2022-2023學年北京市高三年級下冊4月月考數(shù)學試卷含詳解

2022-2023學年北京清華附中高三4月月考

數(shù)學

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項.

1.已知集合加={劉》一1>°},集合N={X|X-220},則()

A.M=NB.N匚M

C.McN=0D.MeN=R

已知復數(shù)丑==則

2.2+i,x,yeR,x+y=()

1+i

A2B.3C.4D.5

3.下列函數(shù)值域為R的函數(shù)為（）

A.y=4xB.y=tanx

C.y=rD.y=-

X

4.已知數(shù)列｛七｝為等差數(shù)列，若。3+。4=12，。4一。2=4,則%=（）

A.15B.16C.17D.18

已知平面向量°=（2,-1）,b=[-A,x）,若8與（a+可共線，則實數(shù)%=（）

5.

A.-8B.8C.-2D.2

6.已知拋物線C：V=4x的焦點為口，點尸為。上一動點，線段尸尸的垂直平分線與x=—1交于點Q,則

()

A.\QF\>\PF\B.\QF\<\PF\

TT

C.ZPQF>D.△PQ/可以鈍角三角形

7.聲強級，是指聲強x（單位：W/m2）和定值a（單位：W/m2）比值的常用對數(shù)值再乘以10,即聲強級

Y

d（x）=101g—（單位：dB）.已知人與人交談時的聲強級約為45dB,一種火箭發(fā)射時的聲強和人與人交談時的

a

聲強的比值約為10%那么這種火箭發(fā)射的聲強級約為（）

A.135dBB.140dBC.145dBD.150dB

8.如圖，在正方體ABC。-451GA中，b為線段5G的中點，石為線段AG上的動點，下列四個結論中，正

確的是（

AEF平面ABCR

B.存在點E,使即1平面B51GC

C.存在點E，使ER〃AC

D.DB11EF

9.己知數(shù)列｛4｝為無窮項等比數(shù)列，S”為其前〃項和，“耳>0,且$2>0”是“V”eN*,總有5〃〉0”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不必要又不充分條件

10.在平面直角坐標系中，。為原點，已知4(1,0),8(—1,0),設動點C滿足/AC32、，動點尸滿足

PALPC,貝最大值為()

A.1B.8+]C.J2D.2

2

二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.

11.雙曲線色匕=1的離心率為2,則.

3m

12.在一ABC中，AC=2,NC=90°,N3=30。，貝”CA+CB卜；CAAB=.

13.已知(x+a)5的展開式為°5爐+04/+。3必+〃2必+B%+00,若P3-P4=15,則。=.

14.己知/(%)=8512%+1)在[0,何上的最大值為3，則實數(shù)比的最大值為.

|ln%|,^>0

15.已知函數(shù)/={1,有下列四個結論：①設函數(shù)7(%)的極大值點和極小值點分別為X1和

XH-----1~〃,尤<0

巧，則4-%=2；②若。=0,函數(shù)”力的極大值和極小值分別為M和冽，則M-〃z=2；③存在實數(shù)。，對

任意的實數(shù)b,函數(shù)y=/(%)-b都恰有兩個零點；④若方程/(%)=/?有4個實根，從小到大記為和9,七,期,

則石々=X3X4.全部正確命題的序號為.

三、解答題共6道小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.己知名仇c分別為.ABC內角A,5c的對邊，3b2=7ac,sinA=3sinC.

(1)求5的大?。?/p>

(2)若一ABC的面積為36，點。在邊上，滿足50=20。，求A。的長.

17.如圖，在三棱柱ABC-A4cl中，底面為等腰直角三角形，側面441cle_L底面ABC,。為AC中

(1)求證：BD±\D.

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角A-CR-3的余弦值.

條件①：AC,LBXC-條件②：A\=BXC.

