2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：17 線性規(guī)劃歸類(lèi)（解析版）

17線性規(guī)劃歸類(lèi)

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納...............................................................................1

【題型一】三大基礎(chǔ)題型：截距，斜率和距離（圓系）........................................1

【題型二】由參數(shù)確定圖像形狀............................................................3

【題型三】含參數(shù)線性規(guī)劃................................................................5

【題型四】目標(biāo)函數(shù)變化型1：絕對(duì)值型.....................................................7

【題型五】目標(biāo)函數(shù)變化型2：分式型.......................................................9

【題型六】目標(biāo)函數(shù)變化型3：二次型.......................................................11

【題型七】目標(biāo)函數(shù)變化型4：向量型......................................................12

【題型八】函數(shù)和導(dǎo)數(shù)中應(yīng)用.............................................................14

二、最新?？碱}組練............................................................................16

【題型一】三大基礎(chǔ)題型：截距，斜率與距離（圓系）

【典例分析】

%<4

若實(shí)數(shù)比，y滿足y<3,則/+,2的取值范圍是__

3x+4y>12

【答案1,25]

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義為坐標(biāo)原點(diǎn)與可行域內(nèi)的點(diǎn)連線距

離的平方，據(jù)此可得，目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,其最大值為：32+42=25,

考查坐標(biāo)原點(diǎn)到直線3x+4y-12=0的距離：d=曷當(dāng)=”可得目標(biāo)函數(shù)的最小值為噤.

V32+42525

綜上可得/+y2的取值范圍是[詈,25].

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L線性，注意Z與截距之間的正反比例關(guān)系，如變式2

2.斜率型，要寫(xiě)層標(biāo)準(zhǔn)的斜率公式形式，如變式1

3.距離型，注意圓與直線（線段）的位置關(guān)系：點(diǎn)到線的垂直關(guān)系還是點(diǎn)到點(diǎn)的關(guān)系，如典例分析

【變式演練】

x-y-2<0

L設(shè)尤,y滿足約束條件｛2x-y+3?0,則上的取值范圍是（）

x+6

3

A[YJ]B._3,-C.(^o,—3]o[1,+oo)D.[—3,1]

A?|_7J

【答案】D

B/l

【解析】A

x-y-2<0

畫(huà)出約束條件｛2x-y+3>0表示的可行域，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）與P（-6,-4）連線的斜率,

x+y<0'

x-y-2=0x+y=0

由｛可得A（—5,—7）,1^=—3，由｛可得，B（-5,-7）,kPB=l,所以

2x-y+3=02x-y+3=0

E的取值范圍是[-3,1],故選D.

，冗》2

2.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件卜+亍W6,則目標(biāo)函數(shù)z=2尤-3y的最大值是.

x-y<0,

-2

【答案】-2

【解析】

【詳解】

畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)（2,2）處取得最小值為-2.

x<0

3.設(shè)點(diǎn)是平面區(qū)域｛x+y+l<Q內(nèi)的任意一點(diǎn)，則好+產(chǎn)一4%的最小值為

2x+y+2>0

1,9「

A.—B.1C.—D.5

22

答案：B

【解析】作可行域如圖，x2+y2-4x=（x-2）2+y2-4=MP2-4，其中M（2Q）,因?yàn)?/p>

\MP\>\AM\="+1=小x2+y2-4x的最小值為5-4=1,選B

【題型二】由參數(shù)確定圖像形狀

【典例分析】

一x-y>0

2x+y<2

若不等式組<■,表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域，則a的取值范圍是（)

y>0

x+y<a

4,4、4

A.a2一C.1<a<-D.0<a<l^a>—

333

【答案】D

x-y>0

2x+y<2

【解析】根據(jù)j畫(huà)出平面區(qū)域（如圖1所示），由于直線x+y=a斜率為-1,縱截距為a,

自直線％+y=a經(jīng)過(guò)原點(diǎn)起，向上平移，當(dāng)0<aWl時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形區(qū)域（如圖2所示）；

44

當(dāng)1<。<—時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)四邊形區(qū)域（如圖3所示），當(dāng)—時(shí)，表示的平面區(qū)域是一個(gè)三

