河南省焦作市博愛縣某中學2024屆高三三模數(shù)學試題（含答案解析）

河南省焦作市博愛縣第一中學2024屆高三三模數(shù)學試題

學校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.若函數(shù)〃x）=log點（Y-依+a）（a>0）的值域為R.則的取值范圍是（）

A.B.(-℃,4)C.[4,+?)D.(4,+oo)

己知復數(shù)Z=cos：焉+isin[^,則（zfpT

2.

乙U乙J乙V/4J

A.2022-2023

3.函數(shù)="

)

A.a<b<c

C.c<a<bD.c<b<a

2sin整尤,一

4.己知函數(shù)〃尤）h若存在實數(shù)占,％2，項,%4（百<%2<W<%）滿足

|log2(x-l)|,x>^

/（藥）=/（%）=/（工3）=/（%）=加，則錯誤的是（）

A.x；+x：<8B.玉+兀2=—]C.x3x4-x3-x4=0D.0<m<2

22

5.已知橢圓C：二+1■=：!的左右焦點分別為耳，人,點/在直線/：x+y-4=0上運動,

則MR.ME2的最小值為（）

A.7B.9C.13D.15

6.已知函數(shù)/'（xb/sinox+cosaM/y〉。,/〉。）的最小正周期為兀，最大值為后，則函數(shù)

〃x）的圖象（）

A.關于直線對稱

4

B.關于點[-%。卜寸稱

TT

C.關于直線X=白對稱

O

D.關于點t，。]對稱

7.有一枚質地均勻點數(shù)為1到4的特制骰子，投擲時得到每種點數(shù)的概率均等，現(xiàn)在進行

三次獨立投擲，記X為得到最大點數(shù)與最小點數(shù)之差，則X的數(shù)學期望5（x）=（）

2115

A.BcD.

16-1-:~8

8.已知函數(shù)/（x）滿足〃x+8）=/（x）,/（x）+f（8-x）=0,當xe[0,4）時,

/（x）=lnfl+sin^xl則函數(shù)網(wǎng)力=〃3力-在（0,8）內的零點個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

二、多選題

9.已知定義在（0,+8）上的函數(shù)”X）在區(qū)間（0,4）上滿足“4-力=/（力，當xe（O,2]時,

f（x）=|log2^;當xe[4,M）時，/（同=—/+108—24.若直線y=a與函數(shù)的圖象有6

個不同的交點，各交點的橫坐標為％[=1,2,3,4,5,6）,且不<退<%<%<%，則下列

結論正確的是（）

A.x1x2=1B.（%,-4）（%4-4）=0

6

C.X5x66（24,25）D.A,/（X,.）6（0,18）

i=l

10.下列說法正確的是（）

A.設隨機變量X的均值為〃，。是不等于〃的常數(shù)，則X相對于〃的偏離程度小于X相

對于。的偏離程度（偏離程度用差的平方表示）

B.若一組數(shù)據(jù)占,多,,%的方差為0,則所有數(shù)據(jù)斗。=1,2,,"）都相同

C.用決定系數(shù)尺2比較兩個回歸模型的擬合效果時，代越小，殘差平方和越小，模型

擬合效果越好

D.在對兩個分類變量進行/獨立性檢驗時，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的

10倍，在相同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結論不會發(fā)生改變

11.已矢口函數(shù)/（x）=sin[x-：j+cos[x-g],則（）

A./卜-1^為偶函數(shù)

B.曲線y=的對稱中心為[也+"|,0）,左€2

C.仆）在區(qū)間，岑）上單調遞減

試卷第2頁，共4頁

D.〃尤)在區(qū)間手)上有一條對稱軸

三、填空題

12.在ASC中，AB=3AC,AD是-4的平分線，且AD=ZAC,則實數(shù)t的取值范圍___.

