2.1.2 集合間的基本關(guān)系-2024年初升高數(shù)學(xué)無憂銜接

第第頁第2.1章2.1.2集合間的基本關(guān)系高中要求1理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集。2在具體情境中，了解全集與空集的含義。1子集①概念

對于兩個(gè)集合A，B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).

記作：A?B(或B?A)，讀作：A包含于B，或B包含A.

當(dāng)集合A不包含于集合②Venn圖

2真子集概念：若集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，則稱集合A是集合B的真子集.

記作：A?B(或B?A)

(有些地方?用?或?表示)讀作：A真包含于B(或B真包含A)

類比?與?的關(guān)系就好比≤與小于<的關(guān)系，"≤"是小于或等于，"?"是真包含或相等Eg：3≤3是對的，而3<3是錯(cuò)的，若a<b，則a≤b也成立；對比下，A?A是對的，但A?A是錯(cuò)的，若A?B，則3集合相等如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B相等．即A?B且B?A?A=B.4幾個(gè)結(jié)論①空集是任何集合的子集：??A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一個(gè)集合是它本身的子集；

④對于集合A,B,C，如果A?B且B?C，那么A?C；

⑤集合中有n個(gè)元素，則子集的個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2【題型1】判斷集合間的關(guān)系【典題1】已知集合M={xZ|?1≤x<3}，N={x|x=|y|,yM}解析∵x∈Z，且?1≤x<3，∴x的可能取值為?1,0,1,2∴M={?1,0,1,2}．又∵y∈M，∴|y|分別是0,1,2．∴N={0,1,2}．∴N?【典題2】集合M={x|x=4k+2,k∈Z}，N={x|x=2k,k∈Z}，P={x|x=4k?2,k∈Z}，則M,N,P的關(guān)系()A．M=P?N B．N=P?M C．M=N?P D．M=P=N解析方法1把每個(gè)集合用列舉法表示，M={…,?6,?N={…,?6,?4,?2,0,2,4,6,8,10,…}，故M=P?N，故選A.方法2設(shè)x1=4k1+2∈M，xx1=4kx3=4k3?2=4x1=4k1x2=2k故M=P?N，故選A.方法3集合M與P的元素均是被4除余2，則M=P；集合N的元素是偶數(shù)，而集合M元素是2×奇數(shù)變式練習(xí)1.指出下列各對集合之間的關(guān)系：(1)A={x|x2?1=0}(2)A={x|x是菱形}，B={x|x是平行四邊形}；(3)A={x|x2?3x?4<0}(4)M={x|x=3n?1,n∈Z}，N={x|x=3n+2,n∈解析(1)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是拋物線y=x故A與B之間無包含關(guān)系．(2)菱形是特殊的平行四邊形，故A?B．3集合A=xx用數(shù)軸表示集合A,B如圖所示，由圖可知A?B．(4)由列舉法知M={…,?4,?1,2,5,8,…}，N={…,?4,?1,2,5,8,…}，故N=M．2.若集合A={x|x≥0}，且B?A，則集合B可能是()A．{1,2} B．{x|x≤1} C．{?1,0,1}D．R答案A解析因?yàn)榧霞螦={x|x≥0}，且B?A，所以集合B是集合A的子集，當(dāng)集合B={1,2}時(shí)，滿足題意，當(dāng)集合B={x|x≤1}時(shí)，?1?當(dāng)集合B={?1,0,1}時(shí)，?1?當(dāng)集合B=R時(shí)，?1?故選A．3.已知集合M={x|x=k2+14,k∈Z},N={x|x=kA．x0∈NB．x0?N答案A解析M={x|x=n2+N={x|x=k4+∴集合M、N的關(guān)系為M?N故選：A．4.已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍()A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1] D．[0,1)答案C解析已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1}，若B?A，則A集合包含B集合的所以元素，解B集合時(shí)，當(dāng)a<0時(shí)，不滿足題設(shè)條件，當(dāng)a=0時(shí)，x無實(shí)數(shù)解，B集合為空集，滿足條件，當(dāng)a>0時(shí)，x>1a，則1a≥綜上則實(shí)數(shù)a的取值范圍為：[0,1],故選：C．5.已知集合A?{0,1,2}，且A中至少含有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A有答案3解析∵集合A?{0,1,2}，∴A=?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，0,2，∵A中至少含有一個(gè)奇數(shù)，∴A={1}，{0,1}，{1,2}．∴這樣的集合A有3個(gè)．6.已知集合A={x|x2?3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+答案a∈(?解析由題得A={1,2},因?yàn)锽?A，則①B=?，所以△=4a+12?4(②B={1}，則△=8a+24=01+2(a+1)+③B={2}，則△=8a+24=04+4(a+1)+a2④B={1,2}，則△=8a+24>01+2(a+1)+綜上a∈(?∞【題型2】求已知集合的子集或真子集【典題1】集合M={x|x∈Z且121+xA．30個(gè) B．32個(gè) C．62個(gè) D．64個(gè)解析由題意集合M={x|x∈Z且121+x由對于含有n個(gè)元素的集合，利用公式2n?2計(jì)算出∴M的非空真子集的個(gè)數(shù)是26?2=62，故選：變式練習(xí)1.