33

【提分秘籍】

基本規(guī)律

分類(lèi)討論，動(dòng)圖研究

【變式演練】

x+V<4,

1.設(shè)不等式組L-x>0,表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若圓C:(x+Ip+(y+If=r\r>0)不經(jīng)過(guò)區(qū)域。上的

x-1>0,

點(diǎn)，則廠的取值范圍是

A.[2&,2灼B.(20,3MlC.(2應(yīng),26D.(0,2@](26+oo)

【答案】D

x+y<4,

不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?。為下圖所示的三角形ABE,如下圖所示，當(dāng)圓

x-1>0,

。：(%+1)2+(丁+1)2=產(chǎn)(廠〉0)的半徑廠<[4。|=20或尸>|0同=2不時(shí)，圓不經(jīng)過(guò)區(qū)域0

上的點(diǎn)，故選D.

x.O

y.O

2.不等式組《L表示的是一個(gè)對(duì)稱(chēng)四邊形圍成的區(qū)域，則上二

x+y-V2-l?0

x-ky+k..O

[答案】±]

試看分析：不等式組前三個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為

(0,0),(V2+l,0),(0,V2+D,第四個(gè)不等式X—ky+kNO中，x—ky+k=O表示是過(guò)點(diǎn)(0,1)的直

線(如圖)，

當(dāng)k=-l或1時(shí)不等式組所表示是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)四邊形圍成的區(qū)域，

3.已知圓的方程為好+丁=4,P是圓0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若0P的垂直平分線總是被平面區(qū)域|x|+1yma覆

蓋，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>\B.a<lc,0<?^1D,

[答案]c

先不出不等式|x|+|y|》a表示的平面區(qū)域，及0P的垂直平分線形成的區(qū)域，再結(jié)合題意分

析這兩個(gè)區(qū)域的相互覆蓋情況即可.解答：解：如圖，隨著點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，0P的垂直平分

線形成的區(qū)域是圓：x?+y2=l的外部，…①

平面區(qū)域|x|+1y|2a表示正方形EFGH的外部，…②

若0P的垂直平分線總是被平面區(qū)域|x|+1y|Na覆蓋，則①區(qū)域要包含于②區(qū)域，

故(KaWl.故選C.

【題型三】含參線性規(guī)劃

【典例分析】

給出平面區(qū)域如圖所示，其中A(1,1),B(2,5),C(4,3),若使目標(biāo)函數(shù)Z=or-y(a>0)取得最大

值的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，則a的值是

C.4D,三

【答案】A

【解析】

【詳解】

依題意可得，目標(biāo)函數(shù)Z=ox-y在可行域的邊界上取得最大值.因?yàn)椤?gt;0,所以根據(jù)圖形可知目標(biāo)函數(shù)

2?12

Z="_y在AC所在直線>無(wú)一1)+1即y=+t上取到最大值，則a=q,故選A

.D。J

【提分秘籍】

基本規(guī)律

含參型，注意區(qū)分參數(shù)所在位置而采取的不同處理方法。

(1)參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)X系數(shù)位置，如典例分析

(2)參數(shù)在目標(biāo)函數(shù)y系數(shù)位置，如變式1

(3)參數(shù)在約束不等式位置，如變式2

(4)多參數(shù)，如變式3

(5)授課時(shí)要講清楚“秒殺”法原理：三線共點(diǎn)法

【變式演練】

\x+y>a,

1.設(shè)x,y滿足約束條件〈且2=%+歿的最小值為7,則a=

、尤-y<-1,

(A)-5(B)3(C)-5或3(D)5或-3

【答案】B

【解析】根據(jù)題中約束條件可畫(huà)出可行域如下圖所示，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為：A(巴1,四)，又由題中

22

_r,、[/八r_L-z-曰r/+4—1〃+1+2〃-1r[+2。—1E/口

z=x+@可知，當(dāng)〃>0時(shí)，z有取小值：z=------+ax------=--------------，貝！J--------------=7,解得:

2222

。=3;當(dāng)。<0時(shí)，z無(wú)最.小值.故選.B/X\

x+y>0

2.變量蒼y滿足約束條件<x—2y+220,若z=2x—y的最大值為2,則實(shí)數(shù)機(jī)等于

mx-y<0

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】將目標(biāo)函數(shù)變形為y=2x-z,當(dāng)z取.最大值，則直線縱截距最小，故當(dāng)mWO

時(shí)，不滿足題意；當(dāng)機(jī)>0時(shí)，畫(huà)出可行域，如圖所示，其中5(------顯然0(0,0)不是最優(yōu)

2m-12m-l

22根42n2

解，故只能8(------,-----)是最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得---------------=2,解得機(jī)=1,故選C.