22

13.已知橢圓[+2=1(。>6>0)的左、右焦點分別為月、工，點尸為第一象限內橢圓上一

ab

點，△￡2鳥的內心為且/與尸/=30。，則橢圓的離心率為.

14.己知數(shù)列｛?！保氖醉棡?,a"+a“+]=2"+l(weN*),則/=.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，題32+1-1=1。832，且2。“=%+1+?！癬1("22).$3=4=9,

%=%4?

⑴求數(shù)列｛%｝和也,｝的通項公式;

⑵若c?=an+1-bn+l,求數(shù)列｛c.｝的前w項和T,.

16.已知三棱錐P-ABC中，側面PAC是邊長為2的正三角形，AC=2,BC=4,AB=2君,

PE=；PC,PF=FB,平面AEF與底面ABC的交線為直線/.

(1)若3CLPC,證明：PCLAF；

(2)若三棱錐P-ABC的體積為孚，。為交線/上的動點，若直線PQ與平面AEb的夾角為

a,求sina的取值范圍.

17.ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

(1)求證：B=2A-,

(2)若&ABC為銳角三角形，求sin(C-A)：sin2的取值范圍.

18.俗話說：“人配衣服，馬配鞍”.合理的穿搭會讓人舒適感十足,給人以賞心悅目的感覺.張

老師準備參加某大型活動，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩

次的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，貝U記5=1；若擲出的點數(shù)

之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲“，則記4=。；若。=1,則當

天穿深色，否則穿淺色.每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西

裝的可能性為而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為本.

(1)求出隨機變量4的分布列，并求出期望及方差；

(2)求張老師當天穿西裝的概率.

19.已知點4伍,％)(%W0)是拋物線=4y上的定點，點尸，。是C上的動點，直線

的斜率分別為勺,且左+&=。，直線/是曲線C在A點處的切線.

⑴若X。=2,求直線PQ的斜率；

(2)設△AP。的外接圓為E,試判斷直線/與圓E的位置關系，并說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】由對數(shù)函數(shù)圖象性質可得需滿足A=/一4〃20,可得。24,再利用對數(shù)函數(shù)單調

性以及運算法則可得結果.

【詳解】依題意可得尤,-依要取遍所有正數(shù)，

貝U需要求△=/一4。20，因為。>0,解得。24；

故〃a)=log^a>log?4=log也(忘)，=4.

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)題意結合復數(shù)運算可得了的方程尤2023T=。的根為I//?,…,Z2022,進而整理可

得(尤一Z)(X—Z2)…(無一Z2°22)=l+x+…+鏟22,?。?1即可得結果.

,,2”?兀2〃?冗

【詳解】設2=cos-----l-isin----,neN,n<2022,

1120232023

2023

2〃?兀,2〃?兀

則Z；°23cos----bisin=cos（2〃.兀）+isin二1,

20232023

由題意可得：z0=l,z?=z\neN\n<2022

2023

可得關于X的方程X-1=0的根為1,z,z2,…,Z2022,

故尸_1=(1)(一)(—)…(一。22),

2023_i

整理得(x-Z)(x-z2)…卜―2。22)=￡V^=1+計.-+/22,

gp(x-z)(x-z2)--(x-z2022)=l+x+-+x2022,

令x=l,可得(1一2)(1-22)-(1一22°22)=1+1+...+12期=2023,

且2022為偶數(shù)，所以(Z-])卜2-])L/-1)=2023.

故選：B.

3.B

【分析】由題意得/(x)是R上的偶函數(shù)，由復合函數(shù)單調性可知/(司=吉關于x在

(0,+8)上單調遞減，進一步比較對數(shù)、指數(shù)塞的大小即可求解.

答案第1頁，共16頁

【詳解】注意到"X）定義域為全體實數(shù)，且〃-尤）=（_:2+]="X）=占3,

所以“X）是R上的偶函數(shù)，

從而”0/出，。=小叫）川唯2），

因為y=/+l在（（）,+⑹上單調遞增，

所以”關于X在（0,+功上單調遞減,

11石-

而log2<log52

55一寸忑—一3一

所以Z?<a<c.

