2024屆廣東省大灣區(qū)高三年級下冊聯(lián)合模擬考試（二）數(shù)學(xué)

【新結(jié)構(gòu)】（大灣區(qū)二模）2024屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試

（二）

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.集合-1」”的真子集個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

2.，，」的展開式中，，,，的系數(shù)為（）

A.10B.10C.-1。D.40

3.某圓臺上底面圓半徑為1,下底面圓半徑為2,母線長為、」，則該圓臺的體積為（）

A.—B.-C,與D.：行

333

4.已知正實數(shù)機，〃滿足.I”“，—hi‘j”,Jri；—貝U（）

22fu

A.1B.C.4D.1或;

5.若向量TT，廠滿足「丁，/=八'2,則，，『與丁的夾角為（）

6.4tn74.in、上二?2v111r（）

A.-2B.1C.-2V3D.

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n，次，記事件.[一“〃次中至多有一次反面朝上"，事件"二“〃次

中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A與3獨立，則〃的值為（）

A.2B.3C.4D.5

8.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條相互垂直切線的交點軌跡為圓，我們通

常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據(jù)此背景，設(shè)M為橢圓＞|的一個外切長方形7/的四條邊

12

所在直線均與橢圓。相切j,若M在第一象限內(nèi)的一個頂點縱坐標為2,則M的面積為（）

一112ill

A.13v3B.26C.fD.——

55

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知一組數(shù)據(jù)…,是公差不為0的等差數(shù)列，若去掉數(shù)據(jù)，，貝心）

A.中位數(shù)不變B.平均數(shù)變小C.方差變大D.方差變小

10.函數(shù)J一的定義域為R,，.1,若對任意無，「都有八7'"貝U()

eBe*

A.0B.11=

C.，為奇函數(shù)D.在5-、上為單調(diào)函數(shù)

11.如圖,己知直三棱柱八1BtC的所有棱長均為3,D,E,F,G分別在棱,40,K,AB,

AC上,且40=八/=〃廠CG，H,P分別為8C,兒〃的中點，則()

A.平面PTG

B.若M,N分別是平面13/和I.內(nèi)的動點，則/周長的最小值為:

C.若"/1IB,過P,F,G三點的平面截三棱柱所得截面的面積為人”

31

D.過點A且與直線八』和8C所成的角都為和的直線有且僅有1條

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)i為虛數(shù)單位，定義，',，,、“?，、”〃，，則復(fù)數(shù)，一的模為.

13.函數(shù)。廣-mi.(..0的部分圖象如圖所示，則s.

14.在平面直角坐標系xOy中，圓C經(jīng)過點。"U和點與無軸正半軸相交于點“若在第一象限

內(nèi)的圓弧上存在點尸，使，.山，［一「，則圓C的標準方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.本小題13分1

如圖，三棱柱ABC-1八，的底面是等腰直角三角形，..1「〃一.，側(cè)面ACG4是菱形,

“i,AC-=2，平面平面

ill證明：

T，求點<；到平面的距離.

16.本小題15分）

已知數(shù)列｛”）為等差數(shù)列，，，1,前”項和為、：，滿足：當”e.V?且“?”時，

12n129-n

「，求"」的通項公式；

1定義集合”“-｛“一V且。，。?，記”,的元素個數(shù)為，…數(shù)列「，1的前”項和為

I,求7]…

17.本小題15分）

一個袋子中裝有6個黑球，2個白球，它們除顏色外完全相同.現(xiàn)每次從袋中不放回地隨機取出一個球，

直到2個白球都被取出為止.以X表示袋中還剩下的黑球個數(shù).

?1，記事件｛.表示“第人次取出的是白球”，；1,2,,8,求八1.1」.

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.本小題17分）

雙曲線「-'廠IG，，U的焦點為『，在/[下方I,虛軸的右端點為A,過點「且垂直于y

tr

軸的直線/交雙曲線于點/'〃>在第一象限I,與直線交于點8,記1/,"的周長為機，的

周長為n,in-n-1.

，：若c的一條漸近線為,」\」「，求C的方程；

壯）已知動直線/’與C相切于點T,過點T且與/.垂直的直線分別交X軸，y軸于M,N兩點，。為線段

MN上一點，設(shè)\11為常數(shù).若K"]-QA為定值，求的最大值.

19.本小題17分i

拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)/'|”在閉區(qū)間，，，］上的圖象連續(xù)不

斷，在開區(qū)間s小內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為/，一，那么在區(qū)間山內(nèi)存在點。，使得?！?，＜：../,八大成

立.設(shè)，-，1,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，，一上門、4易知，。」）在實數(shù)集R上有唯一零點

r,且「:I.'?