18.某技術職能部門在東區(qū)、西區(qū)開展了技能測試，其中東區(qū)、西區(qū)的各年齡段參加測試的人數(shù)、技能成績的優(yōu)秀比

例如下：

東區(qū)西區(qū)

年齡段

參加測試人數(shù)優(yōu)秀比例參加測試人數(shù)優(yōu)秀比例

[20,25)6040%10048%

[25,30)7552%10061%

[30,35)9560%6065%

[35,40]12075%4080%

(1)該技術職能部門從年齡段在［20,25)的參加測試人員中隨機選擇1人，求此人技能優(yōu)秀的概率;

(2)在年齡段在［35,40］的參加測情人員中，從東區(qū)、西區(qū)各隨機抽取1人，技能優(yōu)秀人數(shù)記為X,求X的分布

列和數(shù)學期望石(X)；

(3)該技術職能部門從東區(qū)、西區(qū)參加測試的人員中各隨機抽取10人，記幾U分別為東區(qū)、西區(qū)所選出10人中

的技能優(yōu)秀人數(shù)，試比較數(shù)學期望￡(X),E(X)的大小(直接寫出結果即可).

v

e

19.己知函數(shù)/(x)=7——.

7x-a

(1)已知曲線y=/(%)在(L/(1))處的切線與x軸平行.

①求實數(shù)。的值；

②求函數(shù)“X)的單調區(qū)間；

(2)若/(%)在(0,1)上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍.

22

20.已知橢圓C:=+與=l(a〉6〉0)過點4(—2,—1),長軸長為4板.

a~b~

(1)求橢圓。的方程；

(2)直線/：y=Ax+m與橢圓交于點直線40,3分別交直線1=-4于點。,。，。為坐標原點.若

\OP\=\OQ\，求證：直線/經(jīng)過定點.

21.若無窮數(shù)列｛4｝的各項均為整數(shù).且對于Vi,jeN*,i<j,都存在k>j,使得ak=a,-%,則稱

數(shù)列｛4｝滿足性質P.

(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質尸，并說明理由.

①4=n,n=l,2,3,…；

@bn=n+2,〃=1,2,3,....

(2)若數(shù)列｛4｝滿足性質產，且4=1,求證：集合｛"刈%=3｝為無限集；

(3)若周期數(shù)列｛4｝滿足性質P,求數(shù)列｛4｝的通項公式.

2022-2023學年北京清華附中高三4月月考

數(shù)學

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項.

1.已知集合M=3xT>°},集合N={x|x-220},則（）

A.M=NB.N^M

C.McN=0D.MeN=R

【答案】B

【分析】先化簡集合利用集合間的關系和交集，并集的概念求解即可.

【詳解】由題意可得M={x|x>l},N={x\x>2],

所以N。/,MN={x\\<x<2},MVJN=M,

即ACD錯誤，B正確.

故選：B

2.已知復數(shù)讓”=2+i,x,yeR,則x+y=（）

1+i-

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】對復數(shù)a==2+i,x,yeR去分母，將化簡得到x+yi=l+3i,對應系數(shù)相等即可得到羽V的值，進而

1+1

求得x+y的值.

【詳解】^^=2+i

1+i

x+yi=（2+i）-（1+i）=l+3i

..x—1,—3

則x+y=1+3=4

故選：C.

3.下列函數(shù)值域為R的函數(shù)為（）

K.y=4xB.y=tanx

C.y^2xD.y=-

X

【答案】B

【分析】分別求出每個選項的值域即可求解.

【詳解】〉=?的值域為［0,+“），A錯誤；

y=tanx的值域為R,B正確；

y=2”的值域為（0,+“），C錯誤；

丫=：的值域為（—8,0）17（0,轉），D錯誤；

故選：B

4.已知數(shù)列｛6J為等差數(shù)列，若。3+。4=12,〃4一12=4,則。9=（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.

【詳解】因為數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，設公差為d,

%+&=2al+5d=12a=l

所以《解得1

—a?—2d--4d=2

所以。9=q+8d=17,

故選：C

I*r

5.已知平面向量￡=（2,-1）,b=（T,x）,若6與（a+b）共線，則實數(shù)％=（）

A.-8B.8C.-2D.2

【答案】D

【分析】利用向量加法和共線的坐標表示求解即可.

【詳解】由題意可得。+匕=（-2,—1+x）,

rr

因為l與（a+b）共線,

-4=2(-2)4=2

所以匕=彳（。+匕）,解得〈

x=2(-l+x)x=2

故選：D

6.已知拋物線C:V=4x的焦點為尸，點P為C上一動點，線段PF的垂直平分線與x=—1交于點Q,則

()

A.\QF\>\PF\B.\QF\<\PF\

71

C.ZPQF>-D.△PQb可以為鈍角三角形

【答案】A

【分析】利用拋物線的定義判斷AB,利用三角形”大邊對大角”判斷CD.

