浙江省杭州市杭州第二中學2023-2024學年高一下數(shù)學期末達標檢測試題含解析

浙江省杭州市杭州第二中學2023-2024學年高一下數(shù)學期末達標檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中，角所對的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形2．甲、乙兩名籃球運動員最近五場比賽的得分如莖葉圖所示，則（）A．甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙高B．甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙低C．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)高，但平均數(shù)比乙的平均數(shù)低D．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)低，但平均數(shù)比乙的平均數(shù)高3．sin480°等于（）A． B． C． D．4．在中，，設向量與的夾角為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若tan（）＝2，則sin2α＝（）A． B． C． D．6．設，為兩個平面，則能斷定∥的條件是（）A．內有無數(shù)條直線與平行 B．，平行于同一條直線C．，垂直于同一條直線 D．，垂直于同一平面7．已知a,,且,若對,不等式恒成立,則的最大值為()A． B． C．1 D．8．在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，為的面積，則的最大值為（）A．1 B．2 C． D．9．直線：與圓的位置關系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定10．在中，，是的內心，若，其中，動點的軌跡所覆蓋的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下列關于函數(shù)與的命題中正確的結論是______.①它們互為反函數(shù)；②都是增函數(shù)；③都是周期函數(shù)；④都是奇函數(shù).12．函數(shù)的最小正周期___________.13．已知數(shù)列的通項公式為是數(shù)列的前n項和，則______.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則________.15．某小區(qū)擬對如圖一直角△ABC區(qū)域進行改造，在三角形各邊上選一點連成等邊三角形,在其內建造文化景觀．已知,則面積最小值為____16．已知圓C的方程為，一定點為A(1,2)，要使過A點作圓的切線有兩條，則a的取值范圍是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某學校為了了解高三文科學生第一學期數(shù)學的復習效果.從高三第一學期期末考試成績中隨機抽取50名文科考生的數(shù)學成績，分成6組制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試利用此頻率分布直方圖求的值及這50名同學數(shù)學成績的平均數(shù)的估計值；（2）該學校為制定下階段的復習計劃，從被抽取的成績在的同學中選出3位作為代表進行座談，若已知被抽取的成績在的同學中男女比例為，求至少有一名女生參加座談的概率.18．已知數(shù)列的前項和，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.19．某校團委會組織某班以小組為單位利用周末時間進行一次社會實踐活動，每個小組有5名同學，在活動結束后，學校團委會對該班的所有同學進行了測試，該班的A，B兩個小組所有同學得分（百分制）的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學的分數(shù)已被污損，但知道B組學生的平均分比A組同學的平均分高一分．（1）若在B組學生中隨機挑選1人，求其得分超過86分的概率；（2）現(xiàn)從A、B兩組學生中分別隨機抽取1名同學，設其分數(shù)分別為m、n，求的概率．20．已知直角梯形中，，，，，，過作，垂足為，分別為的中點，現(xiàn)將沿折疊，使得．（1）求證：（2）在線段上找一點，使得，并說明理由．21．已知數(shù)列滿足若數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：是等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由向量共線的坐標表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解．【詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質．解題時不能隨便約分漏解．2、B【解析】

分別計算出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)即可得出選項.【詳解】根據(jù)題意：甲的平均數(shù)為：，中位數(shù)為29，乙的平均數(shù)為：，中位數(shù)為30，所以甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙低.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖表示的數(shù)據(jù)分別辨析平均數(shù)和中位數(shù)的大小關系，分別計算求解即可得出答案.3、D【解析】試題分析：因為，所以選D.考點：誘導公式，特殊角的三角函數(shù)值.4、A【解析】

根據(jù)向量與的夾角的余弦值，得到，然后利用正弦定理，表示出，根據(jù)的范圍，得到的范圍.【詳解】因為向量與的夾角為，且，所以，在中，由正弦定理，得，所以，因為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查向量的夾角，正弦定理解三角形，求正弦函數(shù)的值域，屬于簡單題.5、B【解析】

由兩角差的正切得tan，化sin2α為tan的齊次式求解【詳解】tan（）＝2，則則sin2α＝故選：B【點睛】本題考查兩角差的正切公式，考查二倍角公式及齊次式求值，意在考查公式的靈活運用，是基礎題6、C【解析】

對四個選項逐個分析，可得出答案.【詳解】對于選項A，當，相交于直線時，內有無數(shù)條直線與平行，即A錯誤；對于選項B，當，相交于直線時，存在直線滿足：既與平行又不在兩平面內，該直線平行于，，故B錯誤；對于選項C，設直線AB垂直于，平面，垂足分別為A,B，假設與不平行，設其中一個交點為C，則三角形ABC中，，顯然不可能成立，即假設不成立，故與平行，故C正確；對于選項D，，垂直于同一平面，與可能平行也可能相交，故D錯誤.【點睛】本題考查了面面平行的判斷，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.7、C【解析】

由，不等式恒成立，得，利用絕對值不等式的定理，逐步轉化，即可得到本題答案.【詳解】設，對，不等式恒成立的等價條件為，又表示數(shù)軸上一點到兩點的距離之和的倍，顯然當時，，則有，所以，得，從而，所以的最大值為1.故選：C.【點睛】本題主要考查絕對值不等式與恒成立問題的綜合應用，較難.8、C【解析】

先由正弦定理，將化為，結合余弦定理，求出，再結合正弦定理與三角形面積公式，可得，化簡整理，即可得出結果.【詳解】因為，所以可化為，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，當且僅當時，取得最大值.故選C【點睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于常考題型.9、C【解析】

求出圓的圓心坐標和半徑，然后運用點到直線距離求出的值和半徑進行比較，判定出直線與圓的關系.【詳解】因為圓，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓相交.故選【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，運用點到直線的距離公式求出和半徑比較，得到直線與圓的位置關系.10、A【解析】