III證明：當J.L時，“--1：

Ti從圖形上看，函數(shù)，?「；的零點就是函數(shù)，一的圖象與x軸交點的橫坐標.直接求解

,”.，：；，-，1的零點r是困難的，運用牛頓法，我們可以得到零點的近似解：先用二分法，可

在“中選定一個，”作為r的初始近似值，使得。,然后在點，1.」處作曲線“/一

2*2

的切線，切線與X軸的交點的橫坐標為，.，稱.「是廠的一次近似值;在點I八.fl「處作曲線Vf「的

切線，切線與x軸的交點的橫坐標為稱二是r的二次近似值;重復(fù)以上過程，得廣的近似值序列，

?，一，/1，?一，1，,?

①當」＞??時,證明：工?，.「「：

②根據(jù)①的結(jié)論，運用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：｛，.｝為遞減數(shù)列，且丫”七，，請以此為前提條

件，證明：“

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

先求出集合中的元素的個數(shù)，從而求出集合的子集的個數(shù).

本題考查了集合的子集的個數(shù)，若集合有〃個元素，則集合的真子集有，1個，本題屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：集合{/，：：.V-1-：J-1)={0.1|,

二子集的個數(shù)是*13，

故選：A

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查二項式定理，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).，屬于基礎(chǔ)題.

利用展開式的通項公式求解.

【解答】

解：：』，］「的展開式通項公式為=(1“'，一八，

所以a3的系數(shù)為,

故選：C.

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查圓臺的側(cè)面積公式與體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

先求出圓臺的高，再由圓臺的體積公式求出即可.

【解答】

解：設(shè)圓臺的母線長為/,高為九

因為圓臺上底面圓的半徑為1,下底面圓半徑為2,，、」，

所以圓臺的IWJ為〃\1-'-?〃rI''(2-I1'=1>

所以圓臺的體積為「=?，"r+”3\II+，?II?1

?J%9M

故選：.4.

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，圓中弦長問題，屬于較難題.

根據(jù)題意求出橢圓C的蒙日圓方程，從而可得M在第一象限的頂點尸的坐標，設(shè)出過尸且與橢圓C相切

的直線方程，與橢圓聯(lián)立，可得矩形相鄰兩邊所在直線方程，利用點到直線距離公式即可求解.

【解答】

?

解：橢圓(：廠.”-|,故「-1,/r'=U，

12

由題意可知該橢圓的蒙日圓方程為J,，/“」,『二l.h

M為橢圓「"1的一個外切長方形，設(shè)其四個頂點分別為P、。、，，、一，

12

其中尸在第一象限，易得「與〃’：，：F原點對稱，。與Q'乂『?原點對稱，

P點縱坐標為2,故橫坐標為3,

即L,顯然M的四條邊所在直線斜率存在且不為0,

設(shè)過P且與橢圓C相切的直線為！/-2=卜㈠3i,

與’廠|聯(lián)立，可得nr、?+23A-12,

12

即<12-廣)廠+412U,I；?■?,-12A、

由、)*','2R-1；1-，「川”⑵>1it,

可得2H,解得，?或「，

1?

不妨取尸。所在直線為，2—2叮31,即匕uIH,

所在直線為u2y?Ji,即，，2,)7",

。點到直線尸。的距離為!，。點到直線〃(/的距離為〔，

v5v5

則M的面積為、i,(1)，2,13一(1■學(xué).

9.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于中檔題.

由中位數(shù)的概念可判斷4根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷2,由方差計算公式即可判斷

CD.

【解答】

解：對于選項4原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為丁，去掉，"后的中位數(shù)為I，?，-」.，即中位數(shù)沒變，故選項

A正確；

對于選項5,原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，1......-H.「「5,

111?112

去掉L后的平均數(shù)為1I1.J.?,,,IIJ,即

10-102

平均數(shù)不變，故選項5錯誤；

對于選項C,則原數(shù)據(jù)的方差為、「；.+(川_..尸|,

去掉,,后的方差為、—[(X)-1,+…+一^>

故「，即方差變大，故選項C正確，選項。錯誤.

故選：

10.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查抽象函數(shù)的求值和性質(zhì)，屬于中檔題.

令,=““，求。山，判斷A；令j-I，v1,求得,判斷8；由…,1''J「山可

證，!」，為奇函數(shù)，判斷C;由,可判斷。

【解答】

解：對于A,令.“□，得：山，得力II，—”，故A正確；

對于2,令/=1,"1,得‘".’1'(I1IH所以「.1-「，故B正

b1e

確；

J

對于C,由A知/(<1)=(),所以當r小時"2=y(0)=0)即

，人」?，所以，，門為奇函數(shù)，故C正確；

II21I[Z2

對于。，1'',,''，所以。I，-八5…，=-JhJU,故'門在

//yr*22€

I,上不具有單調(diào)性，故D錯誤.