2m—12m-l2m-l2m-l

x>1

3.已知點(diǎn)(x,y)是不等式組<x+yV4表示的平面區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大

ax+by+c>0

/7—i—/p—「

值為7,最小值為1,則的值為()

a

1

A.2B.-C.-2D.-1

2

【答案】C

此題考查線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)；把不等式組表示的平面區(qū)域畫(huà)出來(lái)，由已知條件可知，在直線x=l與

ac

av+Z?y+c=。的交點(diǎn)A處取得最小值，則A(l,------)；在直線G；+Z?y+c=0與%+y=4的

b

交點(diǎn)5處去最大值，則3(絲4b+土c二4〃絲+c三)；所以

b-aa-b

2-j=1r

=

bci+cbci+b+c2b.但

<=>--------=—=-2,選c

2(46+c)4a+c=b=-aaa

--------+------=71

、b-aa-b

法一：比較笨拙逆向思維，因?yàn)槭侨龡l直線，所以最值必在三角形頂點(diǎn)處，三個(gè)頂點(diǎn)，分別是

f

A\X=10A(1,3),顯然最值不成立

X+Y=4

x=1x+y=4

臺(tái)大(1,5)--舍去C(3,l)--最大值

B代入目標(biāo)函數(shù)<7=2X+y=v7=2x+y=>

1)一一最<1、值。(-3,7)舍去

1=2x+y1=2x+y

方法二：把直線7=2x+y和l=2x+y畫(huà)出來(lái)如圖因而直線過(guò)點(diǎn)(3,1)和(1,-1),代入

"旦=1+%￡所以[3a+b+c=。=相加相減產(chǎn)3所以答案是―2

aaaa-/?+c=。b--a

【題型四】目標(biāo)函數(shù)變化型1:絕對(duì)值型

【典例分析】

x+3y-7<0

已知滿足<x21,則z=|y-x|的最大值為.

【答案】3.

7

令m=y-x,則當(dāng)直線m=y-x過(guò)點(diǎn)A時(shí)m最小.由于A(4,1),所以m的最小值為-3;當(dāng)直線m=y-x過(guò)點(diǎn)。(°，§)

7

時(shí)，m取得最大值，最大值為一，所以z=|y-x|e[0,3],所以z的最大值為3.

3

【提分秘籍】

基本規(guī)律

注意絕對(duì)值所在的位置，采取不同的策略：

L目標(biāo)函數(shù)整體位置，典例分析

2.單個(gè)變量位置，變式1

3.雙絕對(duì)值位置，變式2

4.高考難題，變式3

【變式演練】

x+3y-3<0

1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足<X—y+120,則z=2|x1+y的取值范圍是___

y>-1

【答案】1,11］

作出可行域與目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖象可得目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)(0,-1)時(shí)，有最小值-1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6,)時(shí)有最

大值11，所以取值范圍是［T,11］。

x+2y-2>0

2.變量蒼y滿足約束條件2x+y-4W0,則目標(biāo)函數(shù)z=2國(guó)—3僅—1|的取值范圍是

x-y+l>0

【答案】

【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如下圖所示，

當(dāng)xNO,OSySl時(shí)，z=2x-3(l-y)=2x+3y-3,

2z+3

止匕時(shí)y=——X+——,直線的縱截距越大，Z越大，縱截距越小，Z越小.

33

3

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,l)時(shí),z最小=0+3-3=0,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(一,1)時(shí)，z最大=3+3-3=3,

2

所以此時(shí)z的范圍為［0,3］當(dāng)xNO,y>l時(shí)，z=2x-3(y-l)=2x-3y+3,

23-z

止匕時(shí)z=—x+——，直線的縱截距越大，z越小，縱截距越小，z越大.

33

3

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,2)時(shí)，z最小=2-6+3=?1,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(—』)時(shí),z最大=3?3+3=3,

2

所以此時(shí)Z的范圍為［-1,3］。綜合得Z的取值范圍為：［-1,3］故答案為：［-1,3］

3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足必+/<1,貝”2x+y-4|+|6-x—3y|的最大值是.

