金融經(jīng)濟學(xué)4套利 - 期權(quán)

金融經(jīng)濟學(xué)第４章

套利和資產(chǎn)定價電話箱地址：huoyanli2014@163.com辦公地點：系辦公室305每周15:20-16:502024/4/121編輯ppt金融第3章的總結(jié)Arrow-Debreu證券市場參與者的優(yōu)化市場均衡金融資產(chǎn)通過市場交易定價，與投資者個人的偏好無關(guān)。Arrow-Debreu經(jīng)濟的一般均衡是存在的；Arrow-Debreu經(jīng)濟的均衡是帕累托最優(yōu)的。2024/4/122編輯ppt金融4.1一般市場結(jié)構(gòu)復(fù)合證券：

在多個狀態(tài)下有支付，且它們的Payoff都可以看成是由AD證券的組合而產(chǎn)生的，如債券、股票有N個證券的市場結(jié)構(gòu)：2024/4/123編輯ppt金融4.1一般市場結(jié)構(gòu)（續(xù)）冗余證券定義：支付可以表示成其它證券支付的線性組合的證券。由原來N只證券的組合生成的任意支付可由刪除冗余證券之后的N-1只證券的組合生成。存在市場摩擦：冗余證券的準(zhǔn)確定義應(yīng)該是它的存在與否不影響均衡配置。

2024/4/124編輯ppt金融4.1一般市場結(jié)構(gòu)（續(xù)）證券市場的不同描述方式X只包括具有線性獨立的證券（忽略市場摩擦）秩：rank(X)=min{N,Ω}=N。2024/4/125編輯ppt金融4.1一般市場結(jié)構(gòu)（續(xù)）證券市場的不同描述方式2024/4/126編輯ppt金融4.1一般市場結(jié)構(gòu)（續(xù)）定理4.1

當(dāng)且僅當(dāng)具有線性獨立支付的證券數(shù)等于狀態(tài)數(shù)時證券市場是完備的。

此時稱經(jīng)濟中的不確定性可由市場中的證券生成span

當(dāng)rank(X)=N=Ω時，X是可逆方陣，可以用復(fù)合證券復(fù)制所有的A-D證券（滿秩市場與A-D市場等價）：2024/4/127編輯ppt金融4.2套利第1類套利：獲得當(dāng)前收益卻不承擔(dān)任何未來責(zé)任。第2類套利：初始投資為0卻得到正的未來收益。套利組合：初始投資為0的組合。第3類套利：是第1類和第2類套利的結(jié)合。2024/4/128編輯ppt金融4.2套利（續(xù)）例4.1P54三種證券的價格與支付分別為：A：1，[1;1;1]B：1，[0;2;2]C：2，[2;0;0]組合1：[2;-1;-1]組合2：[0;1;1]組合3：[2;0;-1]2024/4/129編輯ppt金融4.2套利（續(xù)）套利的界定：只依賴公共信息，即價格與終期收支；不依賴狀態(tài)概率；任何人都可利用套利機會；利用新生產(chǎn)技術(shù)或私有信息獲利，不屬于套利。2024/4/1210編輯ppt金融4.3無套利原理定理4.2

在市場均衡中不存在套利機會。定義4.2無套利原理：證券市場中不存在套利機會前提假設(shè)：市場參與者的不滿足性；

市場無摩擦。2024/4/1211編輯ppt金融4.4資產(chǎn)定價基本原理資產(chǎn)定價關(guān)系或模型：從證券的支付X到其價格S的映射S=V(X)其中，V(·)稱為定價算子pricingoperator或估價算子valuationoperator算子:映射或函數(shù)2024/4/1212編輯ppt金融4.4資產(chǎn)定價基本原理（續(xù)）定價算子的性質(zhì)定理4.3（一價定律）：