故選：B.

4.A

【分析】畫出/（X）的圖象，根據(jù)圖象可得加的取值范圍，再根據(jù)圖象的局部對稱性可得

X1+x2=且三匕-%-》4=°，故可判斷各項的正誤.

c.2兀155

2sin——X.---<x<—

544

【詳解】〃尤）=<-log2(x-l),—<x<2,

log2(x-l),x>2

故的圖象如圖所示,

考慮直線y=m與y=/(x)圖象的交點，

則無1+%=-2x：=—|,且-log2(%3T)Tog2(X4-1)=租，o<WZ<2,故BD正確.

由—log2(%3—])=bg2(*4—1)="?可得X_]=彳4_1即(演—1)(%4—1)=]，

整理得到x3x4-x3-x4=o,故C正確.

答案第2頁，共16頁

又考+X；=(工3+%4)~-2%3X4=(^3-^4)--2工3*4，

由="3+”4~2J*3*4可得尤3*4?4,但與豐匕，故>4,

故尤;+x：>16-8=8,故A錯誤.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：分段函數(shù)的零點問題，可先刻畫其圖象，根據(jù)圖象的性質可得各零點

的性質，結合基本不等式等考慮目標代數(shù)式的范圍等.

5.A

【分析】由橢圓方程確定耳，F(xiàn)?的坐標，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標表示求出ME的表

達式，結合二次函數(shù)性質，即可求得答案.

22

【詳解】由橢圓C：土+匕=1可得月(-1,0),工(1,0),

98

點M在直線/：x+y-4=0上運動，設M(x,-x+4),

貝！JMPLMPZ=(-1-X,X-4)?(1-X,X-4)=X2-1+(X-4)2

=2X2-8.X+15=2(X-2)2+7,

當x=2時，2(x-2>+7取到最小值7,即MR.MF?的最小值為7,

故選：A

6.C

【分析】先利用輔助角公式化一，再根據(jù)周期性求出。，根據(jù)最值求出，，再根據(jù)正弦函數(shù)

的對稱性逐一判斷即可.

【詳解】f[^x)-tsmcox+coscox-sjt2+1sin(<yx+^),其中tan°=L

因為函數(shù)的最小正周期為兀，

2兀

所以」=兀，解得0=2,

a)

因為函數(shù)的最大值為夜,

所以J尸+]=后,解得7=1(：=-1舍去),

所以/(x)=sin2x+cos2x=0sin〔2x+：]

因為/4=國1一舁一1,

答案第3頁，共16頁

所以函數(shù)圖象不關于直線X=-：對稱，也不關于點對稱，故AB錯誤；

因為了用=血嗚=應，

所以函數(shù)圖象關于直線x對稱，不關于點（$（）］對稱，故C正確，D錯誤.

故選：C.

7.D

【分析】由題意得X的所有可能取值為04,2,3,用古典概型算出相應的概率，進而即可求

解.

