精講精煉（選擇性必修第一冊(cè)）1 .4 空間向量的應(yīng)用(精講)

1.4空間向量的應(yīng)用(精講)

思維導(dǎo)圖

(1)設(shè)出平面的法向量〃=(X,J,Z)

(2)找出平面內(nèi)兩步共線的已知向量￡、麗坐標(biāo)

tfa—0

(3)建立關(guān)于x、v、z的方程組一_

n?b=0

------------(4)解方程組

法向量o-------------------------------------------------------------------

位置關(guān)系向國(guó)表示

線線位宜h//h彳〃/!：="]=左〃2（女WR）

亙線人":的方向向?qū)Х謩e為彳，后

關(guān)系—<?,■'<■<

hili/J_叫8.?耳=0

線面位置直線/的方向向量為G，平面”的法向l//a“工IW=".",=0

關(guān)系

國(guó)為“1/_Lan〃（氏wR）

面面位宜a//fln〃=*m（*GR）

空平曲，雨;炯雖分淞%,m

關(guān)系aA.fi""產(chǎn)=0

間

空間位置<=>

向

量

應(yīng)a?b

戰(zhàn)線角：設(shè)異面直線a、6所成的角為8,則《?。=戶向<9e(0y]

用ab

H-

a?n

線面角：/為平面的斜線，為/與所成的角，則加L|COKMI)產(chǎn)篦圍[0,4]

空a0as

間

角

二面角：平面a/平面￡的〈元，7>=。，則COS。=?叫,范圍[0.n]

-1〃/凡1

考點(diǎn)五求參數(shù)

考點(diǎn)一求平面的法向量

【例1】(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知平面a經(jīng)過三點(diǎn)4(1,2,3),8(2,0,—1),C(3,—2,0),求平面

a的一個(gè)法向量.

【答案】(2,1,0)(答案不唯一).

【解析】因?yàn)?(1,2,3),8(2,0,-1),C(3,-2,0),所以45=(1，一:2，—4)，AC=(2，-4--

n-AB=0x-2j-4z=C),

3).設(shè)平面a的法向量為〃=(x,%z),則有《，即＜°:.

-n-AC=0[2x-4y-3z^0

得z=0,x=2y,令y=l,則x=2,所以平面a的一個(gè)法向量為[=(2,1,0).

故答案為：(2,1,0)(答案不唯一).

【一隅三反】

1.(2021.福建)四邊形ABCD是直角梯形，ABC=90，S4,平面ABC。，SA—AB—BC—2,AD=1.

在如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z中，分別求平面SCD和平面SAB的一個(gè)法向量

三

ADx

【答案】答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即為該面的法向量).

【解析】￡>(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2),/.DC=(1,2,0),D5=(-1,0,2),

設(shè)平面SCD的法向量〃=(x,y,z),

n-DC=x+2y=0人cl〃=[1,一2,；

則〈，令工=1,解得：y=-2,z=—,

n-DS=-x+2z=02

即平面SCD的一個(gè)法向量為n=l1,-2,1

■.平面SABLx軸，.?.〃z=(l,0,0)即為平面SW的一個(gè)法向量.

2.(2021.山東)正方體ABCD-AIBIGG中，E、尸分別為棱4口、的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系中，求：

⑴平面BDDiBi的一個(gè)法向量;

(2)平面BDEF的一個(gè)法向量.

【答案】(1)。,一1,0)；(2)(2,2,-1).

【解析】設(shè)正方體A8CQ-45Gd的棱長(zhǎng)為2,則。(0,0,0),5(2,2,0),A(0,0,2),￡(1,0,2),

(I)設(shè)平面BDD制的一個(gè)法向量為〃=(%,y,zj,

DB=(2,2,0),DR=(0,0,2),

DBn=02x+2y.=0

則〈，即《cc，令玉=1,則y=-l,z=0,

[24=0

，平面向的個(gè)法向量為〃=(1,—1,0)；

(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2),

設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為m=（x2,y2,z2）.

jDB.m=02X9+2必=0-

r；-令&=2,得％=_2,Z2=_1,

DE-7?7=0尤）I-U

*，*平面BDEF的一個(gè)法向量為m=（2,2,—1）.

