2025屆山東省青島市三十九中學高一數(shù)學第二學期期末檢測試題含解析

2025屆山東省青島市三十九中學高一數(shù)學第二學期期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．為奇函數(shù)，當時，則時，A． B．C． D．2．已知某區(qū)中小學學生人數(shù)如圖所示，為了解學生參加社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法來進行調查。若高中需抽取20名學生，則小學與初中共需抽取的人數(shù)為（）A．30 B．40 C．70 D．903．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．4．中,，則（）A．5 B．6 C． D．85．為了調查老師對微課堂的了解程度，某市擬采用分層抽樣的方法從，，三所中學抽取60名教師進行調查，已知，，三所學校中分別有180，270，90名教師，則從學校中應抽取的人數(shù)為（）A．10 B．12 C．18 D．246．已知數(shù)列的通項公式是，則等于（）A．70 B．28 C．20 D．87．關于的方程在內有相異兩實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．為了研究某大型超市開業(yè)天數(shù)與銷售額的情況，隨機抽取了5天，其開業(yè)天數(shù)與每天的銷售額的情況如表所示：開業(yè)天數(shù)1020304050銷售額/天（萬元）62758189根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求得關于的線性回歸方程為，由于表中有一個數(shù)據(jù)模糊看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為（）A．68 B．68.3 C．71 D．71.39．已知，，則等于（）A． B． C． D．10．已知樣本數(shù)據(jù)為3，1，3，2，3，2，則這個樣本的中位數(shù)與眾數(shù)分別為（）A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則A＝________.12．直線的傾斜角的大小是_________.13．在平面直角坐標系中，為原點，，動點滿足，則的最大值是．14．已知三個事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.15．直線與圓的位置關系是______.16．若正實數(shù)滿足，則的最大值為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.18．已知關于直線對稱，且圓心在軸上.（1）求的標準方程；（2）已知動點在直線上，過點引的兩條切線、，切點分別為.①記四邊形的面積為，求的最小值；②證明直線恒過定點.19．如圖，當甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援？（角度精確到1°，參考數(shù)據(jù)：，）20．若直線與軸，軸的交點分別為，圓以線段為直徑.（Ⅰ）求圓的標準方程；（Ⅱ）若直線過點，與圓交于點，且，求直線的方程.21．已知角的終邊經(jīng)過點.（1）求的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用奇函數(shù)的定義，結合反三角函數(shù)，即可得出結論．【詳解】又，時，，故選：C．【點睛】本題考查奇函數(shù)的定義、反三角函數(shù)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．2、C【解析】

根據(jù)高中抽取的人數(shù)和高中總人數(shù)計算可得抽樣比；利用小學和初中總人數(shù)乘以抽樣比即可得到結果.【詳解】由題意可得，抽樣比為：則小學和初中共抽?。喝吮绢}正確選項：【點睛】本題考查分層抽樣中樣本數(shù)量的求解，關鍵是能夠明確分層抽樣原則，準確求解出抽樣比，屬于基礎題.3、B【解析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現(xiàn)，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結論．【詳解】由題意，若，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【點睛】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4、D【解析】

根據(jù)余弦定理，可求邊長.【詳解】，代入數(shù)據(jù)，化解為解得或（舍）故選D.【點睛】本題考查了已知兩邊及其一邊所對角，求另一邊，這種題型用余弦定理，屬于基礎題型.5、A【解析】

按照分層抽樣原則，每部分抽取的概率相等，按比例分配給每部分，即可求解.【詳解】，，三所學校教師總和為540，從中抽取60人，則從學校中應抽取的人數(shù)為人.故選:A.【點睛】本題考查分層抽樣抽取方法，按比例分配是解題的關鍵，屬于基礎題.6、C【解析】

因為，所以，所以=20.故選C.7、C【解析】

將問題轉化為與有兩個不同的交點；根據(jù)可得，對照的圖象可構造出不等式求得結果.【詳解】方程有兩個相異實根等價于與有兩個不同的交點當時，由圖象可知：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖象應用，主要是根據(jù)方程根的個數(shù)確定參數(shù)范圍，關鍵是能夠將問題轉化為交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合來進行求解.8、A【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算,再代入線性回歸方程求得,進而根據(jù)平均數(shù)的定義求出所求的數(shù)據(jù).【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得,代入線性回歸方程中,求得,則表中模糊不清的數(shù)據(jù)是,故選:B.【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的應用問題,是基礎題.9、D【解析】