兩個具有相同支付的證券或組合的價格必然相同。即：如果x=y，則V(x)=V(y)。定理4.4：

支付為正的證券或組合的價格為正。即：如果x>0，則V(x)>V(0)=0。2024/4/1213編輯ppt金融4.4資產(chǎn)定價基本原理（續(xù)）定價算子的性質(zhì)定理4.6意味著：

，?為正向量。2024/4/1214編輯ppt金融4.4資產(chǎn)定價基本原理（續(xù)）資產(chǎn)定價基本定理定理4.7(fundamentaltheoremofassetpricing)：

證券市場無套利機會的充要條件為存在?>>0使得：2024/4/1215編輯ppt金融定理4.7的證明證明定理4.7，即需要證明集合A為空集的充要條件為存在?>>0使得：充分性：假設(shè)對所有的交易證券以及它們的組合都成立。那么V(0)=0，且對于X>0,V(X)>0.排除了套利機會，A為空。必要性：應(yīng)用Farkas-Stiemke引理（參考資料：金融經(jīng)濟學(xué)原理/斯蒂芬.F.勒羅伊StephenF.LeRoy,簡.沃納JanWerner）。2024/4/1216編輯ppt金融2024/4/1217編輯ppt金融4.4資產(chǎn)定價基本原理（續(xù)）定價算子的性質(zhì)定理4.8:在一個完備市場中，狀態(tài)價格向量是唯一的。證明：設(shè)組合θ復(fù)制ω態(tài)索取權(quán)，則其成本STθ=?是確定的，即ω態(tài)的狀態(tài)價格是唯一的。2024/4/1218編輯ppt金融4.5風(fēng)險中性定價和鞅無風(fēng)險債券：

Payoff為1的證券無風(fēng)險利率：1單位無風(fēng)險證券投資獲得的凈支付或收益率rateofreturn貨幣的時間價值：以今天的1單位資源交換未來確定的資源時市場提供的回報2024/4/1219編輯ppt金融4.5風(fēng)險中性定價和鞅（續(xù)）無風(fēng)險債券定價成本（定價）：無風(fēng)險利率：折現(xiàn)因子：2024/4/1220編輯ppt金融4.5風(fēng)險中性定價和鞅（續(xù)）任意證券定價：風(fēng)險中性測度Q：風(fēng)險中性定價：2024/4/1221編輯ppt金融4.5風(fēng)險中性定價和鞅（續(xù)）例4.31期有兩個概率相等的狀態(tài)，a和b。市場上有兩只證券，價格與支付為：1，[1；1]及0.5，[2；0]解：1(1+r)=1,?a+?b=1

2?a=0.5Q={1/4,3/4}證券2的價格：(1/4)2+(3/4)0=0.5,但是(1/2)2+(1/2)0=1（在P下不正確）2024/4/1222編輯ppt金融4.5風(fēng)險中性定價和鞅（續(xù)）風(fēng)險中性定價公式對新定義的測度Q而不是實際的概率測度P取期望值P:反映各狀態(tài)的實際概率Q:由狀態(tài)價格定義，表示的是規(guī)范化的狀態(tài)價格向量，因而它實際上已經(jīng)把證券的風(fēng)險考慮進去了風(fēng)險中性定價公式表達的是定價關(guān)系，而不是實際的概率預(yù)期2024/4/1223編輯ppt金融4.5風(fēng)險中性定價和鞅（續(xù)）普通價格以0期消費品為計量單位以1單位的無風(fēng)險證券作為價格的計量單位:2024/4/1224編輯ppt金融4.5風(fēng)險中性定價和鞅（續(xù)）如果以債券價格為計量單位，證券價格在風(fēng)險中性測度Q下是鞅過程；Q也稱為等價鞅測度equivalentmartingalemeasure；等價是說Q與真實的概率測度P等價：給定兩個概率測度，如果他們有相同的0概率集，則稱這兩個概率測度是等價的。2024/4/1225編輯ppt金融總結(jié)重點：套利