【詳解】X的所有可能取值為0』,2,3,記三次得到的數(shù)組成數(shù)組（。,4c）,

滿足X=0的數(shù)組有：

（1,1,1）,（2,2,2）,（3,3,3）,（4,4,4），共4個，

41

所以P（X=0）=下=而，

滿足X=1的數(shù)組有：

（1,1,2）,（1,2,1）,（2,1,1）,（2,2,3）,（2,3,2）,（3,2,2）,（3,3,4）,（3,4,3）,（4,3,3）,

（2,2,1）,（2,1,2）,（1,2,2）,（3,3,2）,（3,2,3）,（2,3,3）,（4,4,3）,（4,3,4）,（3,4,4）,共18個,

iso

所以尸5=1）=不=記，

滿足X=2的數(shù)組有：

（1,1,3）,（1,3,1）,（3,1,1）,（2,2,4）,（2,4,2）,（4,2,2）,

（3,3,1）,（3,1,3）,（1,3,3）,（4,4,2）,（4,2,4）,（2,4,4）,

（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,

（423）,（4,3,2）,（2,4,3）,（2,3,4）,（3,4,2）,（3,2,4）,共24個,

所以尸（X=2）=不會，

滿足X=3的數(shù)組有：

（1,2,4）,（1,3,4）,（1,4,4）,（1,4,1）,（1,4,2）,（1,4,3）,

（1,1,4）,（2,1,4）,（3,1,4）,（4,1,1）,（4,2,1）,（4,3,1）,

答案第4頁，共16頁

（4,1,2）,（4,1,3）,（4,1,4）,（2,4,1）,（3,4,1）,（4,4,1）,共18個,

18Q

所以P（X=3）=￥=至，

1oQQ15

所以X的數(shù)學期望磯XbOxG+lx^+Zx3+Sx^Mk.

Io32o32o

故選：D.

8.C

【分析】根據(jù)題意，判斷y=/（3x）的圖象關于點（4,0）對稱，利用導數(shù)判斷函數(shù)/⑴在[0,4）

上的單調性，在同一坐標系中作出y=/（3x）與y=/（"的圖象，得出交點個數(shù)，并結合對

稱性及/（12）=〃4）=?？傻媒?

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)/'（尤）的周期為8,圖象關于點（4,0）對稱，

又/[3（8-x）]+〃3司=〃8-3x）+〃3x）=-〃3x）+〃3x）=0,

所以函數(shù)y=〃3x）的圖象也關于點（4,0）對稱，

由xe[0,4）,，（x）=ln[l+sin：xj,

7171

—cos-X

f'（x）=---------,Q0<—x<7t,sin—x>0,

'/'.兀44

1+sin—x

4

令/'（x）>0,解得0Vx<2,令/'（x）<0,解得2Vx<4,

所以函數(shù)/（x）在[。,2）上單調遞增，在（2,4）上單調遞減，f（2）=ln2,f（0）=f（4）=0,

在同一個坐標系中，作出函數(shù)y=〃3x）與y=的圖象，如圖，

由圖可得，函數(shù)y=〃3x）與y=/（x）在（0,4）上有兩個交點，

因為函數(shù)y=〃3x）與y=圖象均關于點（4,0）對稱，

所以函數(shù),=〃3力與丁=/（"在（4,8）上有兩個交點，又〃12）=〃4）=0,

答案第5頁，共16頁

所以函數(shù)網(wǎng)X）=-“X）在（0,8）內的零點個數(shù)為5.

故選：C.

【點睛】思路點睛：本題考查函數(shù)的性質及函數(shù)零點個數(shù)問題，依據(jù)題意，可判斷函數(shù)

y=與y=/⑺圖象均關于點（4,0）對稱,利用導數(shù)判斷函數(shù)y=/⑺在（0,4）上的單

調性，并根據(jù)單調性，極值作出>=〃尤）與y=〃3x）在（0,4）上的圖象，根據(jù)圖象求得結果.

9.ACD

【分析】作出函數(shù)/（%）的圖象，可判斷。<玉結合對數(shù)函數(shù)性質即可判斷A；

結合圖象可知得2<%<3,3<X4<4,利用函數(shù)圖象的對稱性可判斷B；利用二次函數(shù)性質

6

可判斷C；利用圖象的對稱性可推出再+%+%+z+%+/=18,從而可得的表達

?=1

式，結合圖象可得參數(shù)的范圍，即可判斷D.

【詳解】由題意作出函數(shù)/'（x）的圖象如圖，

對于A,由題意結合圖象可知。<玉<1/<超<2,

因為|log2引=|隆2日，所以-logzX=現(xiàn)2尤2，BPlog2xlx2=0,

所以西尤2=1，A選項正確；

當xe（2,4）時，4-xe（O,2）,所以=〃4-x）=『og2（4-x）|.