【答案】15

2+x-2y,y>2-2x

lQ-3x-4y,y<2-2x

由圖可知當(dāng)yN2—2x時(shí)，滿足的是如圖的A3劣弧，則z=2+x—2y在

點(diǎn)A(1,O)處取得最大值5；當(dāng)y<2—2%時(shí)，滿足的是如圖的A3優(yōu)弧，則z=10—3x—4y與該優(yōu)弧相切

|z-10l

時(shí)取得最大值，故d=Y^=l,所以z=15,故該目標(biāo)函數(shù)的最大值為15.

【題型五】目標(biāo)函數(shù)變化型2：分式型

【典例分析】

x—4y>—4

2x+y+3

已知13x+5y〈15,則-----:----的最s大值為

x+2

x>l,y>-2

79

【答案】—

37

此題考查線性規(guī)劃的靈活應(yīng)用、轉(zhuǎn)化和化歸思想的應(yīng)用、考查學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力；把

不等式組表示的平面區(qū)域作出來(lái)，如下圖陰影部分所示，把被求式化為

2x+'+3=2(x+2)+y-l=2+之二，轉(zhuǎn)化為求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)B(x,y)和一個(gè)定點(diǎn)A(-2,1)的斜率的最大值

x+2x+2x+2

x—4y=T>4027、2x+y+3B”

再加上2即使所求的；由<=>8(,))---------IR大值就TE,17079；

13尤+5y=151717x+2=^+2o=^—+2=—

17+

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.分式型，如果是斜率型，要注意分離常數(shù)，還要注意x,y的系數(shù)要提出來(lái)，如典例分析

2.齊次分式型，可以同除換元，如變式1,但是要注意同除時(shí)，是否要討論為0的情況。

3.復(fù)雜分式型，實(shí)質(zhì)是劃歸后(主要是同除或者分離常數(shù))，可換元轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)型，如變式2

【變式演練】

1.點(diǎn)M(x,y)在圓必+(丫-2)2=1上運(yùn)動(dòng)，則，產(chǎn)，的取值范圍是()

4x+y

A.(-oo,--][—,+oo)B.(-oo,--][―,+oo)U{0}C.[--,0)1J(0,—]D.[-■]

44444444

【答案】D

【解析】點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，如圖所示，設(shè)直線y=區(qū)與圓相切，

則圓心(0,2)到直線米-y=0的距離為1,即：-i===l,：.k=+j3,據(jù)此可得:

—e(-00,

+oo,

x'

(

I4|,一?一1z_______________

22

當(dāng)封=0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的值為z=0,否則：目標(biāo)函數(shù)：4x+y4X+2,

yx

-a-—r

1

令f則，―d/?卜00，—，^［。［6，>00)結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：

Xt

4

/+_?(?,4］［4,+?),

t

結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可得目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是-；,oj,

綜上可得，目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是一；,；.本題選擇。選項(xiàng).

44

y<x

'x+y<2(x+2y)2+3

z----------------

2.若演y滿足不等式組U20,則目標(biāo)函數(shù)x+2y+l的取值范圍是

【答案】［2,3］

【解析】z=(x+2y)+3=(x+2y+l)-2(x+2y+l)+4=rx+2y+l)+——-------2,

-x+2y+lx+2y+lx+2y+l

令s=x+2y+1,并作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，

次

、TIyZ易得“［1,4］,所以2=s+，—2,可知函數(shù)2=s+&-2在［1,2］上單調(diào)遞減,

干-bl

在［2,4］上單調(diào)遞增，則當(dāng)s=2時(shí)，z取得最小值，為2；當(dāng)s=l時(shí)，z=3,當(dāng)s=4時(shí)，z=3,則z取

得最大值，為3,故z的取值范圍是［2,3］.

%—y—120,

,,el、八r,2x2+y2+3xy+12x+8y+16、

3.已知無(wú)。滿足則2=---------:------------:---------------:-------------的最小值是()

/cx(y+4)

2028

A.2夜+3D.6

3T

【答案】A

.5.72x2+y'+3xy+12x+8y+16(2x+y+4)(x+y+4)2x2+3x(y+4)+(y+4)2

L解析1z=----:------:--------:----=-----:--------:----=--------:-------:-----

x(y+4)x(y+4)x(y+4)

2xy+4cv+42

=—--+3,令/—,則z=—+1+3,先利用線性規(guī)劃求出方的范圍；畫(huà)出二元一次不等

y+4xxt

y+411

式組表示可行域，1;2一表示可行域內(nèi)任意一點(diǎn)(％y)與點(diǎn)?T)連線的斜率.得出最優(yōu)解(一,一一)和

x22

(3,-3)得出/的最大值7和最小值;，f的取值范圍是7,當(dāng)/=四時(shí)，z取得最小值為2夜+3,

選A.