考點(diǎn)二利用空間向量證空間位置

【例2-1】（2021?浙江湖州市?高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向向量為。=（1,-2,1）,平面a的

法向量為〃=（2,3,4）,則（）

A.IllaB.IVaC./ua或/〃aD./與。斜交

【答案】C

【解析】直線/的方向向量為。=（1,一2,1）,平面a的法向量為〃=（2,3,4）,

因?yàn)檫场?（2,3,4＞（1,-2,1）=2-6+4=0,所以所以/ua或〃/a,故選：C.

【例2-2】（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二月考（理）汝口圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABC。中，24,底

面ABC。，E、產(chǎn)分別是PC、PO的中點(diǎn)，PA=AB=1，BC=2.求證：

（DE產(chǎn)〃平面P45；

（2）平面PAD，平面PDC.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】以A為原點(diǎn)，A5所在直線為x軸，A￡＞所在直線為了軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-初z,

則A（0,0,0）、B（1,O,O）、C（1,2,0）,￡>（0,2,0）、P（0,0,l）,所以

EF=1-；,0,0）,PB=（l,0,-l）,PD=（O,2,-l）,AP=（0,0,1）,AD=（0,2,0）,DC=（1,0,0）,

AB=(1,0,0).

(1)因?yàn)椤?=—L48,所以EF〃AB，即砂〃43.

2

又ABi平面B48，EFU平面Q4B，所以E尸〃平面E48;

(2)因?yàn)锳P-DC=(0,0,l)。(l,0,0)=0,所以4P_L℃,同理可得_L℃，

即AP_LZ)C,ADVDC

又APcAD=A，所以。CJ_平面/為￡).

。。匚平面尸。。，所以平面ELD_L平面P￡>C.

【一隅三反】

1.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

①若〃I，%分別是平面a,0的法向量，貝IJ鳥〃〃”；

②若力,〃2分別是平面a,夕的法向量，則aL?Q〃1=0；

③若〃是平面a的法向量，。是直線/的方向向量，若/與平面a平行，則〃々=0;

④若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面不垂直.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①中平面a，6可能平行，也可能重合，結(jié)合平面法向量的概念，可知②③④正確故選：C

2.(2021?福建)如圖,在正方體A5CD-AB1C1D1中,E,2分別是B山,2c的中點(diǎn),求證:AE_L平面AQiF.

【答案】證明見解析

【解析】如圖所示，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

則A(1,O,O),E(l,l,|),A(1,0,1),D,(0,0,1),F(0,p0),

所以AE=(0,l,g),AQ=(-1,0,0),D,F=(0,1,-l),

由=0,AEDyF=Q.可得A。，A￡_L。尸，

即AEJ_AA,AE±,

又由ARRF=R,A〃，￡>/u平面4AE

所以AEJ_平面4。尸.

3.(2021?廣東肇慶)如圖，已知A8L平面ACD,平面ACD,AACD為等邊三角形,AO=OE=2AA求證:

平面BCEJ_平面CDE.

【答案】證明見解析

【解析】設(shè)A￡)=￡>E=2AB=2a,

以A為原點(diǎn)，分別以AC,A8所在直線為x軸，z軸，以過點(diǎn)A在平面ACO內(nèi)垂直于AC的直線為y軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-.qz,則A(0,0,0),C(2a,0,0),8(0,0,a),D{a,y/ja,0),

E(a,^3a,2a).

所以BE=(a，百4，4)，BC=(2a,0,—a),CD={-a,6a,0),￡￡)=(0,0,—2a).

設(shè)平面BCE的法向量為4=(M,yi,zi),由々?班=0,々?■BWm。可得

ax.+\J3ay,+az,=0.x,+>J3y+z.=0,,一°ur-

〈?凹1即「)1令.=2,可得〃=(1,—有，2).

2ax{-az[=0,[2xl-zl=0.

LU-.一一.

設(shè)平面CDE的法向量為々=。2,丁2,Z2),ill^2-CD=0,%?￡1￡)=()可得

-ax2+也ay2-0,-X-)+>/3%=0

-2az2=0,Z)=0.

uuU111

令”=1,可得〃2=(6，1，0)-因?yàn)樯?lxg+lx(一6)+2x0=。.所以“_|_々，

所以平面BCEL平面CDE.