通過化簡可得，再根據(jù)，可得，利用同角三角函數(shù)可得，則答案可得.【詳解】解：，又，得，即，又，且，解得，，故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變形的化簡和求值，是中檔題.10、C【解析】

將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列即可求得中位數(shù)，再找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù).【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位數(shù)為，眾數(shù)為3.故選：C.【點睛】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)的概念，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、120°【解析】∵a2＝b2＋bc＋c2，∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝＝＝－，又∵A為△ABC的內角，∴A＝120°故答案為：120°12、【解析】試題分析：由題意，即，∴．考點：直線的傾斜角.13、【解析】

試題分析：設，表示以為圓心，r=1為半徑的圓，而，所以，，，故得最大值為考點：1．圓的標準方程；2．向量模的運算14、0.9【解析】

先計算，再計算【詳解】故答案為0.9【點睛】本題考查了互斥事件的概率計算，屬于基礎題型.15、相交【解析】

由直線系方程可得直線過定點，進而可得點在圓內部，即可得到位置關系.【詳解】化直線方程為，令，解得，所以直線過定點，又圓的圓心坐標為，半徑，而，所以點在圓內部，故直線與圓的位置關系是相交.故答案為：相交.【點睛】本題考查直線與圓位置關系的判斷，考查直線系方程的應用，屬于基礎題.16、【解析】

可利用基本不等式求的最大值.【詳解】因為都是正數(shù)，由基本不等式有，所以即，當且僅當時等號成立，故的最大值為.【點睛】應用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結構.求最值時要關注取等條件的驗證.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）B=（Ⅱ）【解析】

(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2)S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，當且僅當a＝c時，等號成立，則△ABC面積的最大值為（2）1．18、（1）（2）①②證明見解析【解析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，結合圓心在軸上，即可求得圓C的標準方程．（2）①根據(jù)切線性質及切線長定理，表示出的長，根據(jù)圓的性質可知當最小時，即可求得面積的最小值；②設出M點坐標，根據(jù)兩條切線可知M、A、C、B四點共圓，可得圓心坐標及半徑，進而求得的方程，根據(jù)兩個圓公共弦所在直線方程求法即可得直線方程，進而求得過的定點坐標．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因為圓心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以.故的標準方程為.（2）①如圖，的圓心為，半徑，因為、是的兩條切線，所以，，故又因為，根據(jù)平面幾何知識，要使最小，只要最小即可.易知，當點坐標為時，.此時.②設點的坐標為，因為，所以、、、四點共圓.其圓心為線段的中點，，設所在的圓為，所以的方程為：，化簡得：，因為是和的公共弦，所以，兩式相減得，故方程為：，當時，，所以直線恒過定點.【點睛】本題考查了圓的一般方程與標準方程的應用，圓中三角形面積問題的應用，直線過定點問題，綜合性強，屬于難題．19、乙船應朝北偏東約的方向沿直線前往處救援.【解析】

根據(jù)題意，求得，利用余弦定理求得的長，在中利用正弦定理求得，根據(jù)題目所給參考數(shù)據(jù)求得乙船行駛方向.【詳解】解：由已知，則，在中，由余弦定理，得，∴海里.在中，由正弦定理，有，解得，則，故乙船應朝北偏東約的方向沿直線前往處救援.【點睛】本小題主要考查解三角形在實際生活中的應用，考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于基礎題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】

(1)本題首先根據(jù)直線方程確定、兩點坐標，然后根據(jù)線段為直徑確定圓心與半徑，即可得出圓的標準方程；(2)首先可根據(jù)題意得出圓心到直線的距離為，然后根據(jù)直線的斜率是否存在分別設出直線方程，最后根據(jù)圓心到直線距離公式即可得出結果?！驹斀狻?1)令方程中的，得，令，得.所以點的坐標分別為.所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的標準方程為.(2)因為，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為.若直線的斜率不存在，直線的方程為，符合題意.若直線的斜率存在，設其直線方程為，即.圓的圓心到直線的距離，解得.則直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.【點睛】