【題型六】目標(biāo)函數(shù)變化型3：二次型

【典例分析】

若滿足約束條件]\x+2y|<2

則(x+l)y的取值范圍為()

\2y—3x|<6'

B.A：］9-

A.[—3,0]C.D.卜3,看

【答案】D

\x+2y\<2,

【詳解】由s作可行域如圖所示，

|2y-3%|<6'

其中4(-1q)，8(-2,0)1(1,一|),。(2,0),(%+l)y的最優(yōu)解在平行四邊形的4個(gè)邊上,

當(dāng)(x,y)位于線段40:x=—2y+2^0<y<|)時(shí),z=(x+l)y=(—2y+3)y=—2y2+3y,因?yàn)?<y<|>

所以ze

當(dāng)(x,y)位于線段CD：y=當(dāng)二(1<x<2)時(shí)，z-(x+l)y=|(%2-x-2)e［-3,0］；

當(dāng)O，y)位于線段BC:x=-2y-2(^-|<y<01時(shí)，z=(x+l)y=(-2y-l)y=-2y2-yE［-3,^］；

當(dāng)(%,y)位于線段力(-2<x<-1)時(shí)，z-(x+l)y=-(%2+3x+2)eol.

22L8J

綜上可知，z=(x+l)y的取值范圍是卜3,露故選D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

這幾道題，處理的方法各有特色，授課時(shí)注意分析其中的區(qū)別和聯(lián)系

【變式演練】

x+^-6>0

L設(shè)實(shí)數(shù)x,V滿足卜+2y—14?0,則2孫的最大值為（）

2x+y—10<0

A.25B.49C.12D.24

【答案】A

【解析】不等式組的圖象如圖

由圖象知y<l?！?%,則孫—2x）=2x（5_x）W2（x+；—J=，，當(dāng)且僅當(dāng)x=*y=5時(shí),

等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)［5）在可行域內(nèi)，故2孫的最大值為25.故選A.

2.已知實(shí)數(shù)my滿足三個(gè)不等式：3x+4y<12,尤+4y24,3x+2y26則孫的最大值是.

【答案】3

先畫(huà)出域3%+4y<12,x+4y>4,3x+2j；>6,表示圖中陰影部分及為三角形

ABC

ZZZ

令z=^>0,則丁二一畫(huà)出函數(shù)丁二一的圖象，當(dāng)函數(shù)y二—與A3相切時(shí)Z最大

XXX

Z

y——z

<x,即3x+4x—=12,；.3%2—12尤+4z=0只有一個(gè)根，則144—48z=0,即z=3,

3x+4y=12”

,移的最大值是3,故答案為3.

2x-y<0,

3.已知變量x、y滿足卜—2y+320,貝！Jz=4/+4孫+/+1的最大值為.

x>0,

【答案】17

由已知不等式組，作出可行域如上圖陰影部分，設(shè)t=2x+y,則出0,當(dāng)直線丁=-2%+/經(jīng)過(guò)41,2）時(shí),

直線的截距有最大值，t有最大值4,此時(shí)z=4x?+4孫+V+l=（2x+y）2+l有最大值為17.

【題型七】目標(biāo)函數(shù)變化型4：向量型

【典例分析】

.lOAOP

已知點(diǎn)尸為不等式x+y-2<0所表示的可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（-1,若），。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由

y>0??

的最大值為（）

A.J3B.1C.2D.—

2

【答案】B

也x-y>0

【詳解】畫(huà)出不等式組（x+y—2W0所表示的平面區(qū)域，如圖所示，則NAO3=120,NBOC=60,

y>Q

所以04,OP所成的角的取值范圍是[60,120],又由卜而百訪7=2,

OAOPi_-IA/。01OAOP

所以IOPI=|。臼cos。V2cos60=1,所以⑺利的最大值為1.故選:B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

.把向量轉(zhuǎn)化為截距型等各類(lèi)常規(guī)型求解。

【變式演練】

1.已知ei,e2為平面上的單位向量，ei與e2的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)0,ei與e2夾角為號(hào)平面區(qū)域。由所有滿

X+〃<1

足赤=福1+〃62的點(diǎn)尸組成，其中0<A，那么平面區(qū)域O的面積為（）

0</1

A.-B.V3C.@D.遺

224

【答案】D

lz%=A+-1/1ru=-2py

【詳解】設(shè)瓦=（1,0）,石=G，日）,P（x,y）,貝q有.%

Iy=-^

r+

+<1X

〃IZ.<1

-J

因

o<A所以vy3

-IX-->0，圍成一個(gè)三角形，面積為三Xlx^=在，選D.

