福建省師范大學附中2023-2024學年高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題含解析

福建省師范大學附中2023-2024學年高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-12．給出下列四個命題：①若“且”為假命題，則﹑均為假命題；②三角形的內角是第一象限角或第二象限角；③若命題，，則命題，；④設集合，，則“”是“”的必要條件；其中正確命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．3．已知空間兩不同直線、，兩不同平面，，下列命題正確的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若不垂直于，且，則不垂直于4．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．45．已知角的終邊與單位圓交于點，則等于（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則下列結論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④7．已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則要得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度8．設全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．9．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．110．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位12．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，，則________.14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．15．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．16．已知集合，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點，與交于點，，都垂直于平面，且，，是線段上一動點.（1）當平面，求的值；（2）當是中點時，求四面體的體積.18．（12分）某社區(qū)服務中心計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶5元，售價每瓶7元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：攝氏度℃）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為500瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為（單位：瓶）時，的數(shù)學期望的取值范圍？19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，判斷在上的單調性并加以證明；（2）若，，求的取值范圍.20．（12分）的內角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，點為邊的中點，且，求的面積.21．（12分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.22．（10分）2019年12月以來，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關疾病監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計確診人數(shù)隨時間變化的散點圖.為了預測在未釆取強力措施下，后期的累計確診人數(shù)，建立了累計確診人數(shù)y與時間變量t的兩個回歸模型，根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為累計確診人數(shù)y與時間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據(jù)（1）的判斷結果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結果回答下列問題：時間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計確診人數(shù)的真實數(shù)據(jù)19752744451559747111（?。┊?月25日至1月27日這3天的誤差（模型預測數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)差值的絕對值與真實數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1則認為模型可靠，請判斷（2）的回歸方程是否可靠？（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的強力領導下，全國人民共同采取了強力的預防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實數(shù)據(jù)明顯低于預測數(shù)據(jù)，則認為防護措施有效，請判斷預防措施是否有效？附：對于一組數(shù)據(jù)（，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：其中，.5.539019385764031525154700100150225338507

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點：數(shù)列的通項公式．2、B【解析】

①利用真假表來判斷，②考慮內角為，③利用特稱命題的否定是全稱命題判斷，④利用集合間的包含關系判斷.【詳解】若“且”為假命題，則﹑中至少有一個是假命題，故①錯誤；當內角為時，不是象限角，故②錯誤；由特稱命題的否定是全稱命題知③正確；因為，所以，所以“”是“”的必要條件，故④正確.故選：B.【點睛】本題考查命題真假的問題，涉及到“且”命題、特稱命題的否定、象限角、必要條件等知識，是一道基礎題.3、C【解析】因答案A中的直線可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線也成立，故不正確；答案C中的直線可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面互相垂直，是正確的；答案D中直線也有可能垂直于直線，故不正確．應選答案C．4、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設，則，易知當直線經(jīng)過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．5、B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角公式可求.【詳解】解：角的終邊與單位圓交于點，，故選：B【點睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式，是基礎題.6、D【解析】

因為，所以①不正確；因為，所以，，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當時，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，④正確．故選D．7、C【解析】

依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得；【詳解】解：由已知得，是的一條對稱軸，且使取得最值，則，，，，故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎題.8、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.9、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.10、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎題．11、A【解析】依題意有的周期為.而，故應左移.12、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域為，恒成立，排除，，當時，，當，，排除，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用集合的補集運算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點睛】本題考查了集合的補集運算，需理解補集的概念，屬于基礎題.14、【解析】

函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合思想進行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個零點，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想.15、【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結合的方式可求得結果.16、1【解析】

分別代入集合中的元素，求出值，再結合集合中元素的互異性進行取舍可解.【詳解】依題意，分別令，，，由集合的互異性，解得，則.故答案為：【點睛】本題考查集合元素的特性：確定性、互異性、無序性．確定集合中元素，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）【解析】

（1）利用線面垂直的性質得出，進而得出，利用相似三角形的性質，得出，從而得出的值；（2）利用線面垂直的判定定理得出平面，進而得出四面體的體積，計算出，，即可得出四面體的體積.【詳解】（1）因為平面，平面，所以又因為，都垂直于平面，所以又，分別是正方形邊，的中點，且，所以.（2）因為，分別是正方形邊，的中點，所以又因為，都垂直于平面，平面，所以因為平面，所以平面所以，四面體的體積，所以.【點睛】本題主要考查了線面垂直的性質定理的應用，以及求棱錐的體積，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）X的可能取值為300,500,600，結合題意及表格數(shù)據(jù)計算對應概率，即得解；（2）由題意得，分，及，分別得到y(tǒng)與n的函數(shù)關系式，得到對應的分布列，分析即得解.【詳解】（1）由題意：X的可能取值為300,500,600故：六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列為300500600（2）由題意得.1°.當時，利潤此時利潤的分布列為.2.時，利潤此時利潤的分布列為.綜上的數(shù)學期望的取值范圍是.【點睛】本題考查了函數(shù)與概率統(tǒng)計綜合，考查了學生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.19、（1）在為增函數(shù)；證明見解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數(shù)；（2）令，則，由此利用分類討論思想和導數(shù)性質求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，.記，則，當時，，.所以，所以在單調遞增，所以.因為，所以，所以在為增函數(shù).（2）由題意，得，記，則，令，則，當時，，，所以，所以在為增函數(shù)，即在單調遞增，所以.①當，，恒成立，所以為增函數(shù)，即在單調遞增，又，所以，所以在為增函數(shù)，所以所以滿足題意.②當，，令，，因為，所以，故在單調遞增，故，即.故，又在單調遞增，由零點存在性定理知，存在唯一實數(shù)，，當時，，單調遞減，即單調遞減，所以，此時在為減函數(shù)，所以，不合題意，應舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的綜合應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值和零點及不等式恒成立等問題，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想，考查了學生的邏輯推理和運算求解能力，屬于難題.20、（1）；（2）.【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.21、（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，