn)椋?，解?故選：A.5.如圖，在平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，，，則下列選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，M為與的交點(diǎn)，，，，所以=.故選：B6.設(shè)l,m,n均為直線，其中m,n在平面內(nèi)，“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】設(shè)l,m,n均為直線，其中m,n在平面內(nèi)，“l(fā)”，則“l(fā)m且ln”，反之若“l(fā)m且ln”，當(dāng)m//n時，推不出“l(fā)”，∴“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的充分不必要條件，選A．7.我們稱：兩個相交平面構(gòu)成四個二面角，其中較小的二面角稱為這兩個相交平面的夾角；由正方體的四個頂點(diǎn)所確定的平面統(tǒng)稱為該正方體的“表截面”.則在正方體中，兩個不重合的“表截面”的夾角大小不可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩個平面的夾角的知識，結(jié)合空間向量法求得正確答案.【詳解】平面和平面的夾角為，D選項(xiàng)錯誤.平面和平面的夾角為，B選項(xiàng)錯誤.設(shè)正方體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè).，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面與平面的夾角為，則，由于，所以，所以C選項(xiàng)錯誤.所以夾角大小不可能為.故選：A8.直三棱柱如圖所示，為棱的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出側(cè)棱長，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和的方向向量，從而可求解.【詳解】因?yàn)樵谥比庵校郧蛐牡降酌娴木嚯x，又因?yàn)?，所以，所以，所以底面外接圓半徑，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，而，所以，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)直線和所成的角為，則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.9.如圖，在長方體中，，，，點(diǎn)E在線段AO的延長線上，且，下列向量坐標(biāo)表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】求出向量坐標(biāo)，逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，對于A，因?yàn)?，，所以，故A不正確；對于B，因?yàn)?，，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，，所以，故D不正確.故選：BC.10已知直線，其中，則（）A.當(dāng)時，直線與直線垂直B.若直線與直線平行，則C.直線過定點(diǎn)D.當(dāng)時，直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等【答案】AC【解析】【分析】對于A，求出直線方程，根據(jù)斜率的關(guān)系判斷，對于B，由兩直線平行直接列方程求解判斷，對于C，由求出的值可得直線過的定點(diǎn)，對于D，當(dāng)時，求出直線方程，然后求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，直線的方程為，其斜率為1，而直線的斜率為－1，所以當(dāng)時，直線與直線垂直，所以A正確；對于B，若直線與直線平行，則，解得或，所以B錯誤；對于C，當(dāng)時，，與無關(guān)，故直線過定點(diǎn)，所以C正確；對于D，當(dāng)時，直線的方程為，在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是－1，1，不相等，所以D錯誤，故選：AC．11.正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱長為，則下列敘述正確的是（）A.正三棱錐高為3 B.正三棱錐的斜高為C.正三棱錐的體積為 D.正三棱錐的側(cè)面積為【答案】ABD【解析】【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD的正誤.【詳解】設(shè)為等邊三角形的中心，為的中點(diǎn)，連接，則為正三棱錐的高，為斜高，又，，故,故AB正確.而正三棱錐的體積為，側(cè)面積為，故C錯誤，D正確.故選：ABD.12.如圖，在長方體中，，點(diǎn)是棱上的一個動點(diǎn)，給出下列命題，其中真命題的是（）A.不存在點(diǎn)，使得B.三棱錐的體積恒為定值C.存在唯一的點(diǎn)，過三點(diǎn)作長方體的截面，使得截面的周長有最小值D.為棱上一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且平面，則為的中點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A.先證明存在點(diǎn)使得平面，從而可判斷；選項(xiàng)B.由為定值，根據(jù)可判斷；選項(xiàng)C.先作出截面，然后將側(cè)面展開，使得面與面在同一平面內(nèi)，從而可判斷；選項(xiàng)D.在梯形中，兩腰延長必相交，設(shè)交點(diǎn)為,連接，從而可得，從而可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.在底面矩形中，連接交于點(diǎn),由，則所以,所以,為等邊三角形取的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則又在長方體中，平面，且平面，則又,所以平面,又平面所以，所以存在點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B.在長方體中，平面,所以所以三棱錐的體積恒為定值，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C.在上取點(diǎn)，使得，連接則四邊形為平行四邊形,所以過三點(diǎn)作長方體的截面為面將側(cè)面展開，使得面與面在同一平面內(nèi)，連接,交于點(diǎn)，此時最小，即截面周長最小所以存在唯一的點(diǎn)，使得截面的周長有最小值，故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.在梯形中，兩腰延長必相交，設(shè)交點(diǎn)為,連接由,,即,所以,即，則平面,面平面由平面，則又，所以為平行四邊形,則，則所以為的中點(diǎn).故選項(xiàng)D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線l的方向向量的坐標(biāo)為，則直線l的傾斜角為_________．【答案】【解析】【分析】由方向向量得直線的斜率，從而得傾斜角．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，由已知直線l的方向向量的坐標(biāo)為，得斜率，∴．