若{1,2}?A?{1,2,3,4,5}，則滿足條件的集合A．6 B．8 C．7 D．9答案C解析∵{1,2}?∴集合A中除了含有1,2兩個(gè)元素以外，至少必須含有另外一個(gè)元素，因此滿足條件的集合A為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7個(gè)．故選：C．2.已知集合B=(x,y)∣4x+3y?12<0,x∈N?,y∈N答案8解析∵集合B=(x,y)∣4x+3y?12<0,x∈∴B={(1,1),(1,2),(2,1)}，∴B中含有3個(gè)元素，集合B的子集個(gè)數(shù)有233.已知M={x∈N|66?x∈N}A．8 B．16 C．32 D．64答案B解析由于x∈N，則x=0,1,2,3,…．當(dāng)x=0時(shí)，66?0=1∈N，當(dāng)x=1當(dāng)x=2時(shí)，66?2=3當(dāng)x=4時(shí)，66?4=62當(dāng)x=7時(shí)，故集合集合A={0,3,4,5}，所以集合A子集個(gè)數(shù)為24故選：B．4.若集合A=x∣(k+2)x2+2kx+1=0有且僅有A．?2B．?2或?1C．2或?1D．±2或?1答案D解析要使得一個(gè)集合有且僅有2個(gè)子集，則須使集合有且僅有1個(gè)元素．因此方程(k+2)x2+2kx+1=0要么有且僅有兩個(gè)相等的實(shí)根．由Δ=(2k)2?4(k+2)=0得所以選D．1.設(shè)A,B是兩個(gè)集合，有下列四個(gè)結(jié)論：①若A?B，則對任意x∈A，有x?B；②若A?B，則集合A中的元素個(gè)數(shù)多于集合B中的元素個(gè)數(shù)；③若A?B，則B?A；④若A?B，則一定存在x∈A，有x?B．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．1答案D解析對于①，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3}.故錯(cuò)誤；②若A?B，不一定，比如A={1,2,4},B={1,2,3,5,6}.故錯(cuò)誤；③若B?A，則A?B，但B?A不成立，故錯(cuò)誤；④若A?B，則一定存在x∈A，有x?B，故正確．故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選：D2.已知全集U=R，則正確表示集合M={?1,0,1}和N=x∣x2答案B解析由N=x∣x23.以下六個(gè)寫法中：①{0}∈{0,1,2}；②??{1,2}；③?∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈?；正確的個(gè)數(shù)有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案B解析對于①：是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)該是{0}?{0,1,2}；∴①不對．對于②：空集是任何集合的子集，應(yīng)該是??{1,2}；∴②對．對于③：?是一個(gè)集合，是集合與集合的關(guān)系，??{0}；∴③不對．對于④：根據(jù)集合的無序性可知{0,1,2}={2,0,1}；∴④對．對于⑤：?是一個(gè)空集合，表示沒有任何元素，應(yīng)該是0??；∴正確的是：②④．故選：B．4.如果S={x|x=2n+1,n∈Z}，T={x|x=4k±1,k∈Z}，那么()A．S真包含于TB．T真包含于SC．S=T D．S與T沒有交集答案C解析當(dāng)n為偶數(shù)，設(shè)n=2k，k∈Z，則x=2n+1=4k+1，當(dāng)n為奇數(shù)，設(shè)n=2k?1，k∈Z，則x=2n+1=4k?2+1=4k?1，∴集合S和T的元素相同，∴S=T．故選：C5.集合{a,b,c,d}的非空真子集的個(gè)數(shù)()A．16個(gè) B．15個(gè) C．14個(gè) D．13個(gè)答案C解析∵集合{a,b,c,d}有4個(gè)元素，∴則集合{a,b,c,d}有24故集合{a,b,c,d}的非空真子集的個(gè)數(shù)為14；故選C．6.定義集合A?B={x|x∈A,且x?B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，則A?B答案4解析由題意：A?B={1,7}，故其子集為?，{1}，{7}，{1,7}，個(gè)數(shù)為4.7.已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1?m}，若MN，則實(shí)數(shù)m=答案0解析由題意知M?N，又集合M={0,1}，因此1N，即1?m=1．故m=08.含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可表示為a,ba,1QUOTE，也可表示為a2,a+b,0，則a2013+b2014QUOTE的值為答案?1解析若a=a2，a=0或1，代回集合，不滿足集合元素的互異性；則a=a+b，得從而易得a=?1；故a20139.已知A={x|x<?1或x>5}，B={x|a≤x<a+4}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____．答案{a|a>5或a≤?5}解析作出數(shù)軸可得，要使B?A，則必須a+4≤?1或a>5，解之得{a|a>5或a≤?5}．10.集合A={?1,2}，B={x|ax?2=0}，若B?A，則由實(shí)數(shù)答案{解析∵集合A={?1,2}，B={x|ax∴B=?或B={?1}∴a=0,1,?∴由實(shí)數(shù)a組成的集合為：{?2,1,0}．11.已知集合A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(1)若4∈A,3?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)