風(fēng)險中性無套利原理定價算子資產(chǎn)定價基本定理擴展知識點：鞅2024/4/1226編輯ppt金融4.4資產(chǎn)定價基本原理（續(xù)）資產(chǎn)定價基本定理定理4.7(fundamentaltheoremofassetpricing)：

證券市場無套利機會的充要條件為存在?>>0使得：2024/4/1227編輯ppt金融定理4.7的證明證明定理4.7，即需要證明集合A為空集的充要條件為存在?>>0使得：充分性：假設(shè)對所有的交易證券以及它們的組合都成立。那么V(0)=0，且對于X>0,V(X)>0.排除了套利機會，A為空。必要性：應(yīng)用Farkas-Stiemke引理（參考資料：金融經(jīng)濟學(xué)原理/斯蒂芬.F.勒羅伊StephenF.LeRoy,簡.沃納JanWerner）。2024/4/1228編輯ppt金融2024/4/1229編輯ppt金融金融經(jīng)濟學(xué)第5章

期權(quán)：一個套利定價的例子電話箱地址：huoyanli2014@163.com辦公地點：系辦公室305每周15:20-16:502024/4/1230編輯ppt金融本章概要本章知識點：期權(quán)—定義，分類，價格。提前執(zhí)行—股利，分析股利對執(zhí)行的影響二叉樹期權(quán)定價模型市場的完全化擴展知識點：Black-Scholes期權(quán)定價公式鷹式差價期權(quán)（condorspreads）2024/4/1231編輯ppt金融5.1期權(quán)期權(quán)：在未來一定時期，以約定價格

對標(biāo)的資產(chǎn)進行買賣的權(quán)利。期權(quán)分類：執(zhí)行時間：歐式期權(quán)，美式期權(quán)；權(quán)利：買權(quán)（call，看漲期權(quán)），

賣權(quán)（put，看跌期權(quán)）。相關(guān)術(shù)語：

到期日，執(zhí)行價格，標(biāo)的資產(chǎn)。2024/4/1232編輯ppt金融5.1期權(quán)（續(xù)）期權(quán)在1期的支付

XX0KS0KS

看漲期權(quán)看跌期權(quán)X：期權(quán)的支付；S：標(biāo)的資產(chǎn)的價格；K：執(zhí)行價格。2024/4/1233編輯ppt金融5.1期權(quán)（續(xù)）期權(quán)的價格

是標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在價格S0和執(zhí)行價格K的函數(shù)。內(nèi)在價值（intrinsicvalue，內(nèi)涵價值）

指立即履行合約時可獲得的總利潤。實值（>0），需值（<0），平值（=0）?？礉q期權(quán)：S-K；看跌期權(quán)：K-S。時間價值：期權(quán)價格－內(nèi)在價值隨著到期日的臨近而減少，到期日的時間價值為零看漲期權(quán)看跌期權(quán)歐式期權(quán)c(S0,K)p(S0,K)美式期權(quán)C(S0,K)P(S0,K)2024/4/1234編輯ppt金融5.1期權(quán)（續(xù)）擴展知識點：期權(quán)的立權(quán)人(optionwriter)：期權(quán)的賣出者期權(quán)是買、賣者之間的零和交易期權(quán)的凈頭寸恒為0衍生證券(derivativesecurity)：凈供給為0；支付由其他證券的價格或支付決定。2024/4/1235編輯ppt金融5.2期權(quán)價格的性質(zhì)和界期權(quán)價格的影響因素：1.標(biāo)的資產(chǎn)

價格S和支付X2.期權(quán)的合同條款

到期日(t=1)和執(zhí)行價格K，提前執(zhí)行3.利率

貨幣的時間價值2024/4/1236編輯ppt金融由無套利原理有：定理5.1：c(S,K)和p(S,K)是非負的。定理5.2：c(S,K)對K非增，p(S,K)對K非減。定理5.3：c(S,K)和p(S,K)是K的凸函數(shù)。定理5.4：資產(chǎn)組合的期權(quán)的價值小于組合中各項資產(chǎn)的期權(quán)的組合的價值。定理5.5：S>=c(S,K)。定理5.6：如果存在無風(fēng)險證券，其收益率也就是利率為rF，那么定理5.7：如果存在無風(fēng)險證券且利率為rF，那么2024/4/1237編輯ppt金融利用定價算子V（