11.【答案】BC

【解析】【分析】

本題考查線面平行，異面直線夾角問題，屬于較難題.

根據(jù)線面平行判斷A,M,N運動至何時1/V『的周長最短判斷8,計算截面面積判斷C,找出與過點

A且與直線和BC所成的角都為r,的直線條數(shù)判斷D,

【解答】

解：選項A,因為.BF?CG,所以DEFG,連接E凡DG,

連接。E,FG,DF,EG,[J；和I/',

因為/5K；,,所以BGDE構(gòu)成一個平面，

正方形中&&,設(shè)WPF?Oi，

可以證明絲」BFOt,

所以人Qi65，即5為AS的中點，所以DOF,Oi

所以C為。尸的中點，

同理設(shè)4CEG=01，則Oj為EG的中點,

所以“。是中位線，

因為人留為△4BC中線,所以尸為。。中點,

因為二平面FGED,所以〃匚平面FGEZ),即平面PFG與平面BGED為同一個平面，

則。E在平面尸F(xiàn)G內(nèi)，故A錯誤.

選項8,平面！】〃力和所成的銳二面角為,，點尸到平面1山〃九和八的距離生’，

8

分別作點P關(guān)于平面?和A的對稱點.”，\

易證當M,N分別取直線與平面、[；〃；和LUJ的交點時，.U\廣的周長最短，

因為PM,\=='：1IM>所以

4

所以這個周長的最小值為:故8正確.

選項C,由A選項可知，D,￡在過P,F,G三點的平面中，截面為四邊形PGED,

DL1/(；2.!>t/(；Vhi,

所以截面面積為:I”；.|i+白=華>,故C正確.

選項，易知AAiBC,過點A作8c的平行線〃7“，則L411(1,

與」L所成行的所有直線構(gòu)成以A為頂點的兩個對頂圓錐為軸I,

同理與〃7,所成；-.的所有直線構(gòu)成以A為頂點兩個對頂圓錐：為軸I,

因為\.4i與“7所成角」廣>i,所以圓錐面上公共線共有兩條，

所以過點A且與直線\\和BC所成的角都為I；的直線有2條，故。錯誤.

故選：BC

12.【答案】V3

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的三角形式和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

求出，一「，利用復(fù)數(shù)的模長公式即可求解.

【解答】

A2?".二、/JJ

用牛：，，，I1工內(nèi)?I>lh?/—?/，

6622

13.【答案】：

【解析】【分析】

本題考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圖象結(jié)合正弦型函數(shù)周期與"之間的關(guān)系，即可求解.

【解答】

]TT11?±*1

解：由題圖知，"?"，則-/I,解得—(k€Z).

!193I

設(shè)”,一j的最小正周期為T,

因為-u,所以27”「，解得"-一.”,

9-u9、I

當且僅當i1時，符合題意，此時.,，

2

故答案為：

2

14.【答案】,「-，-2\:20

【解析】【分析】

本題主要考查求圓的標準方程，屬于中檔題.

根據(jù)題意作圖，由，-orI>2,求得、iu.(〃工1'」，進而求出8的坐標，從而求出方程.

55

【解答】

解：根據(jù)題意作圖，如圖所示:

所以,5。廣I■

5

由題意可知，\(11J)

sin4OBA

又/4?！耙?則AB為圓的直徑，設(shè)為2R,

*9

則〃—乎

則R=2/，所以O(shè)B=^AB1-0A3-V90-19=8，

所以B(8,0),又4(0,4),則C為AB的中點,所以C(J,2),

所以圓C的標準方程為：>一,/.…“

故答案為：11「,“JJ.'0

15.【答案】解：，：?連接因為四邊形為菱形，所以9IC,

因為.1力Ml)所以/〃.V'，

又因為面.1/〃’一面

面面1U,il<ffiABC,

所以/〃：平面4CQ平,

又4CU平面ACGA，所以“,又C,

因為〃(］，所以/幣'i〈，

又因為x/>'c-u,///,平面I"一,

所以I(,平面，

又八也二平面"，，所以1(\H

素個數(shù)，而，I-iI■-J.'.'l,共九-1個元素,

所以八，2〃一1

r-r-pi：11IMI'H?

所以-HMI

【解析】本題考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列前"項和，屬于中檔題.

一根據(jù)已知等差數(shù)列結(jié)合與+:+一一：.":，求解基本量即可;

根據(jù)集合新定義得到「??,上」求解即可.

