山東省新高考質(zhì)量檢測聯(lián)盟2024屆高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（A） 含解析

2024屆高三第一次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題（A）

一、單項選擇題：（本大題共8小題；每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是最符合題目要求的）

1.若曲線丁='"'在點（0』）處的切線與直線2x-y+l=°垂直，則a的值為（）

11]

A.——B.——C.4D.1

422

【答案】A

【解析】

【分析】運用導(dǎo)數(shù)幾何意義及導(dǎo)數(shù)公式求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直進而求得〃的值.

【詳解】由題設(shè)，知（0,1）處的切線的斜率為％=-,，

2

又因為y'=2a-e2”,

所以：/|-0=2。=一,，解得“=

24

故選：A.

2.甲、乙兩所學(xué)校各有3名志愿者參加一次公益活動，活動結(jié)束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，

若每排同一個學(xué)校兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有（）

A.36B.72C.144D.288

【答案】B

【解析】

【分析】先求出第一排有2人來自甲校，1人來自乙校，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求出不同的站法種數(shù).同

理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù).然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理，相加即

可得出答案.

【詳解】第一排有2人來自甲校，1人來自乙校：

第一步，從甲校選出2人，有C；=3種選擇方式；

第二步，2人站在兩邊的站法種數(shù)有A；=2；

第三步，從乙校選出1人，有C；=3種選擇方式；

第四步，第二排甲校剩余的1人站中間，乙校剩余的2人站在兩邊的站法種數(shù)有A；=2.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有3x2x3x2=36.

同理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù)有36.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有36+36=72.

故選：B.

3.設(shè)(1+x)+(1+尤)-+?+(1+X)，+(1+X)'—a。+qx++oqx!+ci^x^，則a,=()

A.84B.56C.36D.28

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定的展開式特征，列出々的表達式，再利用組合數(shù)性質(zhì)計算作答.

【詳解】依題意，

“2=C；+C；++C；=C；+C；++C；=C：+C；+—+C；=...=C；+C；=C；=84.

故選：A

4.某醫(yī)院對10名入院人員進行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗需檢驗10次；若采用10合一混管檢

驗，檢驗結(jié)果為陰性則只要檢驗1次，如果檢驗結(jié)果為陽性，就要再全部進行單管檢驗.記10合一混管

檢驗次數(shù)為當EC)=10時，10名人員均為陰性的概率為()

A.0.01B,0.02C.0.1D.0.2

【答案】C

【解析】

【分析】依據(jù)題意寫出隨機變量J的的分布列，利用期望的公式即可求解.

【詳解】設(shè)10人全部為陰性的概率為P,混有陽性的概率為1-，，

若全部陰性，需要檢測1次，若混有陽性，需要檢測11次，

則隨機變量片的分布列

111

PP1-P

￡(J)=p+ll(l-p)=10,解得〃

故選：c.

5.某興趣小組研究光照時長x(h)和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖

所示的散點圖.若去掉0(10,2)后，下列說法正確的是()

%

.￡(8,11)

8(2,6)

J-C(3,5)

7(1抖).0(10,2)

~Ox

A.相關(guān)系數(shù)r變小B.決定系數(shù)此變小

C.殘差平方和變大D.解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強

【答案】D

【解析】

【分析】從圖中分析得到去掉。(10,2)后，回歸效果更好，再由相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，殘差平方和和相

關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷即可.

【詳解】從圖中可以看出。(10,2)較其他點，偏離直線遠，故去掉。(10,2)后，回歸效果更好，

對于A,相關(guān)系數(shù)N越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉0(10,2)后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯

誤；

對于B,決定系數(shù)R2越接近于1,模型的擬合效果越好，若去掉0(10,2)后，決定系數(shù)片變大，故B

錯誤；

對于C,殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉。(10,2)后，殘差平方和變小，故C錯誤；

對于D,若去掉。(10,2)后，解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強，且是正相關(guān)，故D正確.

故選：D.