4.(2021.云南)如圖，正方形ADE尸與梯形ABC。所在的平面互相垂直，AD1CD,AB//CD,AB=AD=2,

CD=4,M為CE的中點(diǎn).

(1)求證：〃平面ADEF；

(2)求證：BC_L平面BOE；

(3)證明：平面BCEL平面BOE.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】證明???平面AOEF，平面ABC。，平面AQEFC平面48CQ=A。，ADLED,EOu平面AOEF,

...E￡)_L平面ABCD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DAZ)C,r>E分別為X軸，y軸，Z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則0(0,0,0),A(2,0,0),8(.2,2,0),C(0,4,0),￡(0,0,2),尸(2,0,2).

(1)；M為EC的中點(diǎn),2,1),

則BM=(—2,0,l),=(-2,0,0),AF=(0,0,2),

:.BM=AD+^AF,故共面.

又BMC平面ADEF,：.BM〃平面ADEF.

(2)BC=(-2,2,0).03=(2,2,0),DE=(0,0,2),

BCDB=-4+4=0，

又BCDE=0，JBCLDE.

又DECDB=D,DB,OEu平面8￡>E,BDE.

(3)證明山(2)知8cl.平面BOE,又BCu平面BCE,平面BCE_L平面BCE.

考點(diǎn)三利用空間向量求空間角

【例3】(2021?浙江)如圖，在四棱錐B-ACOE中，平面ABC,ACIIDE,ZBAC=120°,

AB=AE=DE^-AC^2,F，G,”分別為線段BE,CD,AC的中點(diǎn).

2

(I)求異面直線破與G”所成角的余弦值；

(II)求直線DF與平面BCO所成角的正弦值.

【答案】(gn)嚼

【解析】以A為原點(diǎn)，AC,AE分別為y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則B(永，-1,0),E(0,0,2),0(0,2,2),C(0,4,0),

F(^,-1,l),G(0,3,l),"(0,2,0)

(I)靛=(-"1,2)，肩=(0,-1,-1)，

—>f

—>—>BEGH-33

/.cos<BE,GH>=

V8-V2

\BE\\GH\4

3

異面直線BE與G"所成角的余弦值為--

4

(H)設(shè)平面BCD的法向量為n=(X,y,z)，直線與平面3。所成角為氏

BC=(-6,5,0),CD=(0,-2,2)，DF=

BCn=0―y/3x4-5y—0/t5A/3

則《即―1?！睢?，可得〃=(一,?

CDn=0

sin6=

\n\\DF\

即直線DF與平面BCD所成角的正弦值」匝

124

【一隅三反】

1.(2021?浙江)如圖，在三棱錐P—A8C中，已知R4=PB=，AC=J5,AB=8C=2,平面RIB_L平

2

面ABC,則異面直線PC與AB所成角的余弦值為()

D.國(guó)

3

【答案】A

【解析】

取AB的中點(diǎn)為￡>，連接PO

因?yàn)镻A=PB，所以尸￡>_LA5，

因?yàn)槠矫鍾4B_L平面ABC，平面PABc平面ABC=AB，P￡>u平面

所以PDL平面ABC

因?yàn)镻A=PB=，AC=及，AB=BC=2

2

所以AB,3c

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),A(0,2,0),尸(0,1,1),C(2,0,0)

所以AB=(O,—2,0),PC=(2,-l,_l)

\ABPC\2_V6

所以異面直線PC與所成角的余弦值為~

網(wǎng)儼q2.V6-6

故選：A

2.（2021?天津高三二模）如圖，在三棱柱ABC—中，CGL平面ABC,CA=CB=2,NACB=90°,

側(cè)棱44,=1,M是44的中點(diǎn).

（1）求證：A51C\M：

（2）求直線A乃與B。所成角的余弦值；

（3）求二面角A-A,B-C的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）也；（3）題.

510

【解析】（1）證明：依題意，以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C4，CB，CC；的方向?yàn)閄軸、y軸、Z軸的正方

向建立空間直角坐標(biāo)系C-孫Z

則3(0,2,0),C(0,0,0),A(2,0,1)，/(1,1,1)，c,(0,0,1),4(0,2/).

所以48=(—2,2,—1),C,M=(1,1,0),

所以AB-GM=—2+2+0=0，

所以,即AB_LGM.