O<MI—224

-VV>3

V_0

2.已知A（L—1）,8（4,0）,C（2,2）,平面區(qū)域E是由所有滿足=+〃4。（1（4W2,14〃彳3）的

點(diǎn)。（X,〉）組成的區(qū)域，則區(qū)域￡的面積是（）.

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

解:由A（l,-1）,5（4,0）,C（2,2）,￡>（%y）得3=（龍—1?+1）,AB=（3,1）,AC=（1,3）

13x-y-4

X---------------

%—1=3/1+LIQ

因?yàn)锳￡>=XAB+〃AC所以，尸，解得1c”又因?yàn)?/p>

y+1=2+3/73y—x+4

//=-...............

8

12<3x-y<20

代入化簡(jiǎn)得,.cc畫(huà)出不等式組代表的平面區(qū)域如圖中陰影部分，且陰影部分為平行四邊形

4<3y-x<20

由直線方程解出點(diǎn)A（5,3）,B（8,4）,C（10,10）,D（7,9）

7-3x9+4|16

點(diǎn)D（7,9）到直線AB:x—3y+4=0的距離1=而彳1

所以陰影部分面積為s=；*xjid=i6故選：c.

x+y-242>Q,

3.已知不等式組《X<2A/2,表示平面區(qū)域Q,過(guò)區(qū)域Q中的任意一個(gè)點(diǎn)P,作圓好+/=1的兩條

y<2^/2

切線且切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)NAPS最大時(shí)，的值為（

2

A.2B.C.-D.3

22

【答案】B

如圖所示，畫(huà)出平面區(qū)域Q,當(dāng)ZAPB最大時(shí)，ZAPO最大，故

Ani

sinZAPO=—=——最大，故OP最小即可，其最小值為點(diǎn)。到直線

OPOP

的距離故

x+y—20=0d=2,sinZAPO=1此時(shí)

ZAPB=2ZAPO=60°,且PA=PB=^/^1=唐，故/^.PB=|PAHP@COSZAP3=5

【題型八】導(dǎo)數(shù)和函數(shù)型

【典例分析】

已知二次函數(shù)/（x）=x2+2or+2〃有兩個(gè)零點(diǎn)和々，且-1<%<1<々<2,則直線fev-（a-l）y+3=0

的斜率的取值范圍是（）

【答案】A

【解析】由題意｛f（l）=l+2a+2b<Q0,在坐標(biāo)系作出點(diǎn)（。力）表示的平面區(qū)域，如圖AABC內(nèi)部（不

/⑵=4+4a+26〉0

含邊界），已知直線的斜率為左=―彳，表示點(diǎn)與點(diǎn)P（l,0）連線的斜率，,

2-1222

—=所以斜率%的范圍是.故選A.——1

5-1-13

2

【提分秘籍】

基本規(guī)律

函數(shù)和導(dǎo)數(shù)型涉及到線性規(guī)劃，多是在函數(shù)性質(zhì)以及“根的分布”題型中

【變式演練】

1.設(shè)函數(shù)f(%)=ln(V%2+1一%),若a,b滿足不等式/(十一2a)+f(2b-Z)2)<0,則當(dāng)1<a<4時(shí),

2a-b

的最大值為()

A.1B.10C.5D.8

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)+/(-%)=ln(Vx2+1-x)+ln(Vx2+1+x)=0,所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù),又因?yàn)閤>

0時(shí)fg=ln(Vx2+1-x)=-ln(Vx2+1+%)為單調(diào)減函數(shù)，且/(0)=0所以/(%)為R上減函數(shù)，因此/(a?-