又結合圖象得2<鼻<3,3<x4<4,所以log2（4-w）=-log2（4-X4）,

即log2（4-尤3）（4-叉）=。所以（七-4）（川一4）=1,B選項錯誤；

因為當xe[4,+oo）時，/（X）=-X2+10X-24,

所以當xe[4,6]時，的圖象關于直線x=5對稱，

所以三毛=*5—5）+25,

答案第6頁，共16頁

又三€(4,5),此時y=_(%-5)2+25在(4,5)上單調遞增，所以毛毛e(24,25),C選項正確；

因為天與乙，巧與￡關于直線尤=2對稱，所以Xi+Xz+W+Z=8.

又％與%關于直線x=5對稱，所以三+%=10,

66

所以X1+x2+x3+X4+X5+尤6=18,所以￡%/(占)=<7?￡%=18。.

i=lz=l

6

結合圖象可知所以W>〃xJe(0/8),D選項正確，

i=\

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：根據(jù)題意可作出函數(shù)的圖象，由此可判斷司,々,三，匕，不，%的范圍，結

合各選項，數(shù)形結合，即可求解.

10.AB

【分析】根據(jù)均值的性質，方差的公式及決定系數(shù)的含義可判斷A,B,C；根據(jù)獨立性檢

驗的含義可判斷D.

【詳解】對于A：由均值的性質可知E(X-a)2=E(X-〃)2+(a-〃)2,由于。是不等于〃的

常數(shù)，

故可得E(X-a)2>E(X-〃了，即X相對于〃的偏離程度小于X相對于。的偏離程度，A正

確；

對于B：根據(jù)方差公式s2=：[(芭-呼+伍-可，,.+(%-可],可知若一組數(shù)據(jù)

%,9”，x“的方差為0,則%=%==x“=x,B正確；

對于C：由決定系數(shù)的定義可知，C錯誤；

對于D：如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴大為原來的10倍，則/的值變?yōu)樵瓉淼?0倍，在相

同的檢驗標準下，再去判斷兩變量的關聯(lián)性時，結論可能發(fā)生改變，D錯誤，

故選：AB.

11.BD

【分析】根據(jù)題意利用三角恒等變換整理得了(x)=2sin[x-5],結合正弦函數(shù)的性質逐項

分析判斷.

【詳解】由題意可得：

答案第7頁，共16頁

對于選項A：=2sin（x-兀）=-2sinx,為奇函數(shù),故A錯誤;

TTTT

對于選項B：令=E，左wZ,解得x=E+1,左eZ,

所以曲線y=〃x）的對稱中心為1加+三,。］,keZ,故B選項正確;

對于選項C：因為/國=2$哇=1jfsin］=2,

即圖’即/⑺在［考］內不是單調遞減，故C錯誤；

對于選項D：因為則苫-卜（0,兀），

且丫=5m_￥在（0,兀）內有且僅有一條對稱軸尤="|,

所以/（X）在區(qū)間［會上有且僅有一條對稱軸，故D選項正確;

故選：BD.

【分析】在和ACD中，利用正弦定理可求得9=38；利用余弦定理可構造方程

3A

組，得到"7cos”，結合A的范圍和余弦函數(shù)的值域可求得才的取值范圍.

22

【詳解】

ZADB=7i-ZADC,sinZADB=sinZADC,

ABBDACCD

在△AB。和.：ACO中，由正弦定理得：sinZADB=.AsinZADC^-A，

sin—

22

ABsin—

______2_

BDsin/ADBAB

即5D=3CD；

~CDAC

ACsin一

_______2_

sinZA￡>C

設AC=1,則AB=3,AD=t，

答案第8頁，共16頁

A

在△ABD和AACD中，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2—2AB-AZ)cos—,

2

A

CD2=AC2+AD2-2ACADCOS-,

2

、、A

9C4=9+/2—6/cos—

2AA3A

即/9+/-6/cos——9+9/—18/cos—,—cos—

coA2222

CD2=l+/2-2fcos-

[2

)

Ae(O㈤，cost￡(o,i.