(2)解：由(1),得kq=3,fi,C=(O,-2,-l).

所以43出0=—3，|BC|=6,

-3

所以COS(AB，4C)=

A用4c|_3x6_5'

即所求直線AB與B,C所成角的余弦值為好.

（3）解：依題意及（1）,得=（2,0,1）.

設(shè)平面A}BC的法向量為n=（x,y,z）,

〃?A8=0,一2x+2y-z=0,

則〈

n-CAj=0,2冗+z=0,

令x=l,得z=—2,y=o,所以〃=(1,0,—2)

由（1）及題意知，GM_L平面

所以平面A4/的法向量是GM=（l],0）

所以同=石，|泵|=0,n-C~M=\.

n?CM_1_而

所以COS(〃，GM

同,陷「石x近—10

設(shè)二面角A-AB-C的平面角為/，由于0＜夕＜乃，

所以sin（p=卜COS2（〃，GM）=卜（嚕）=孽。-

故所求二面角A-4B-C的正弦值為嚕.

3.（2021?新安縣第一高級(jí)中學(xué)）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E、。分別是邊A3、AC上的點(diǎn)，且

APCD1

滿足一=—=—（如圖1）,將ADE沿DE折起到4。后的位置（如圖2）,且使AE與底面BCDE成60

EBDA2

角，連接Am，4c.

A

4

⑴求證：平面ABE，平面BCDE；

（2）求二面角4-CO-E的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）竺3.

13

19

【解析】（1）折疊前，在圖1中，AE=-AB=2,AD=-AC=4,Zft4E=60°.

33

由余弦定理可得DE2^AD2+AE2-2AD-AEcosZDAE=12，

所以，AE2+DE2=AD2>則DE_LAB，

折疊后，在圖2中，對(duì)應(yīng)地有。DE上BE，

=「.OEl,平面ABE,

DEu平面3CQE,因此，平面4BE_L平面5CDE；

（2）過點(diǎn)4在平面ABE內(nèi)作A"_!BE,垂足為點(diǎn)M，

?平面A￡E_L平面8CDE,平面A】BEC平面BCDE=BE,A"u平面AQE,

二.AML平面BCDE,：.\E與平面BCDE所成的角為EM=60,

因?yàn)镺E_L平面ABE,以點(diǎn)￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB、ED所在的直線分別為％、V、z軸建立如下圖所示的

空間直角坐標(biāo)系后一刀尸，

D

則A(1,0,6)、E(0,0,0),￡>(0,273,0),C(l,373,0),

設(shè)平面4。的法向量為m=(x,y,z),DC=(1,75,0),D4,=(1,—2"G),

m-DC=x+6y=0

取x=則加=（6,-1,一3）,

由<

m?DA=x-2\/3y+y/3z=0

易知平面COE的一個(gè)法向量為〃=（0,0』），

m-n33A/13

cos<m,n>=,；-；~~；~~r=--^=------

WWV1313，

由圖可知，二面角A-C。-E為銳角，它的余弦值為"3.

13

考點(diǎn)四利用空間向量求空間距離

【例4】（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方體468-44。|。|中，4?=4,AD=6,想=4,M是4G

的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|C"=2,。是。2的中點(diǎn)，求：

（l）M到直線PQ的距離；

⑵M到平面AB7的距離.

【答案】（1）亞叵；（2）述.

63

【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系6-孫z,

則A（4,0,0）,"（2,3,4）,P（0,4,0）,。（4,6,2）,B,（0,0,4）.

（1）QM=（-2-3,2）,QP=（T,—2,-2）,

\QM-QP\|8+6-4|^576

:.QM在上的射影的模為

QP|Qp|Jl6+4+46

到宜線PQ的距離為

⑵設(shè)平面AB7的法向量〃=（%,y,z）,則〃nJLAP>

A4=（T,0,4）,AP=（T,4,0）,

n-AB=-4x+4z=0

},令x=l,解得:y=l,z-l>.,.“=（1,1,1）,

n-AP=一4尤+4y=0

又M4=（2,-3T）,

AM-??|2-3-4|5J3

M到平面ABf的距離d==L___L=_2_.