【詳解】因為拋物線C：V=4x,所以b（1,0）,準線為x=—1,

過P點向準線作垂線交準線于點M,

所以由拋物線的定義可得歸同=歸加|,

因為線段PF的垂直平分線與x=—1交于點Q,所以|。同=,

又因為|QP3？闿，所以|。尸以尸同，當且僅當軸時等號成立，所以A正確，B錯誤；

在LPQF中由|Q司21尸司可得ZQPF=?！?gt;ZPQF,解得ZPQF<^,C錯誤；

7T

因為/。尸尸+/。尸尸<兀，所以NQPF=NQFP<—,△PQb不可以是鈍角三角形，D錯誤；

2

故選：A

7.聲強級，是指聲強x（單位：W/m2）和定值a（單位：W/m2）比值的常用對數(shù)值再乘以10,即聲強級

</（%）=101g-（單位：dB）.已知人與人交談時的聲強級約為45dB,一種火箭發(fā)射時的聲強和人與人交談時的

a

聲強的比值約為104那么這種火箭發(fā)射的聲強級約為（）

A.135dBB.140dBC.145dBD.150dB

【答案】A

【分析】根據(jù)人與人交談時的聲強級約為45dB可得101g區(qū)=45,這種火箭發(fā)射的聲強約IO。。，代入題目中公

a

式結合對數(shù)運算處理.

【詳解】設人與人交談時的聲強約為%W/m2,則10坨血=45

a

火箭發(fā)射時的聲強約為1000w/m2,貝116/（10晨0）=103竺E=1019+lgE]=i35

故選：A.

8.如圖，在正方體A5C。-451GA中，廠為線段3G的中點，E為線段AG上的動點，下列四個結論中，正

確的是（）

A.EF平面\BCDX

B.存在點E,使EF工平面351GC

C.存在點E,使EF〃AC

D.DB11EF

【答案】D

【分析】當E與A重合時，EF平面4BCR=A，即可判斷A；設正方體的棱長為1,以點。為坐標原點，以

DA,DC,。，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設GE=2C]A（OWX41），可得EF坐標，由

=—可知E尸與5片不垂直，即可判斷B；若ER〃AC，則跖=左4。，列方程組求解可判斷

C；由?跖=0可判斷D.

【詳解】當E與4重合時，又尸星平面A2CQ,則所‘平面故A錯誤；

設正方體的棱長為1,以點。為坐標原點，以ZM,DC,所在直線分別為蒼％z軸建立空間直角坐標系，

則0（0,0,0）,B（1,1,O）,C（O,1,0）,A（1,0,1）,4（1,1,1）,q（O,i,I）,m

設GE=XGA（ow；iwi）,又GA=（L—1,0），，GE=（4—40），

DC.=(0,1,1),則DE=DG+C；E=(41—41),41)"=

2

???84=(0,0,1),麻?8耳=—；/0,E/與8及不垂直，而平面53]GC，則斯與平面不垂

直，故B錯誤；

1。,

---A=-k

2

4C=(-1,1,-1),若ER〃AC,則EF=kAC,貝卜4=左,此方程無解，故不存在點E，使

——=~k

[2

EF//\C,故C錯誤；

DB1=(1,1,1),ER=[萬―2",—萬)，DB}-EF=—1—2+2——1=0,DBXJ_EF,故D正確.

22

故選：D.

9.已知數(shù)列｛4,｝為無窮項等比數(shù)列，s,為其前〃項的和，“岳>0,且$2>0”是“V〃wN*,總有5">0”的

)

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不必要又不充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若S]>0,且邑>0,

則<2]>0,?1+%q>0,q/0,

所以4>-1,由s="i(j),

當一l<q<0或0<q<l時，l-q>0,\-qn>0,

所以S〃>0；

當q=1時，wN*,總有S">0;

當4>1時，1—q<0,1—q"<0,即S“〉0.

綜上，">0恒成立，故充分性成立；

若“\/〃wN*,總有5“>0”，則百>0且$2〉0,

故必要性成立.

故選：c

10.在平面直角坐標系中，。為原點，已知4(1,0),8(-1,0),設動點C滿足/AC32、，動點p滿足

PALPC,則|OP\的最大值為()

A.1B.百+1C.J2D.2

2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得點。在圓/+丁2=1內部和圓周上，點尸的軌跡是以AC的直徑的圓，延長AC交圓

必+,2=1于點設AC的中點為AZ)的中點為N,貝U|M4|=|網(wǎng)易得|AM|w|4V|,再結

合平面圖形的性質和基本不等式即可得出答案.