17.【答案】解：一由題得In力聞；］,

1

由條件概率公式可知，八1.1」='「；'’=個=:

4

由題知，X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,

X的分布列:

X0123456

【解析】本題考查條件概率，離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.

一根據(jù)已知求出門】，I.然后由條件概率公式求解；

由題知，X的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,分別求概率求解即可.

⑴因為，，，，，=A/f-HF,-1/；i///'-/71?//；i

=」/，+IBP+Phy：+4/4-（BP+PFi+.1〃-"，=PFfPFil=2a=4,a=2；

又因為雙曲線的一條漸近線為"-v2.r，

所以；「2,即h

所以雙曲線的方程為''|;

I2

?根據(jù)I,得〃2,所以雙曲線方程為‘廠」'|,

I力

設(shè)7：.「,」"，過7.一.>J的直線則/'的方程為"斐=A??-J,|,gp1/k；-1；k!■,,,

令⑺./人」,

（F上=1

聯(lián)立<I得［h2k2--2frmk\r+brm2-Ur=U

I1：y'Ai?

因為，「，；，所以卜尸…?

b

因為直線/與雙曲線只有一個公共點，

所以，」『小人一\：卜卜-I?1A'rrrII

化簡得■I“，

代入E/?"得入+：）*-2rzA就一4=。

由于直線i與雙曲線相切，所以；「"，

,尸事二

因為'''I,所以，，

1b2

過點T且與「垂直的直線的直線斜率為，方程為，,，，,，

4J*O4r?

A.11夕曰(5+4).r(.日口.*,"廠十41l.r9

令UH，得「.，即”—.1”

Oror

令H,得》一四J",即一‘；

設(shè)Qu,因為\,W\10\11，

(1-川(戶44)]=___________

'\人即|"(1一"&+1『，

A("+4)I4

{"=-4-4[的=乂臚+4)。

j?____________________]

代入'I得'“-?1\?,?1*I，

41r-------------二

46

依題意，該雙曲線與雙曲線(,?",一/=1共焦點，

Ib2

所以\,+4)11-.體+』)-'=M+4,

4CT

化簡得"->\1--1?,所以'--H,II,

6i*1

M2向

b\b

等號成立當且僅當/,=1,\1,

2

故V的最大值為1.

【解析】本題考查雙曲線的定義，雙曲線的標準方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于較難題.

.根據(jù)--=I結(jié)合雙曲線定義求出「-2,然后根據(jù)漸近線求解即可；

Ti設(shè)直線方程與"I得到的雙曲線聯(lián)立，根據(jù)直線，'與雙曲線相切表示左，再根據(jù)垂直以及向量關(guān)系求解

即可.

19.【答案】解：(1)方法1;

因為，??在R上單調(diào)遞增，所以任意」-??),有/i”?f1?0f

9

另一方面，注意到。；所以'【一，

根據(jù)拉格明日中值定理，

存在C€(r.x),/"1=/(l)—/(「)=-r)<-/*(c)=+I)

?：,I311.、1..

因為1UI,所以，II，?-2,Ir'll<?11'1,

292999

所以0</(J)<1

方法2

因為.仆1,?rI",所以,

接下來先證明不等式：",,11

J-+1

令）=加工.2（*-1）工＞1，則g（T）?l■-0~

工+1工（工+1）'x（r+If

O/T11

故〃」?在1.1\?上單調(diào)遞增，于是1,「-J1II,即hir.~

1+1

9

Q2匕-1）21Q

所以k、，:J即，、’

—十1

8

因此：?1i-ii??1-1?Li?：?\

!Js9H9

又因為?1,所以'1一.’.'」|,故|1*'i?!-fi/：-fl」1

、9x9八/八，八9，

121①先證.「--rn.i,

在（./.J，l處，曲線"「」?的切線方程為nrf;-尸???,,?,

令4I）,得」」；："，即J'」；，''，

J/（J,,,）

由于」＞,f"）在R上單調(diào)遞增，所以〃r）?0,

1

而/，-1H,所以'/''l?,所以」「；（''J,即，,.I,

再證：/?，，

由于人一在R上單調(diào)遞增，只需證。「「：0,

曲線4的切線方程為"/rI-＜|??-'',?,

即D=/l.r./4f\.「J

根據(jù)」的定義，。.，JT'」一I-H,

令3/I=f一；f\rI/'if.'*r,」「.1「」「，

-fr（x）-/'（1.）=-e**＜0，x€

所以加/］在l，『“］上單調(diào)遞減，而，，I.-八小）@“一/s）=0，

所以，「‘IH,又“［IfJ',所以…，II,所以，廠，

綜上」