【一隅三反】

1.（2021.河北）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！狝gG。中，E為8。的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段3￡上.點(diǎn)

P到直線CG的距離的最小值為

【答案】巫

5

【解析】點(diǎn)P到直線cq的距離的最小值就是異面直線。E與cq的距離.

以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閄軸、y軸、Z軸正方向建立空間宜角坐標(biāo)系,

則R(0,0,2),E(l,2,0),C(0,2,0)，G(0,2,2),「.RE=(1,2,-2),。6=(°，°，2).

設(shè)〃J_￡)]￡*,〃_LCCj,n=(x,y,z)，

n-D,E=x+2y-2z=0

則〈,取y=-l,則x=2,z=(),即〃=(2,-1,0),

n-CC]=2z=0

又CE=(1,0,0),則異面直線與CC,的距離d=|H-C￡|=—.

I?l5

故答案為：亞.

5

2.(2020?邵東市第一中學(xué)高三月考)在棱長(zhǎng)為。的正方體ABC?！狝gCQ中，點(diǎn)M是線段QG上的動(dòng)點(diǎn)，

則M點(diǎn)到直線AD｝距離的最小值為

【答案】叵

3

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,AA,所在的直線為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

A（0,0,0）,D（a,O,O）,DX（a,0,6Z）,

DC、=（O,a,q）,AD】=（a,O,a）,

點(diǎn)M點(diǎn)到直線ADi距離的最小值為兩異面直線AD,和0c間的距離,

設(shè)他們的公垂線所在的向量為幾=（x,y,z）,

n-DC,=ay+az=0

山＜,令x=1,則y=1,z=—1,

n?AD}=ax+az=0

所以〃=(1,1廣1),AD=(?,0,0),

,\n-AD\ag

則兩異面直線A。和DC］間的距離為：—i-q———j==——a

\n\V33

故答案為：叵

3

3.（2021?周至縣第二中學(xué)高二期末（理））如圖，正方體488—43'。。'，棱長(zhǎng)為2,E為C'。'的中點(diǎn);

⑴求證：A'CIB'D'；

⑵求證：A'C_L平面AB'。'；

（3）求點(diǎn)A到平面BEC的距離；

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析：（3）逑.

5

【解析】（1）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、DC、為》軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A'(2,0,2),C(0,2,0),8'(2,2,2),D'(0,0,2),

則A'C=(-2,2,-2),5'。'=(一2,-2,0),

因?yàn)锳'CB'￡)'=0，所以A'C_L8'。'，

所以A'C"L3'。'.

(2)4(2,0,0),A3'=((),2,2),

因?yàn)锳'CA6'=0，

所以A'CJ.AB'，

又因?yàn)?C"L3'。'，且

所以A'C_L平面AB'。'；

(3)8(2,2,0),￡(0,1,2),BC=(-2,0,0),CE=(0,-l,2),

設(shè)平面BEC的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-BC=Q

則《，即《

n-CE=Q—y+2z-0

設(shè)z=l，則y=2,尤=0,則〃=(0,2,1)，

設(shè)點(diǎn)A到平面BEC的距離為d，

\BA-n\4_475

貝存二可；

\n\

4.(2021?上海高三二模)如圖，在直三棱柱A8C-4BiG中，BAA.BC,BA=BC=BB1=2.

(1)求異面直線A8與AiCi所成角的大小；

(2)若”是棱BC的中點(diǎn).求點(diǎn)M到平面AiBiC的距離.

【答案】(D—;(2)—.

32

【解析】⑴由于4C//4C,所以NC4B(或其補(bǔ)角)即為異面直線A51與4G所成角,

連接C5,在aABC中，由于做=4C=AC=2&,所以AABC是等邊三角形，

(2)解法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為C(0,0,2)、以(0,2,0)、4(2,2,0)、

M(0,0,1).

設(shè)平面ABC的法向量為〃=(〃,％vv),則〃_LC4，〃_LA4.

VCB,=(0,2,-2),\B[=(-2,0,0),

且nCB]=0,〃?A4=0,

2v-2w=0(w=v

，〈一八=〈八，取u=1,

—2u=0[〃=0

得平面AiB.C的一個(gè)法向量為n=(0,1,1),且口=血，

又?：MB、=(0,2,-1),

,\n-MB\10x0+1x2-11]8

于是點(diǎn)M到平面A\B\C的品H離d=—|-?—=-----j=------=

所以，點(diǎn)M到平面4BC的距離等于變.