2a)+f(2b—b2}W0=/(a2—2a)<—f(2b—b2)=/(a2—2a)</(—2/?+b2)

a2-2a>-2b+h2<=>(a-l)2>(Z?-l)2^>{-頌上看Lz因?yàn)?4。44,所以可行

域?yàn)橐粋€(gè)三角形48。及其內(nèi)部淇中/(1,1),8(4,4),以4,-2),因此直線2=20-b過(guò)點(diǎn)。時(shí)取最大值10,選區(qū)

2.已知函數(shù)/(x)=九3+2,g(x)=(log2X)2+2alog2%+5—2,若函數(shù)/(%)=/(9(%))-1有兩個(gè)零點(diǎn)%,%2，

7G

且滿足1<%<2<%<4,則二上的取值范圍()

a—1

1243434123

-

A.(一__9j)B?j]C.(-00,--]I[-j,+0°)D.(一--)

[答案]A乙-一

【詳解】因?yàn)镕(x)=/(g(x))—l=0；.g3(x)=-l,g(x)=—l

-

(log2x)+2?logox+Z?-1=0,令/=log2X,則d+2af+Z?-l=0,0<A<1<<2

31

因此(i>ofg畫(huà)可行域，如圖A(—7,3),3(—7/),P(l,2)，則jg，““,、，口4、，選A.

2〃+/2

」+<。；〃+公。22--^PA^kpB^--,-^

4+4a+/>-l>04a+b>-3

'2a+b=Q

4a+6+3=0

3.已知函數(shù)/(x)=lnF，若滿足/(x)4/(—Ly)N0,則上的取值范圍是()

\+x2x+3

(111

A.I-1,-B.(-l,-)C.(-l,l)D,[-l,l]

【答案】C

1?Y1_丫

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?-M),因?yàn)椤ā獂)=ln丁'=一111尸=一/(力，故”力為(-M)上的奇函

1—X1+X

數(shù)./(x)=ln-1+占

，故/(X)為(T』)上的減函數(shù).由/(%)+/220得到

-1<X<1

/(X)2—￡|=/[￡|,所以<—2<y<2.不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示:

表示區(qū)

y>2x

y

域中的點(diǎn)與(—3,0)連線的斜率，故-1<<1,選C.

x+3

模擬題

|%|+1y|<21

11

1.設(shè)不等式組｛r,z，、所表示的平面區(qū)域?yàn)椤?，其面積為s.①若s=4,則左的值唯一；②若s=彳,

y+2<k(x+T)2

?2

則上的值有2個(gè)；③若。為三角形，則?！醋骔：；④若。為五邊形，則左>4.以上命題中，真命題的個(gè)

數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

由題得不等式|x|+|y區(qū)2,表示的是如圖所示的正方形區(qū)域,

不等式y(tǒng)+2Wk(x+l),表示的是經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-1,-2)的動(dòng)直線y+2=k(x+l)的一側(cè)(與k的正負(fù)有關(guān)),

忖+小2

所以不等式組<所表示的平面區(qū)域。就是它們的公共部分,

y+2<k{x+\)

(1)因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為8,若S=4,面積為正方形面積的一半，且過(guò)原點(diǎn)O的任意直線均可把正方

形的面積等分，故當(dāng)S=4時(shí)，直線必過(guò)原點(diǎn)，所以k=2,k的值唯一，命題正確；

(2)左邊陰影三角形的面積為1,故當(dāng)k取適當(dāng)?shù)呢?fù)值左傾可以使三角形的面積為』，k取適當(dāng)?shù)恼担?/p>

2

使得陰影部分的面積為工，故S=L時(shí)，k的值有兩個(gè)，故該命題正確;

22

(3)由(2)的討論可知，當(dāng)k<-2時(shí)，左邊也有一個(gè)三角形，所以當(dāng)D為三角形時(shí)，k的取值范圍為

2

故該命題錯(cuò)誤；

(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,-2)和(0,2)的直線繞定點(diǎn)(-1,-2)向左旋轉(zhuǎn)一點(diǎn)，D就是五邊形，

2-(-2)

此時(shí)k>——r<=4.故命題正確.故選：C

0-(-1)

%—y—1<0

2.已知%,y滿足約束條件\,，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ox+by(a>0/>0)在該約束條件下取到最

2x-)?-3>0

小值2君時(shí)，/+廿的最小值為()

A.5B.4C.6D.2

【答案】B

【解析】畫(huà)出可行域(如圖所示)，由于。>0力>0,所以，方