【詳解】因為4(1,0),8(—1,0),設動點C滿足/AC32、，

所以點。在圓d+/=1內部和圓周上，

因為動點尸滿足24,PC,

所以點P的軌跡是以AC的直徑的圓，

如圖，延長AC交圓/+/=1于點。，設AC的中點為M,AD的中點為N,

^\\M^=\MF\,ONLAD,

若點C在圓上時，”,N兩點重合，C,￡>兩點重合，

若點C在圓內時，貝U|AM|<|4V],

所以閆AN|,當且僅當點C在圓上時，取等號，

^]\OP\<\OM\+\MP\^\OM\+\AM\,當且僅當QMP三點共線時，取等號，

因為QM+|AM|W|QV|+|ACV|+|AM|=|QV|+|ATV|,當且僅當此N重合時，取等號，

因為ONJ_AD,所以|。甘+|期「=|。刈2=1,

所以|ON|+|?v|w,2(|0甘+|AN「)=也,

當且僅當|ON|=|AN|=半時，取等號，此時ODLQ4,

所以|OP|wJ5,當且僅當。三點共線且點C在圓好+;/=1與y軸的交點處時，取等號，

所以的最大值為血.

【點睛】本題考查了圓的軌跡問題及動圓上的點到定點的距離的最值問題，考查了轉化思想，難度較大.

二、填空題共5道小題，每小題5分，共25分.

22

11.雙曲線r上=1的離心率為2,則加=.

3m

【答案】9

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率公式計算即可.

22

【詳解】因為雙曲線^--上=1的離心率為2,

3m

所以Jl+g=2,解得m=9.

故答案為：9.

12.在一ABC中，AC=2,NC=90°,N3=30°,貝=；CAAB=.

【答案】①.4②.-4

【分析】根據(jù)題意求出A5BC,再根據(jù)|CA+=J(CA+CB『即可求出|C4+C@,根據(jù)數(shù)量積的定義即可求

得C4-AB.

【詳解】在中，4。=2,/。=9。。,/3=30。，

則ZA=60°,AB=4,BC=20,

貝”CA+CB|=^(CA+CB)2=y]cA+CB+2CACB=J4+12=4，

CAAB=-ACAB=-2x4x-=-4.

2

故答案為：4；-4.

13.已知(x+a)5的展開式為夕5兀5+04—++°2必+P]X+外,若P3-=15,則4=.

【答案】士3或-1

2

【分析】利用二項式定理求解即可.

【詳解】(尤+。)5展開式的通項公式為(+I=C#5T",r=0,1,2,3,4,5,

令丁=2,則(=—10〃2%3,即P3=10a2,

l4l4

令r=1,則與=C5xa=5ax,即=5〃，

3

由題意可得10/—5〃=i5，即2/一"一3=0，解得〃=一或。=—1,

2

,3

故答案為：大或-1

2

14.己知/(x)=cos12x+|■]在[0,何上的最大值為3，則實數(shù)加的最大值為.

2冗9

【答案】—##-K

33

【分析】由得+p2m+1,再根據(jù)余弦函數(shù)的性質列出不等式，即可得解.

【詳解】由xw[0,m得2x+]ey,2m+-|,

因為/(x)=cos[2x+在[0,加I上的最大值為g,

所以三<2m+4<2,解得o(機<0,

3333

所以實數(shù)加的最大值為幺.

3

故答案為：—--

3

|ln^l,x>0

15.已知函數(shù)y(x)=<1,有下列四個結論：①設函數(shù)/(%)的極大值點和極小值點分別為為和

XH---0

X

巧，則馬-%=2；②若。=0,函數(shù)八％)的極大值和極小值分別為M和加，則〃z=2；③存在實數(shù)。，對

任意的實數(shù)6,函數(shù)y=/(x)-b都恰有兩個零點；④若方程/("=6有4個實根，從小到大記為為々/3，》4,

則占々=%3%4.全部正確命題的序號為.

【答案】①③④

【分析】作出函數(shù)/(%)的圖象，利用極值點的定義判斷①②，利用函數(shù)y=/(x)和y=b的交點個數(shù)判斷③，利

用占,當是方程x+」+a=人的解，%3，％4是方程|lnx|=/?的解判斷④.