故答案為：．14.已知點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)的對稱關(guān)系得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式得到結(jié)果．【詳解】∵點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的正射影，∴B在坐標(biāo)平面上，橫標(biāo)和縱標(biāo)與A相同，而豎標(biāo)0，∴B的坐標(biāo)是，∴，故答案為：.15.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】畫出圖像，根據(jù)傾斜角變化得到斜率變化.【詳解】如圖所示，直線逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置才能保證過點(diǎn)的直線與線段AB有交點(diǎn)，從轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，此時斜率，所以此時；從旋轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負(fù)無窮開始變大，此時斜率，所以此時，故答案為：.16.科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國的實(shí)力“極目一號”Ⅲ型浮空艇長53米，高18米，若將它近似看作一個半球，一個圓柱和一個圓臺的組合體，軸截面圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為______.圖1圖2【答案】【解析】【分析】根據(jù)球、圓柱、圓臺的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，該組合體的直觀圖如圖所示：

半球的半徑為9米，圓柱的底面半徑為9米，母線長為14米，圓臺的兩底面半徑分別為9米和1米，高為30米.則，，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量．（1）若，求實(shí)數(shù)；（2）若向量與所成角為銳角，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示即可求解；（2）根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論，利用數(shù)量積為正求出的范圍，再去掉兩向量共線的情形即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，解?【小問2詳解】由（1）知，，，因?yàn)橄蛄颗c所成角為銳角，所以，解得，又當(dāng)時，，所以實(shí)數(shù)的范圍為.18.（1）已知點(diǎn)和，點(diǎn)P在x軸上，且為直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（2）已知點(diǎn)和，求線段AB的垂直平分線的方程.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)求解.（2）首先求出的中點(diǎn)，在利用中垂線得到所求直線，即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)，，，因?yàn)闉橹苯?，所以，解得或，即或?）設(shè)的中點(diǎn)為，則，即.，因?yàn)?，所以，所求直線為，即19.如圖在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)B到直線的距離；（2）求點(diǎn)B到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量求點(diǎn)到直線距離的方法運(yùn)算即可得解.（2）利用空間向量求點(diǎn)到平面距離的方法運(yùn)算即可得解.【小問1詳解】解：如上圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，取，，則，，∴點(diǎn)B到直線的距離為.【小問2詳解】解：由（1）知，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則∴，即，取，則，，∴，又∵，∴點(diǎn)B到平面的距離為.20.如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為菱形，點(diǎn)F為側(cè)棱PC上一點(diǎn)．（1）若PF＝FC，求證：PA∥平面BDF；（2）若BF⊥PC，求證：平面BDF⊥平面PBC．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，所以PA∥OF，利用線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）由題意得BD⊥AC，BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，則BD⊥PC，又BF⊥PC，所以PC⊥平面BDF，利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，連OF，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且O為AC中點(diǎn)，PF＝FC，所以PA∥OF，又PA平面BDF，OF平面BDF，故PA∥平面BDF．【小問2詳解】因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BD⊥AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以BD⊥PA，又ACBD＝O，AC，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAC，又PC平面PAC，所以BD⊥PC，又BF⊥PC，BDBF＝B，BD，BF平面BDF，所以PC⊥平面BDF，又PC平面PBC，故平面BDF⊥平面PBC.21.如圖，在四棱錐中，底面ABCD滿足，，底面ABCD，且，.（1）求三棱錐的體積；（2）求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等體積法，結(jié)合錐體體積公式求解即得.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量求出面面夾角余弦即得.【小問1詳解】在四棱錐中，由,，得，的面積，又平面，因此，所以三棱錐的體積是.【小問2詳解】依題意，兩兩垂直，以原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，，得，顯然為平面的一個法向量,且，設(shè)為平面的一個法向量，而,，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.22.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AB，BF上移動，且CM，BN的長度保持相等，記.（1）求異面直線AC，BF所成角的余弦值；（2）a為何值時，MN的長最小？（3）當(dāng)MN的長最小時，求AB與平面AMN夾角的余弦值.【答案】（1）（2）當(dāng)時，最