2023-2024學(xué)年上海市新川中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年上海市新川中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．已知向量，，如果向量與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，若，則（）A．-21 B．-15 C．-12 D．-174．若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為()A．4 B．8 C．16 D．325．圓心為的圓與圓相外切，則圓的方程為（）A． B．C． D．6．函數(shù)f（x）=log3（2﹣x）的定義域是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]7．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的斜率為（）A． B． C． D．8．圓與圓的位置關(guān)系是()A．相切 B．內(nèi)含 C．相離 D．相交9．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心10．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.12．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列通項(xiàng)___________13．設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則________.14．已知函數(shù)，若，則__________．15．已知向量（1，2），（x，4），且∥，則_____．16．已知，則____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的公比，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意正整數(shù)不等式恒成立，求的取值范圍.18．2015年我國將加快階梯水價推行，原則是“?；尽⒔C(jī)制、促節(jié)約”，其中“?；尽笔侵副ＷC至少80%的居民用戶用水價格不變．為響應(yīng)國家政策，制定合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機(jī)抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進(jìn)行調(diào)研，抽取的數(shù)據(jù)的莖葉圖如下（單位：噸）：（1）在郊區(qū)的這5戶居民中隨機(jī)抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；（2）設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為，現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價格保持不變．試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，分析此方案是否符合國家“保基本”政策．19．四棱柱中，底面為正方形，,為中點(diǎn)，且．（1）證明；（2）求點(diǎn)到平面的距離．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線，設(shè)圓的半徑為1，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.21．在平面立角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的圓的圓心在軸上，且與過原點(diǎn)傾斜角為的直線相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)分別為、，求經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求出異面直線AE與BF所成角的余弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點(diǎn)，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F(xiàn)（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），設(shè)異面直線AE與BF所成角的平面角為θ，則cosθ＝＝＝,∴異面直線AE與BF所成角的余弦值為．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出和，利用平行關(guān)系得到方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示問題，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得：，故選A.4、B【解析】

由可以得到，利用基本不等式可求最小值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為8，故選B.【點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式求最值時，需遵循“一正二定三相等”，如果原代數(shù)式中沒有積為定值或和為定值，則需要對給定的代數(shù)變形以產(chǎn)生和為定值或積為定值的局部結(jié)構(gòu).求最值時要關(guān)注取等條件的驗(yàn)證.5、A【解析】

求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩圓相外切關(guān)系，可以求出圓的半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后化為一般式方程.【詳解】設(shè)的圓心為A，半徑為r，圓C的半徑為R,，所以圓心A坐標(biāo)為，半徑r為3，圓心距為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以有,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的相外切的性質(zhì)，考查了已知圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、C【解析】試題分析：利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．解：函數(shù)f（x）=log3（1﹣x）的定義域滿足：1﹣x＞0，解得x＜1．∴函數(shù)f（x）=log3（1﹣x）的定義域是（﹣∞，1）．故選C．考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的定義域．7、A【解析】

直接代入兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得出答案?！驹斀狻抗蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題。8、D【解析】

寫出兩圓的圓心，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得兩圓心的距離，發(fā)現(xiàn)，所以兩圓相交。比較三者之間大小判斷位置關(guān)系。【詳解】兩圓的圓心分別為：，，半徑分別為：，，兩圓心距為：，所以，兩圓相交，選D?！军c(diǎn)睛】通過比較圓心距和半徑和與半徑差直接的關(guān)系判斷，即比較三者之間大小。9、C【解析】

根據(jù)向量關(guān)系，，所在直線經(jīng)過中點(diǎn)，由得，即可得解.【詳解】由題：，所以O(shè)是外接圓的圓心，取中點(diǎn)，，，即所在直線經(jīng)過中點(diǎn)，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點(diǎn)，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查利用向量關(guān)系判別三角形的外心，重心和垂心，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確進(jìn)行向量的運(yùn)算，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果得結(jié)論.10、B【解析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意得出，利用累加法可求出.【詳解】數(shù)列滿足，，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，解題時要注意累加法對數(shù)列遞推公式的要求，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、【解析】分析：在已知遞推式兩邊同除以，可得新數(shù)列是等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，再得．詳解：∵，∴兩邊除以得，，即，∵，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，∴，∴．故答案為．點(diǎn)睛：在求數(shù)列公式中，除直接應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式外，還有一種常用方法：對遞推式化簡變形，可構(gòu)造出新數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再由等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求出結(jié)論．這是一種轉(zhuǎn)化與化歸思想，必須掌握．13、54.【解析】