【詳解】根據(jù)題意作了(%)圖象如圖所示,

根據(jù)極值點的定義及對數(shù)函數(shù)和對勾函數(shù)的圖象和性質可得，

當x=l時，"％)取得極小值"1)=0；當x=—1時“X)取得極大值/(—1)=一2+a,

所以%—西=2,當。=0時，M-m=-2,故①正確，②錯誤；

函數(shù)y=/(x)—6都恰有兩個零點，即函數(shù)y=/(%)和y=b的圖象有兩個交點，

若方程/(x)=Z?有4個實根，從小到大記為石,乙,馬,乙，

則％［，尤2是方程XH-----a=b,即+(a—Z?)x+1=0的解，由韋達定理得西4=1，

X

了3，匕是方程=/?的解，所以|111七|=|lnx/，即一111X3=111X4,所以Inx,+111%=0，解得

砧=1，

所以%逮2=退%4，④正確；

故答案為：①③④

三、解答題共6道小題，共85分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知a,dc分別為_ABC內角A,5c的對邊，3Z?2=7?c,sinA=3sinC.

(1)求8的大小；

(2)若ABC的面積為36，點D在邊BC上,滿足30=20。，求AD的長.

【答案】（1）I

⑵2出

【分析】（1）由3〃=7ac,sinA=3sinC,禾U用正弦定理得到a=3c,6=,再利用余弦定理求解；

（2）由5￡>=2OC,得到80=2°,。。=。，再根據(jù)ABC的面積為36，求得c,然后利用余弦定理求解.

【小問1詳解】

解:因為%2=7ac,sinA=3sinC,

所以a=3c,b=Jjc，

〃242_右21

由余弦定理的2cosB=--------------=—，

2ac2

因為Be（0,7i）

71

所以B=——,

3

【小問2詳解】

因為=2OC,

所以BD=2c,DC=c,

由題意得SABC=gc，3c,sin60=3A/3,

所以°2=4，

由余弦定理A￡>2=（2C）2+C2-2X2CXCXCOS60=3c2=12,

所以4￡>=26.

17.如圖，在三棱柱ABC-A與G中，底面，RC為等腰直角三角形，側面44。。，底面"CO為AC中

點，AB=BC=42,AAl=75.

（1）求證：BD1A（D；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角A-eq-3的余弦值.

條件①：AC,條件②：M=BXC.

【答案】(1)證明見解析

⑵-

3

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質可得50工平面A&GC，再根據(jù)線面垂直的性質即可得證；

(2)選①，取AC的中點E，連接4E,CE,證明再以點。為原點，建立空間直角坐標系，利用向

量法求解即可.

選②，取AG的中點E，連接3jE,CE,DE,利用勾股定理證明A。，4。，再以點。為原點，建立空間直角坐

標系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

因為45=8。，。為AC中點，

所以BDJLAC,

又因為面AA]GC，面ABC，面A&GC面A3C=AC,NDu面ABC,

所以50工平面A&C。，

又4。＜=平面A41clC,所以3。，4。；

【小問2詳解】

選①，取AG的中點E,連接用E,CE,

則4E//DC且4E=DC,

所以四邊形ADCE為平行四邊形，所以AD//CE,

因為4用=用￡,E為4G的中點，

所以AG，用E,

又】

AULB[C,B]CcB]E=Bi，BXC,BEu平面CB{E,

所以4G，平面CB|E,

又AC//AC],所以ACJ_平面CB|E,

又CEu平面C4E,所以47，

因為AD//CE,所以AC，4。，

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標系，

由"=3。=血,用=石，得AC=2，AO=2,

則。(0,0,0),3(0』,o),c(—L0,0),G(—2,0,2),

則C3=(l,l,0),CG=(-1,0,2),

因為5￡＞工平面A&GC，

所以。3=(0,1,0)即為平面441cle的一條法向量，

設平面BCG法向量為〃=(x,y,z),

nCB=x+y=0

則有《,可取〃=（2,—2,1）,

n-CCx=-x+2z=0

由圖可知，二面角A—CG—5為銳二面角,

2

所以二面角A-CQ-B的余弦值為I.

y/

選②，取的中點石，連接B】E,CE,DE,

則AE//。。且4E=DC,

所以四邊形A.DCE為平行四邊形，所以4。//CE且AQ=CE,

因為GEIIDC且GE=DC,

所以四邊形A,DCE為平行四邊形，所以BD//B]E且BD=B]E,

又因為所以與E,

又A4,=4C=石，BD=BW=1,

所以CE=2,則AD=CE=2,

在△ADA1中，因為=4人2,

所以

如圖，以點。為原點，建立空間直角坐標系,

下同選①的答案.