6.已知事件A8滿足尸(A)=0.5,P(B)=0.2,則()

A.若8三A,則P(AB)=0.5

B.若A與B互斥，則P(A+6)=0.7

C.若A與8相互獨立，則P(入看)=0.9

D.若「(B|A)=0.2,則A與B不相互獨立

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系，互斥事件的概率加法，以及獨立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，

逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A,若3=則P(AB)=P(B)=0.2,所以A錯誤；

對于B,若A與B互斥,則P(A+B)=尸(A)+P(3)=0.7,所以B正確；

對于C,若A與8相互獨立，可得入與否相互獨立，

所以P網(wǎng)=P而.P(B)=(l-0.5)(l-0.2)=0.4,所以C錯誤;

對于D,由尸(B|A)=0.2,可得尸(61A)==.宴)=0-2,

U.2)

所以P(AB)=0.1,所以P(AB)=F(A)P(B),所以A與B相互獨立，所以D錯誤.

故選：B.

7.某人在"次射擊中擊中目標的次數(shù)為X，X3(〃,0),其中〃€?4*,()<〃<1,擊中奇數(shù)次為事件人，

則()

A.若〃=10,。=0.8,則P(X=Q取最大值時％=9

B.當"=(時，O(X)取得最小值

C.當0<p<g時，P(A)隨著"的增大而增大

D,當;<p<l時，P(A)隨著"的增大而減小

【答案】C

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)X3(10,0.8)直接寫出尸(X=A),然后根據(jù)P(X=Z)取最大值列式計算即可

判斷；對于B,根據(jù)X3(〃,p),直接寫出。(X)即可判斷；對于CD,由題意把P(A)表示出來，然后

利用單調(diào)性分析即可.

【詳解】對于選項A,在10次射擊中擊中目標的次數(shù)X8(10,0.8),

當X=k時對應(yīng)的概率P(X=%)=C：。x0.8"x02fM=0,1,2,,10),

因為P/(XK)、取最大值，所P(以X=k}>由P(X=k=-^-\}

fCfox0.8*xo.210^>C^'X0.8&+IX。29M

即〔ClxQ.SkxQ.2'°-k>Cf；x0.8<_,xO.2"-1'

k+124(10-%)

解得,

4(11-A:)>^

因為ZsN且OV無410,所以％=8,即％=8時概率P(X=8)最大.故A不正確;

對于選項B,D(X)=np(l-p)=n一(0一3)+；，當P=；時，O(X)取得最大值，故B不正確；

對于選項C、D,P(X=Q=C：xp*x(l(攵=?！?，2,,?)

；?P(A)=C,Xpix(1-p)"'+C：xp3x(l-p)""+c：xp，x(I-p)""+,

1-P(A)=C：x〃0x(l—〃-2x(1—〃廣2+c：x〃4x(l—〃)一+.,

.p(4)」(l-p)+p]"-[(1-P)一疔」-(l-2p)”

V'22

1/、

當0<p<3時，0<l—2，<1《's卜為正項且單調(diào)遞增的數(shù)歹U,所以P(A)隨著〃的增大而增

22

大,故C正確；

當g<p<l時，一1<1-2，<0,{(1—2，)”}為正負交替的擺動數(shù)列，所以P(A)不會隨著〃的增大而減

小，故D不正確；

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查二項分布及其應(yīng)用，其中求P(A)是難點，關(guān)鍵是能找到其與二項展開式之間

的聯(lián)系.

8.已知函數(shù)/(x)=xlnx,g(x)=xe",若存在f>0，使得/(占)=8(工2)=?成立，則尤|一2々的最

小值為()

A.2-ln4B.2+ln4C.e-ln2D.e+ln2

【答案】A

【解析】

【分析】由題設(shè)知/a)=/(e*)=t,研究f(x)的單調(diào)性及最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合確定》=，〉0、

/(x)的交點個數(shù)得x=ej進而將目標式化為玉-2%=M-21n玉且玉>1,構(gòu)造函數(shù)研究最小值即可.