設(shè)首項(xiàng)為，公差為，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程組，解方程求解即可.【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，公差為,由題意，可得解得所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解方程的思想，屬于中檔題.14、【解析】

由三角函數(shù)的輔助角公式化簡，關(guān)鍵需得出輔助角的正切值，再由函數(shù)的最大值求解.【詳解】由三角函數(shù)的輔助公式得（其中），因?yàn)樗?，所以，所以，，所以，故填：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題.15、．【解析】

根據(jù)求得，從而可得，再求得的坐標(biāo)，利用向量模的公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，則，解得，所以，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行關(guān)系的應(yīng)用，以及向量的減法和向量的模的計(jì)算，其中解答中熟記向量的平行關(guān)系，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由于，則，然后將代入中，化簡即可得結(jié)果.【詳解】，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）由，，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解得，，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)錯位相減法求出，代入不等式得對任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，對分奇偶討論，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)椋?，，兩式相減得，，所以.所以對任意正整數(shù)恒成立.設(shè)，易知單調(diào)遞增.當(dāng)為奇數(shù)時，的最小值為，所以，解得；當(dāng)為偶數(shù)時，的最小值為，所以.綜上，，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯位相減法求和，考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了不等式恒成立，屬于中檔題.18、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列舉出從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量構(gòu)成的所有基本事件，再列舉其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件，最后計(jì)算即可．（2）設(shè)該城市郊區(qū)的居民用戶數(shù)為，則其城區(qū)的居民用戶數(shù)為5a．依題意計(jì)算該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率．【詳解】解：（1）從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量構(gòu)成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10個．其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3個．設(shè)“從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量都不超過30噸”的事件為，則所求的概率為．（2）設(shè)該城市郊區(qū)的居民用戶數(shù)為，則其城區(qū)的居民用戶數(shù)為5a．依題意，該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率為：．故此方案符合國家“?；尽闭撸军c(diǎn)睛】本題考查了古典概型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，要緊扣題意從題目中抽象出數(shù)學(xué)計(jì)算的模型．19、（1）見解析;(2)．【解析】試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直性質(zhì)定理，即利用線面垂直進(jìn)行證明，而證明線面垂直，則利用線面垂直判定定理，即從已知的線線垂直出發(fā)給予證明，本題利用平幾知識，如等邊三角形性質(zhì)、正方形性質(zhì)得線線垂直，（2）求點(diǎn)到直線距離，一般方法利用等體積法轉(zhuǎn)化為求高.試題解析：（1）等邊中,為中點(diǎn),又,且在正方形中，(2)中，,由(1)知,等體積法可得點(diǎn)到平面的距離為．20、（1）或；（2）.【解析】

（1）兩直線方程聯(lián)立可解得圓心坐標(biāo)，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進(jìn)而得切線方程；（2）根據(jù)圓的圓心在直線：上可設(shè)圓的方程為，由，可得的軌跡方程為，若圓上存在點(diǎn)，使，只需兩圓有公共點(diǎn)即可.【詳解】（1）由得圓心，∵圓的半徑為1，∴圓的方程為：，顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即．∴，∴，∴或．∴所求圓的切線方程為或．（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，則圓的方程為．又∵，∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．所以點(diǎn)應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點(diǎn)，∴，由，得，由，得．綜上所述，的取值范圍為．考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及切線的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點(diǎn)較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.本題（2）巧妙地將圓上存在點(diǎn)，使問題轉(zhuǎn)化為，兩圓有公共點(diǎn)問題是解決問題的關(guān)鍵所在.21、（1）（2）經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為、【解析】

(1)先算出直線方程，根據(jù)相切和過點(diǎn)，圓心在軸上聯(lián)立方程解得答案.(2)取線段的中點(diǎn)，