）的性質(zhì)證明定理5.5-5.72024/4/1238編輯ppt金融利用定價算子V（

）的性質(zhì)證明定理5.5-5.72024/4/1239編輯ppt金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行美式期權(quán)：到期日之前的任何時刻隨時都可以行權(quán)。期權(quán)持有者只有在他更優(yōu)時才提前執(zhí)行美式期權(quán)的價格永遠不會低于相應(yīng)的歐式期權(quán)的價格：影響提前執(zhí)行的因素：標(biāo)的資產(chǎn)支付的股利2024/4/1240編輯ppt金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）無股利時的提前執(zhí)行：美式看漲期權(quán)的支付：貨幣的時間價值？考慮到期執(zhí)行的現(xiàn)在價值到期日不執(zhí)行的選擇權(quán)結(jié)論：提前執(zhí)行看漲期權(quán)所得到的價值不會高于把它當(dāng)作歐式看漲期權(quán)賣出所得的價值。2024/4/1241編輯ppt金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）無股利時的提前執(zhí)行：美式看跌期權(quán)的支付：K-S考慮兩種情況下的價值：max(K-S,0)，提前執(zhí)行能夠?qū)崿F(xiàn)的價值p(S,K)，不執(zhí)行，持有這份選擇權(quán)的價值最優(yōu)執(zhí)行策略：Max(K-S,p(S,K))結(jié)論：對于美式看跌期權(quán)，沒有股利，

提前執(zhí)行可以是最優(yōu)的.2024/4/1242編輯ppt金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）有股利時的提前執(zhí)行：假設(shè)股票在0期時支付股利D，S為發(fā)放股利后的股價美式看漲期權(quán)持有者在0期有兩個選擇：支付K執(zhí)行期權(quán)，獲得股利后馬上拋出股票，得到D+S-K的收益持有期權(quán)直至1期（到期日）最優(yōu)執(zhí)行策略為：2024/4/1243編輯ppt金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）有股利時的提前執(zhí)行：假設(shè)股票在0期時支付股利D，S為發(fā)放股利后的股價美式看跌期權(quán)持有者在0期有兩個選擇：以執(zhí)行價格K出售股票，得到K-D-S的收益持有期權(quán)直至1期（到期日）最優(yōu)執(zhí)行策略為：2024/4/1244編輯ppt金融5.3美式期權(quán)以及提前執(zhí)行（續(xù)）股利促使持有者，提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)，推遲執(zhí)行美式看跌期權(quán)。在有股利時，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系：2024/4/1245編輯ppt金融5.4完全市場中的期權(quán)定價在風(fēng)險中性的環(huán)境下，金融資產(chǎn)的定價是未來收入現(xiàn)金流的預(yù)期值用無風(fēng)險利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。2024/4/1246編輯ppt金融5.4完全市場中的期權(quán)定價（續(xù)）二叉樹過程股票無風(fēng)險債券uSp1pSB