【詳解】由題設(shè)xjn%=/鏟=e*Ine*=/,即/(%,)=f(eX2)=t,

由/'(x)=l+lnx,則(0,3上尸(x)<(),f(x)遞減；(1,收)上八龍)>0，f(x)遞增；

ee

/(%)>/(-)=--,且/⑴=0,/(X)圖象如下：

ee

由圖知：fe(0,+oo)時，X1=e-,即々=ln玉且%>1,所以玉—2々=%一21n%,

2x-2

令〃(x)=x-21nx且xe(l,+oo),則h'(x)=1——=----，

xx

1cx<2時,〃'(x)<0,1x)遞減;x>2時，h'(x)>0,1x)遞增;

所以〃(x)min=^(2)=2-21n2=2-ln4,即玉-2%的最小值為2-ln4.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用同構(gòu)得到/(%)=/(廿)=/,導(dǎo)數(shù)研究/⑴的性質(zhì)，結(jié)合［6(0,+8)得到

x,=e"為關(guān)鍵.

二、多項選擇題：(本大題共4小題；每小題4分，共16分.每小題有多個選項符合題目

求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分)

9.“天宮課堂”是為發(fā)揮中國空間站的綜合效益，推出的首個太空科普教育品牌.為了解學(xué)生對“天宮課堂”

的喜愛程度，某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機抽取200名學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)，則()

不喜歡天宮課

喜歡天宮課堂

堂

男生8020

女生7030

n^ad-bc^'

參考公式及數(shù)據(jù)：①/2=〃二0+人+0+4.②當夕二^^^時,

(a+0)(c+d)(a+c)(O+d)

%=3.841.

2

A.從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率為《

9

B.用樣本的頻率估計概率，從全校學(xué)生中任選3人，恰有2人不喜歡天宮課堂的概率為一

64

C.根據(jù)小概率值。=0.05的獨立性檢驗，認為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)

D.對抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生進行天文知識測試，男生的平均成績?yōu)?0,女生的平均成績?yōu)?0,則

參加測試的學(xué)生成績的均值為85

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式判斷A,首先求出樣本中喜歡天宮課堂的頻率，再根據(jù)獨立重復(fù)試驗的

概率公式判斷B,計算出卡方，即可判斷C,根據(jù)平均公式判斷D.

【詳解】對于A：從這200名學(xué)生中任選1人，已知選到的是男生，則他喜歡天宮課堂的概率

804

P=--故A錯誤:

80+20

QHI7()3

對于B：樣本中喜歡天宮課堂的頻率空~從全校學(xué)生中任選3人,

2004

恰有2人不喜歡天宮課堂的概率片=C；(1-39

X—=故B正確;

464

對于,因…端-

所以根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，認為喜歡天宮課堂與性別沒有關(guān)聯(lián)，故C正確;

對于D：抽取的喜歡天宮課堂的學(xué)生男、女生人數(shù)分別為80、70,

又男生的平均成績?yōu)?0,女生的平均成績?yōu)?0,所以參加測試的學(xué)生成績的均值為

80x80+70x90254

故D錯誤;

80+70―亍

故選：BC

10.隨機變量自的分布列如表：其中孫工0,下列說法正確的是()

012

PXz

3

B.石⑷號

A.x+y=l

c.。（3有最大值D.。傳）隨y的增大而減小

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用分布列的性質(zhì)以及期望與方差公式，列出表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷選項的正誤即可.

【詳解】由題意可知x+2+互=1,即x+y=l,故A正確;

33

E（J）=0xx+lx]+2xg=m，故B正確；

。偌）=

252；

（1一~—y+3y，

3

因為孫。0,x+y=\,易得0<y<l,

2527

而〃y）=gV+By開口向下,對稱軸為＞=而

所以/（y）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

27

故/（y）在y=否處取得最大值,

27

所以。傳）隨著〉的增大先增大后減小，當丁=石時取得最大值，故C正確，D錯誤.

故選：ABC.

11.設(shè)甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再

從乙袋中任取2球，記事件A="從甲袋中任取1球是紅球”，記事件8="從乙袋中任取2球全是白

球”，則（）

9

A.事件A與事件B相互獨立B.P（B）=

14

13

C.P（A⑻ngD.P（而）

-14

【答案】CD

【解析】

【分析】由古典概型概率計算公式，以及條件概率公式分項求解判斷即可.

【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知：

從甲袋中任取1球?qū)σ掖腥稳?球有影響，事件A與事件8不是相互獨立關(guān)系，故A錯誤;

34

從甲袋中任取1球是紅球的概率為：P（A）=］，從甲袋中任取1球是白球的概率為:

7

所以乙袋中任取2球全是白球的概率為:

c'c2c'c2175

P(B)=%+斗￡=故B錯誤;

(7C；C；C；C；14714

C?z.\P（AB）1141

P（A8）=所以P（A，）=尢/=1；'二=于故?正確;

P(而)=1—P(4?)=l—\=j|,故D正確.