由且，易知動點的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內部（含邊界），在中，由，利用余弦定理求得邊，再由和，求得內切圓的半徑，從而得到，再由動點的軌跡所覆蓋的面積得解.【詳解】因為且，根據(jù)向量加法的平行四邊形運算法則，所以動點的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內部（含邊界），因為在中，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所以.設的內切圓的半徑為，所以所以.所以.所以動點的軌跡所覆蓋的面積為：.故選：A【點睛】本題主要考查了動點軌跡所覆蓋的面積的求及正弦定理，余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、④【解析】

利用反函數(shù)，增減性，周期函數(shù)，奇偶性判斷即可【詳解】①，當時，的反函數(shù)是，故錯誤；②，當時，是增函數(shù)，故錯誤；③，不是周期函數(shù)，故錯誤；④，與都是奇函數(shù)，故正確故答案為④【點睛】本題考查正弦函數(shù)及其反函數(shù)的性質，熟記其基本性質是關鍵，是基礎題12、【解析】

利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)表達式，由此求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】依題意，故函數(shù)的周期.故填：.【點睛】本小題主要考查兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，屬于基礎題.13、【解析】

對數(shù)列的通項公式進行整理，再求其前項和，利用對數(shù)運算規(guī)則，可得到，從而求出，得到答案.【詳解】所以所以.故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)運算公式，由數(shù)列的通項求前項和，數(shù)列的極限，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)奇偶性，先計算，再計算【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以.因為當時，所以.故答案為【點睛】本題考查了奇函數(shù)的性質，屬于?？碱}型.15、【解析】

設，然后分別表示，利用正弦定理建立等式用表示，從而利用三角函數(shù)的性質得到的最小值，從而得到面積的最小值.【詳解】因為，所以，顯然，，設，則，且，則，所以，在中，由正弦定理可得：，求得，其中，則，因為，所以當時，取得最大值1，則的最小值為，所以面積最小值為，【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)求解實際問題的最值，涉及到正弦定理的應用，屬于難題.對于這類型題，關鍵是能夠選取恰當?shù)膮?shù)表示需求的量，從而建立相關的函數(shù)，利用函數(shù)的性質求解最值.16、【解析】

使過A點作圓的切線有兩條，定點在圓外，代入圓方程計算得到答案.【詳解】已知圓C的方程為，要使過A點作圓的切線有兩條即點A(1,2)在圓C外：恒成立.綜上所述：故答案為：【點睛】本題考查了點和圓的位置關系，通過切線數(shù)量判斷位置關系是解題的關鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；平均數(shù)的估計值（2）【解析】

（1）根據(jù)各小矩形面積和為1可求得的值；由頻率分布直方圖，結合平均數(shù)的求法即可求解.（2）根據(jù)頻率分布直方圖先求得成績在的同學人數(shù)，結合分層抽樣可得男生4人，女生2人，設男生分別為；女生分別為，利用列舉法可得抽取3人的所有情況，進而得至少有一名女生的情況，即可由古典概型概率公式求解.【詳解】（1）由題，解得，由頻率分布直方圖，得這50名同學數(shù)學成績的平均數(shù)的估計值為：（2）由頻率分布直方圖知，成績在的同學有人，由比例可知男生4人，女生2人，記男生分別為；女生分別為，則從6名同學中選出3人的所有可能如下：共20種，其中不含女生的有4種，設至少有一名女生參加座談為事件，則至少有一名女生參加座談的概率.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的性質及平均數(shù)求法，分層抽樣及各組人數(shù)的確定方法，列舉法求古典概型的概率，屬于基礎題.18、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）當時，可求出，當時，利用可求出是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故而可求出其通項公式；（2）由裂項相消可求出其前項和.試題解析：（1）依題意：當時，有：，又，故，由①當時，有②，①－②得：化簡得：，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）得：，∴∴19、（1）（2）【解析】

（1）求出A組學生的平均分可得B組學生的平均分，設被污損的分數(shù)為X，列方程得X，從而得到B組學生的分數(shù)，其中有3人分數(shù)超過86分，由此能求出B組學生中隨機挑選1人，其得分超過86分概率．（2）利用列舉法寫出在A、B兩組學生中隨機抽取1名同學，其分數(shù)組成的所有基本事件（m，n），利用古典概型求出|m﹣n|≥8的概率．【詳解】（1）A組學生的平均分為，所以B組學生的平均分為86分設被污損的分數(shù)為，則，解得所以B組學生的分數(shù)為91、93、83、88、75，其中有3人分數(shù)超過86分在B組學生中隨機挑選1人，其得分超過86分概率為.（2）A組學生的分數(shù)分別是94、80、86、88、77,B組學生的分數(shù)為91、93、83、88、75，在A、B兩組學生中隨機抽取1名同學，其分數(shù)組成的基本事件（m，n），有（94,91），（94,93），（94,83）,（94,88），（94,75），（80,91），（80,93），（80,83），（80,88），（80,75），（86,91），（86,93），（86,83），（86,88），（86,75），（88,91），（88,93），（88,83），（88,88），（88,75），（77,91），（77,93），（77,83），（77,88），（77,75），共25個隨機各抽取1名同學的分數(shù)滿足的基本事件有（94,83），（94，75），（80,91），（80,93），（80,88），（86,75），（88,75），（77,91），（77,93），（77,88），共10個∴的概率為.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法、莖葉圖等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．20、（1）見解析（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知得：面面；（II）分析可知，點滿足時，面BDR⊥面BDC．

理由如下先計算再求得，

，再證面面面．試題解析：（Ⅰ）由已知得：面面