2

'MN1CB]

解法二：過點(diǎn)M作仞VJ_CS交CB于N,由平面481c.

CB}cAq=B、

冗5

在RtCMN中,由NMCN=—,CM=\,得MN

42

所以，點(diǎn)M到平面4SC的距離等于變.

2

考點(diǎn)五求參數(shù)

【例5】(2021?全國(guó)高二單元測(cè)試)在直三棱柱ABC-48cl中，4c=3,BC=4,AB=5,A4i=4.

⑴求證：AC_LBG；

(2)在AB上是否存在點(diǎn)。，使得AGLC。？

⑶在AB上是否存在點(diǎn)D,使得AG//平面CDBi?

【答案】(1)證明見解析；(2)存在；(3)存在.

【解析】直三棱柱48C-45G,AC=3,BC=4,AB=5,則AC,BC,CG兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn),

直線C4,CB,CG分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則C(0,0,0),A(3,0,0),Ci(0,0,4),

2(04,0),8(04,4).

Xy

(1)證明：???AC=(-3,0,0),BC}=(0,-4,4),

:.AC-SC,=0,

AAC±BC11：.ACLBCy.

UUIUuuu

(2)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)。，使得則AO=/lAB=(-32,4Z,0),其中國(guó)Wl,則以3—32,4A

0),于是CO=(3—3九42,0),

由于AG=(-3,0,4),且4GJ_CD,

所以AC/CO=-9+9i=0,得7=1,

所以在A8上存在點(diǎn)。，使得AG，C￡>,且這時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合.

UUIUUIU

(3)假設(shè)在48上存在點(diǎn)￡>,使得AG〃平面CD?,則AO=245=(-32,虱,0),其中閆W1,則￡>(3—3九

4A,0),ByD—(3—3A,4A—4,—4).

-uuu

又4c=(0,-4,-4),ACj=(-3,0,4),AG//平面COB,所以存在實(shí)數(shù)機(jī)，〃,使Ag=m4。+〃4c

成立.

.?."7(3—32)=—3,w(4A—4)—4M=0,—4m—4n=4.

所以％=工,所以在AB上存在點(diǎn)。使得AG〃平面COB,且。是A8的中點(diǎn).

2

【一隅三反】

I.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))在多面體ABC0E/7中，正方形ABC。和矩形BOE尸互相垂直，G、”分別

是￡>石和BC的中點(diǎn)，AB=BF=2.

⑴求證：￡?，平面ABCD.

(2)在邊所在的直線上存在一點(diǎn)P,使得FP〃平面AG”，求EP的長(zhǎng):

【答案】（1）證明見解析；（2）26.

【解析】（I）因?yàn)樗倪呅?DE戶為矩形，則￡D_L3。，

因?yàn)槠矫?年產(chǎn)_L平面ABCD，平面BDEFc平面ABC￡＞=B￡＞，EDu平面BDEF，

所以，即，平面A5CO；

（2）因?yàn)镋OL平面ABCD，四邊形ABC。為正方形，

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4、DC、OE所在宜線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z,

則A(2,0,0)、G(O,O,1)、”(1,2,0)、F(2,2,2),設(shè)點(diǎn)P(a,2,0),

FP=(a-2,0-2),AG=(-2,0,1),=(-1,2,0),

設(shè)平面AGH的法向量為n=(x,y,z),

n-AG=-2x+z=0

由《令x=2,可得“=(2,1,4),

n-AH=-x+2y=0

要使得FP〃平面AG”，則b所以，F(xiàn)Pn=2（a-2）-8=0,解得a=6,

則FP=(4,0,-2),此時(shí)，|FP|=^42+02+(-2)2=2V5.

2.（2021?山西）如圖所示，平面CCEF1平面ABCD且四邊形A8CO為平行四邊形，/D4B=45。，四邊形

CDEF為直角梯形,EF//DC,ED±CD,AB=3EF=3,ED=a,AD=&.

M

(1)求證：AD工BF；

CM

(2)若線段CF上存在一點(diǎn)M,滿足AE〃平面求的值;

~CF

【答案】（1）證明見解析；（2）——=-.

CF5

【解析】（1）：面COEF1面ABC。，ED±CD,ED