故選：CD

12.已知a,beR,/(x)=e*—ax,g(x)=/?Jx2+1，則()

A.對于任意的實數(shù)存在使得/（X）與g（x）有互相平行的切線

B.對于給定的實數(shù)小,存在以兒使得g（%）之"/）成立

C.丁=/（力一<?（"在［0,+心）上的最小值為0,則〃+后的最大值為2公

D.存在久〃，使得V（X）-^（x）|<e2+2對于任意xeR恒成立

【答案】ABC

【解析】

［分析］時于A,對兩函數(shù)求導(dǎo)，再求出導(dǎo)函數(shù)的值域,由兩值域的關(guān)系分析判斷，對于B,由g（X。）N/（%）

可得。27孑黃，從而可判斷，對于C,令〃（x）=/（x）-g（x）,再由>0可得。+份42癡，

由題意設(shè)方為力（力的極小值點，然后列方程表示出。力，從而可用廝表示a+麻，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)

數(shù)可證得結(jié)論，對于D,根據(jù)函數(shù)值的變化情況分析判斷.

bx

【詳解】對于A,f'(x)^e-a>-a,g\x)=-=

Vx2+1

當短。時，卜島"向?一瓦網(wǎng))，

當X<0時，g'3=7^…瓦=-Z?j^?一跳附，

綜上，g'(x)e(-網(wǎng)J加，

所以對于任意的實數(shù)。，存在/?,使(-。,欣)與(-網(wǎng),網(wǎng))有交集，

所以對于任意的實數(shù)。，存在。，使得/(x)與g(x)有互相平行的切線，所以A正確,

對于B,由于給定的實數(shù)%,當。給定時，則/(々))為定值，由g(Xo)N”Xo)，得

%/焉+12e與一”，bNj.+］，所以存在b使上式成立，所以B正確，

對于C,^h^x)=/(x)-g(x)=ex-ar-Z?>/x24-l,而

7/f—=e^——a—^-h=Ve^+V5Z?j,

12,222

由題意可知，當xe［0,+oo)時，〃(x)20恒成立，所以〃(g)20,

所以加一,卜+行人卜。，即a+&Z>42加，

若/z(x)在［0,+8)上遞增，

因為〃(%)=-g(x)在［0,+8)上的最小值為0,

所以〃(0)=1—8=0,得b=l,

所以人⑺=e*—依一Vx2+1，則/(x)=e*-a---=N0在［0,+。)上恒成立,

元

即e>"J21Na在1°，+°°)上恒成立，

2

令d-7^(x2。)，則?x)=e-T+7220(x20),

V廠+1(x+Ijyjx+1

所以f(X)在［0,+。)上單調(diào)遞增,

所以(x)N[O)=l,所以a<l,

所以a+后b=a+后W1+也<2廄,

若〃（%）在［0,+。）上不單調(diào)，

因為〃（X）=/（X）-g（%）在［0,+8）上的最小值為0,

所以設(shè)修為〃（x）的極小值點，則

hM=^-axo-b,[x^=O3=回片7。+1)

、一心bx_,解得__,

〃(x°)=er0==°n1=e』(l一%)4rT

所以Q+(x；+1)+6e*。(l-x0)&+l

由得

“(Xo)=o,x()e*"x0+l-\[5y[x^+l+>/5(1-x0)=0,

x0=0或％++1+石（I—/）e~==0,

?+1

解得入0=。，或Xo=-1（舍去），或工0=-5（舍去），或不=5,

當O<Xo<g時，（P（XO）>O,當時，0（工0）<°，

所以夕（用）在上遞增，在［g,+8）上遞減,

2^e,

綜上〃+回42五，所以C正確，

對于D,./(%)-^(x)=eA-ax—b\/x2+1,當x->+°°時，f(x)—g(^)—>+°o,所以D錯誤,

故選：ABC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對

/7（%）=。

于選項C解題的關(guān)鍵是由題意設(shè)%為/z（x）的極小值點,則《求出a,b,則可表示出a+痘

“（X。）=0

再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學(xué)校門口現(xiàn)有2輛共享電動單車，8輛共享自行車.現(xiàn)從中一次性隨機租用3輛，則恰好有2輛共享

自行車被租用的概率為.