18.某技術職能部門在東區(qū)、西區(qū)開展了技能測試，其中東區(qū)、西區(qū)的各年齡段參加測試的人數(shù)、技能成績的優(yōu)秀比

例如下：

東區(qū)西區(qū)

年齡段

參加測試人數(shù)優(yōu)秀比例參加測試人數(shù)優(yōu)秀比例

[20,25)6040%10048%

[25,30)7552%10061%

[30,35)9560%6065%

[35,40]12075%4080%

(1)該技術職能部門從年齡段在［20,25)的參加測試人員中隨機選擇1人，求此人技能優(yōu)秀的概率；

(2)在年齡段在［35,40］的參加測情人員中，從東區(qū)、西區(qū)各隨機抽取1人，技能優(yōu)秀人數(shù)記為X,求X的分布

列和數(shù)學期望E(X)；

(3)該技術職能部門從東區(qū)、西區(qū)參加測試的人員中各隨機抽取10人，記幾天分別為東區(qū)、西區(qū)所選出10人中

的技能優(yōu)秀人數(shù)，試比較數(shù)學期望￡(乂),￡。0的大小(直接寫出結果即可).

9

【答案】(1)—

（2）分布列見解析，石（X）=1.55

（3）E（止石化）

【分析】（1）分別求出該技術職能部門年齡段在［20,25）的總人數(shù)和優(yōu)秀人數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解；

（2）寫出隨機變量X的所有可能取值，求出對應概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可；

（3）分別求出兩個區(qū)的優(yōu)秀率，根據(jù)題意可得隨機變量幾乂都服從二項分布，再根據(jù)二項分布的期望公式即可得

出結論.

【小問1詳解】

該技術職能部門年齡段在［20,25）的人數(shù)為60+100=160人，

其中優(yōu)秀的人數(shù)為60x40%+100x48%=72人，

729

則所求概率為——=一；

16020

【小問2詳解】

年齡段在［35,40］東區(qū)有120人，優(yōu)秀人數(shù)為120x75%=90人，

90

則隨機抽取一人，為優(yōu)秀的概率為二=0.75,

120

年齡段在［35,40］西區(qū)有40人，優(yōu)秀人數(shù)為40x80%=32人，

32

則隨機抽取一人，為優(yōu)秀的概率為二=0.8,

40

隨機變量X可取0』,2,

貝Up(x=o)=(1-0.75)X(1-0.8)=0.05,

p(X=1)=(1-0.75)x0.8+0.75x(1-0.8)=0.35,

p(X=2)=0.75x0.8=0.6,

故分布列為

X012

P0.050.350.6

E(X)=0x0.05+1x0.35+2x0.6=1.55；

【小問3詳解】

東區(qū)總人數(shù)為60+75+95+120=350,

其中優(yōu)秀人數(shù)為60x40%+75x52%+95x60%+120x75%=210,

則東區(qū)的優(yōu)秀率為生=60%,

350

西區(qū)總人數(shù)為100+100+60+40=300,

其中優(yōu)秀人數(shù)為100x48%+100x61%+60x65%+40x80%=180,

1QQ

則西區(qū)的優(yōu)秀率為—=60%,

300

該技術職能部門從東區(qū)、西區(qū)參加測試的人員中各隨機抽取10人,

則乂6（10,0.6）,耳5（10,0.6）,

所以E（X）=10x0.6=6,石（10=10x0.6=6,

所以E(X)=E(B).

e

19.已知函數(shù)/(x)=7——.

Tx-a

(1)已知曲線y=/(x)在(L/(1))處的切線與x軸平行.

①求實數(shù)"的值；

②求函數(shù)八％)的單調區(qū)間；

(2)若/(%)在(0,1)上單調遞減，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)①a=g；②單調遞減區(qū)間為〔0,單調遞增區(qū)間為(L+8).

(2)ci>—

2

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求。的值即可；②利用導函數(shù)的正負求解單調區(qū)間即可;

(2)/(%)在(0,1)上單調遞減，則r(x)WO在區(qū)間(0,1)上恒成立，利用一元二次函數(shù)的圖象和性質求解即可.