dS1-p11-p由資產(chǎn)定價基本定理，存在狀態(tài)價格向量，使得2024/4/1247編輯ppt金融5.4完全市場中的期權(quán)定價（續(xù)）二叉樹過程2024/4/1248編輯ppt金融例：用二叉樹法對看漲期權(quán)定價假設(shè)期權(quán)的到期時間為t=1，S=100，u=1.1，d=0.9，K=105，rF=0.05,求c？2024/4/1249編輯ppt金融5.5期權(quán)與市場完全化如果證券市場是完備的，可以用原生證券primarysecurity即標(biāo)的證券和債券的價格為期權(quán)定價。如果市場是不完備的，則期權(quán)可以增進市場的完備性，甚至使市場完備化。完備市場有助于資源的有效配置。2024/4/1250編輯ppt金融5.5期權(quán)與市場完全化（續(xù)）蝴蝶頭寸由同一標(biāo)的證券上的、到期日相同但執(zhí)行價格不同的歐式看漲期權(quán)構(gòu)成的組合買入1份，執(zhí)行價格為K-δ賣出2份，執(zhí)行價格為K買入1份，執(zhí)行價格為K+δ1期支付2024/4/1251編輯ppt金融5.5期權(quán)與市場完全化（續(xù)）鷹式頭寸由同一標(biāo)的證券上的、到期日相同但執(zhí)行價格不同的歐式看漲期權(quán)構(gòu)成的組合買入1份，執(zhí)行價格為K-δ-0.5ε賣出1份，執(zhí)行價格為K-0.5ε賣出1份，執(zhí)行價格為K+0.5ε買入1份，執(zhí)行價格為K+δ+0.5ε1期支付2024/4/1252編輯ppt金融5.5期權(quán)與市場完全化（續(xù)）狀態(tài)指數(shù)證券state-indexsecurity：具有狀態(tài)有別收支（分離支付）的證券2024/4/1253編輯ppt金融5.5期權(quán)與市場完全化（續(xù)）考慮如下Ω只證券組成的組合：買入1份狀態(tài)指數(shù)證券買入以狀態(tài)指數(shù)證券為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價格分別為確X1，X2，…，XΩ-1的歐式看漲期權(quán)（每種期權(quán)買入1份，共Ω-1份）支付矩陣2024/4/1254編輯ppt金融5.5期權(quán)與市場完全化（續(xù)）X滿秩，市場是完備的。以狀態(tài)指數(shù)證券為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)組合可以復(fù)制AD證券。假設(shè)在狀態(tài)1，2，…，Ω時狀態(tài)指數(shù)證券的支付分別為δ，2δ，3δ，…，Ωδ考慮以狀指數(shù)引證券為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價格分別為0，δ，2δ，3δ，…，（Ω-1）δ的看漲期權(quán)組合。其支付矩陣為：2024/4/1255編輯ppt金融5.5期權(quán)與市場完全化（續(xù)）執(zhí)行價(k-1)δ，kδ，(k+1)δ蝴蝶頭寸復(fù)制狀態(tài)k的AD證券，payoff為δ狀態(tài)指數(shù)證券的期權(quán)組合：可復(fù)制任意AD證券AD證券的狀態(tài)價格：期權(quán)組合的現(xiàn)價AD證券可以以二階差分形式的蝶式期權(quán)來復(fù)制2024/4/1256編輯ppt金融擴展知識2024/4/1257編輯ppt金融擴展知識Black-Scholes公式t：到期時間；K:執(zhí)行價格；r：無風(fēng)險利率；S：股票的現(xiàn)價；

：股價波動率；N(

):標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)2024/4/1258編輯ppt金融例：假設(shè)當(dāng)前股票價格為35，執(zhí)行價格為35，無風(fēng)險利率為0.1,到期時間為1年，波動率為0.2。求看漲期權(quán)的價格？4.62024/4/1259編輯ppt金融總結(jié)2024/4/1260編輯ppt金融消費集C非空，總有消費計劃存在；閉性，任何一個消費計劃都可看作消費集X中的一個點，任何一串點的極限也是消費集X中的一個消費計劃。凸性，消費集X中的任何兩個消費計劃c1和c2的任意凸組合都是消費集X中的消費計劃。不消費也是一種消費計劃，。2024/4/1261編輯ppt金融偏好關(guān)系必須滿足如下選擇公理1.完備性，消費集X中的任何兩個消費計劃是可以比較好壞的2.反身性，任何消費計劃都不比自己差3.傳遞性，不會發(fā)生循環(huán)