故答案為：m

133車-1

■11

【分析】結合內切圓得性質，并設|耳。|=閨閘=叫&N|=|耳。卜〃，結合余弦定理求出

n=A/5

,再借助離心率公式計算即可.

m=2+逐

【詳解】如圖由△耳尸鳥的內心為41,后）可知該內切圓的半徑為73,

設該內切圓與△平月的三邊的切點為MM。,所以|明=皿=聞|=右,

又/耳P/=30。，所以|PA/|=|PN|=3,尸居=60。,

設|耳。|T片M=〃Z,RN|=|瑞。|=”,

在△耳尸鳥中由余弦定理可得：cos60°=

2(m+3)(n+3)

化簡得：m+n+3=mw,

由△片尸鳥的內心為/（1,6）可知Q（l,0）,

在橢圓中易知國。|=|月。|,即%T=〃+L即機=〃+2,

m=n+2n=V5

聯(lián)立:，解得

m+n+3=mnm=2+小

2c_寓用m+n2+26375-1

所以橢圓的離心率為e=?

2a|PJF；|+|P7^|m+n+68+2611

故答案為：拽」

11

答案第9頁，共16頁

14.9

【分析】當力=1時，求出。2=1,由%+?+1=2"+l（weN*）可得%+a“+2=2〃+3（〃eN*）,

兩式相減可得%+2-%=2,所以｛%｝的偶數(shù)項是以電=1為首相，公差為2的等差數(shù)列，即

可得出答案.

【詳解】因為q=2,%+%+]=2〃+l（〃eN*）,

當〃=1時，4+%=3,解得：a2=l,

%+i+%+2=2〃+3（〃eN*），兩式相減可得：an+2-an=2,

所以｛4｝的偶數(shù)項是以%=1為首相，公差為2的等差數(shù)列,

所以4o=。2+15-1>2=1+8=9.

故答案為：9.

15.（1也=3"",a?=2/7-1

⑵，=〃3用

b

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算得；包=3,利用等比數(shù)列定義求通項公式，利用等差中項判斷

b“

數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，建立方程求出公差，從而可得僅“｝的通項；

（2）利用錯位相減法計算即可.

b

【詳解】（1）vlog3bn+i-1=log3bn,：.log3bn+1=log3（3&?）,則寸=3,所以也｝為等比數(shù)

列，

又4=9,得4=1,所以2=3片，

由2?！?。“+1+。,”1知｛。“｝是等差數(shù)列，且&=。“=27,$3=9,

答案第10頁，共16頁

J%+13d=27

得〃

[3q+3d=9i=1,d=2.an=2n-l.

（2）因為%=2〃-1,勿=3"~,所以c“=%+|也用=（2〃+1）3",

所以北=33+5?32+7?33+…+（2〃-1>3>1+（2〃+1）3”

則31=3.32+5.33+7.34+…+（2〃-1）-3"+（2〃+1）-3"+1

上面兩式作差得一21=3?+2?32+2?33+…+2?3"-（2〃+1）?3向

9（1-3"1）、

=9+2-(2〃+1)-3例=-2小3向，

~1^3-

7

+1

：.Tn=n-3"

16.(1)證明見解析

⑵［。；

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明PC，平面4所，由線面垂直的性質定理即可證

明結論；

(2)建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，設。(l,y,O),求出平面A肝的法向量，根據(jù)

空間角的向量求法，結合不等式知識，即可求得答案.

【詳解】(1)由題意：==E,F分別為棱尸C$8的中點，E尸〃8C,

BCLPC,:.EFLPC.

34C為等邊三角形，E為尸C中點，

:.PC±AE.