【小問1詳解】

①由題意可得r(%)=%>。且X。/,

因為曲線y=f(x)在(1,7(1))處的切線與X軸平行,

，/、e（2-2a-l）i

所以/（1）=±—1=°，解得。=—?

2[l-a）2

令2%—Vx-1=0解得y[x=1，即x=1,

所以當x￡(0,l)時，2%—五一1<0，當入￡(1,收)時，2%—五一1>0,

所以當時，尸(x)<0,/(%)單調遞減，

當xe(l,+8)時，制x)>0,/⑺單調遞增,

所以了(%)的單調遞減區(qū)間為單調遞增區(qū)間為(L+8).

【小問2詳解】

因為/(%)在(0,1)上單調遞減，所以2x-2a6-1W0在(0,1)上恒成立,

令g(x)=2x—2a6-1,貝1J,；；；)；；，解得

22

20.已知橢圓C:=+二=l(a〉6〉0)過點4(—2,—1),長軸長為40.

ab

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線/:丁=履+加與橢圓交于點M,N,直線AM,AN分別交直線x=Y于點尸,。，。為坐標原點.若

3=3,求證：直線/經(jīng)過定點.

22

【答案】（1）—+^=1;

82

(2)證明見解析.

2a=472

分析】(1)解方程組41即得解;

[—ar+—br=1

(2)設m)，N(z，%),聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達定理，再求出點RQ的坐標，根據(jù)已知得到

一2":1)-1+-2(%；D-1=0,再把韋達定理代入化簡即得證.

%+2%+2

【小問1詳解】

2a=40

由題得<41,:.a=2直,b=4^,

-T+F=1

ab“

22

所以橢圓。的方程為三+^=1.

82

【小問2詳解】

直線/:丁=米+加與橢圓方程工+匯=1聯(lián)立,

82

22

化簡得(4左2+1)%+8kmx+4m-8=0,

=128左2-16m2+32>0，即8左？一??+2>0.

—8km4m2—8

設"(%],乂)，NO-%),則%+%=

4V+1

直線M4的方程為y+1=(x+2),則尸(-4,一2")-1),

%+2%+2

直線N4的方程為y+l=四三(尤+2),則。(-4,-2(%：1)一1),

/+2x2+2

因為所以言等T+子$T=°

kx1+m+1kx2+m+l

所以

%+2X2+2

所以(2k+1)X]?x2+(2k+m+3)(%+x2)+4m+8=0,

把韋達定理代入整理得(m-2k+l)(m-4k)=0,r.zn=2左一1或機=4%,

當m=2%—1時，直線方程為y=fcr+2k—1,r.,+1=左(尤+2),過定點(―2,—1),即點A,不符合題意，所以舍

去.

當加=4左時，直線方程為y=Ax+4左,.?.y=k(x+4),過定點(—4,0).

所以直線/經(jīng)過定點.

21.若無窮數(shù)列｛%｝的各項均為整數(shù).且對于Vi,jeN*,i<j,都存在左>/,使得%=4%—%—%,則稱

數(shù)列｛4｝滿足性質P.

(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質尸，并說明理由.

①。〃=〃，n=l,2,3,...；

②b〃=n+2,n=l,2,3,.

(2)若數(shù)列｛4｝滿足性質P,且4=1,求證：集合｛〃cN*|?！?3｝為無限集；

(3)若周期數(shù)列｛%｝滿足性質P,求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【答案】(1)數(shù)列｛?！埃粷M足性質P；數(shù)列｛2｝滿足性質P,理由見解析

(2)證明見解析(3)。“=0或4=3.

【分析】(1)根據(jù)題意分析判斷；

(2)根據(jù)題意先證3為數(shù)列｛4｝中的項，再利用反證法證明集合｛“eN*|4=3｝為無限集;

(3)先根據(jù)題意證明％e｛0,2,3｝,再分｛4｝為常數(shù)列和非常數(shù)列兩種情況，分析判斷.

【小問1詳解】

對①，取，=1，對V/eN*,/〉l,則q=q=L%=),

可得aia)~ai~aj=J-1—/=-1,

顯然不存在左〉，左eN*,使得久=—1,

所以數(shù)列｛4｝不滿足性質P；

對②，對