又EFi^^^^^，^，^(^平面凡^^,尸^平面鉆尸，

AFu平而AEF,PCLAF-,

(2)如圖，在底面ABC內過點A作BC的平行線即為平面AEF與底面ABC的交線/,

(因為所〃3C,則EF〃/',A為平面AEF與底面ABC的公共點，故/'為平面AEF與底

面ABC的交線/)

答案第11頁，共16頁

z.

由題意4c=2,BC=4,AB=27^,可得AC'+BC?=AS?,即AC13C,

故底面ABC的面積為S=；AC4C=4,

設底面ABC上的高為力,則土且=!夕/=、4//,于是/1=有，

333

注意到側面PAC是邊長為2的正三角形，取AC中點。，

連接尸￡),則尸。=班，從而尸。即為三棱錐尸-ABC的高，故平面ABC,

取AB中點M,連接。0,則D01AC,

于是，以點。為坐標原點.DA,9公DP所在直線分別為無軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標系，則A(1,O,O),P(O,O,K),C(-1,O,O),B(-1,4,O),

E-；，。，與，F(xiàn)_g，2,號,2(1,y,0),

k7\J

于是尸Q=(i,y,-6),AE=-*O，#J，所=(0,2,0),

設平面AEF的一個法向是為n=(%,%」)，

AEn=

EFn=0

2%=0

由線面所成角的定義可知sina=COS<PQ,Msin?e|0,-

+77^772l2

答案第12頁，共16頁

17.(1)證明見解析

⑵(-0,0)

【分析】(1)用正弦定理邊化角，再利用和差化積公式與誘導公式進行化簡，得

sin(B-A)=sinA,從而用等量關系即可得證；

(2)由(1)知，銳角三角形ABC中3=2A,利用角4民C關系求得角A的范圍，再把

式子sm(C-A)：sin'用角人的三角函數(shù)來表示并利用兩角和差的正弦公式進行化簡,進而

smA

用三角函數(shù)的取值范圍即可求解.

【詳解】(1)證明：由條件I—〃2=改,根據(jù)正弦定理可得sin?5-sin?A=sinAsinC,

1-cos2B1-cos2A...……「

--------------------------=smAsmC,BnPncos2A-cos2B=2smAsinC,

cos2A-cos2B=cos[(A+3)+(A--cos](A+3)-(A-0]

=—2sin(A+B)sin(A-5)=2sinAsinC,

又《ABC中sin(A+B)=sin(兀一C)=sinCwO,

進行化簡得sin(B-A)=sinA,

所以5—A=A,即5=2A或A=?i—A,即B=〃(舍去)，

所以6=2A.

(2)若ABC為銳角三角形，根據(jù)(1)B=2A,

.71__71

B=2A<—2A<—

2

則1，2/pt71.71

jr兀

C=n—A—B<—71-3OA4<—64

[2L2

I、三sin(C-A)-sinBsin(7i-A-B-A)-sinB_sin4A-sin2A

式^---------

sinAsinAsinA

_sin(3A+A)—sin(3A—A)

=2cos3A,

sinA

又易知函數(shù)在個內單調遞減,

[兀兀〃日兀A，y=cosxg,

由一<AA<一得一<3oA<一3

6424

(V2)

所以cos3Ac-,0,

e.rsin(C-A)-sinB,

因止匕一-——------二2cos3AG(-A/2,0).

答案第13頁，共16頁

io

18.(1)分布列見解析；￡(^)=-,。便)=司

【分析】(1)結合古典概型即可寫出分布列，進而可求期望與方差；

(2)結合條件概率即可求解.

【詳解】(1)將一枚骰子連續(xù)投擲兩次共有基本事件6x6=36種，

擲出的點數(shù)之和是3的倍數(shù)有：

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),12種;

則擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)有24種，

隨機變量4的取值為0，1，

尸心。)=:|,「

所以4的分布列為：

。。