7

【答案】—

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型列式結(jié)合組合數(shù)計算求解概率即可.

【詳解】恰好有2輛共享自行車被租用的概率為P=告?=---=—

°JL/U1J

,7

故答案為：—.

14.若（3x—4）=4+4（尤-1）HF%1），則4+2%+3a3+4a4+5a5=-

【答案】240

【解析】

【分析】觀察已知條件，通過求導(dǎo)賦值構(gòu)造出式子4+24+3%+4%+5%計算即可.

【詳解】已知（3x—4）5=%+4（x—1）+…+%（x—if，對式子兩邊同時求導(dǎo)，

得15（3x_4）=q+2a,（x_l）+3t?3（x—1）一+—?+5%（x—1），

4

令x=2,得15x（3x2-4）=q+2a2H---------卜5%-240.

故答案為：240

15.某校高二學(xué)生的一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布N（100,IO?）,從中抽取一個同學(xué)

的數(shù)學(xué)成績X,記該同學(xué)的成績80<X4100為事件A,記該同學(xué)的成績70<X<90為事件B,則在

A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P（B\A）=.（結(jié)果用分數(shù)表示）

附參考數(shù)據(jù)：尸（〃一crvX<〃+cr）20.68,P{/n-2a<X<ju+2cr）?0.95.

【答案■

【解析】

【分析】利用正態(tài)分布性質(zhì)和條件概率公式求解即可.

【詳解】由題知，

事件A6為''記該同學(xué)的成績80<X<90",

因為〃—2cr=100—20=80,100—10=90,

0os0.68_27

所以尸(AB)=P(〃-2b<X?〃一cr)a彳

-I--200

oQ51Q

又P(A)=P(〃-2<T<X<〃卜石-=和

P(AB)274027

所以P(aA)------7v~~--------X-

P(A)2001995

故答案為：w

16.f(<x)=x\nx+x2-rwc+^~x>0,則實數(shù)加最大值為.

【答案】3

【解析】

【分析】二次求導(dǎo)，結(jié)合隱零點得到方程與不等式，變形后得到(九0+1乂/』一/)之0,從而匕2。。之小,

lnx0<2-x0,代入加=111工0+2工0+1-62一項，得到加的最大值.

【詳解】f[x^=xlnx+x2-tvx+^~x>0,定義域為x￡(0,+oo),

則/'(%)=lnx+2x+l-m-e2-A,

令/z(x)=lnx+2x+l-w-e2T,

則〃(x)=，+2+e2r>0,h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

且X—>0時，〃(x)—>—8,當X—>+00時，〃(％)—>+8

.?.切G(o,+<x>),使得網(wǎng)飛)=0,即r(/)=o.

當xe(O,Xo)時/'(x)<0,當XG(如+00)時f(x)>0,

故/(x)在xe(O,Xo)上單調(diào)遞減，在xe(為，+<?)上單調(diào)遞增,

所以“冷血二/5六/岳與+片一叫+e2rl20②，

由/'（玉）=0得In/+2%+1-機—e?-陽=0①，

即/”=Inx。+2%o+l-e?』，代入②得，玉）In與+片—（in玉）+2x<）+1—e*-M）/+e2-&N0,

整理得伉+。卜2』一面）20

x0+l>0,

2-

e^>x0,

/.Inx0<2-x0,

加=InXQ+2x0+1一e"<2—x（）+2x（）+1—x（）=3,

故加的最大值為3.

故答案為：3

【點睛】隱零點的處理思路：

第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)

間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；

第二步：虛設(shè)零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替

換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)生物遺傳學(xué)的過程中，為驗證高爾頓提出的關(guān)于兒子成年后身高y（單

位：cm）與父親身高工（單位：cm）之間的關(guān)系及存在的遺傳規(guī)律，隨機抽取了5對父子的身高數(shù)

據(jù)，如下表：

父親身高X160170175185190

兒子身高y170174175180186

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子

比父親矮的條件，由此可得到怎樣的遺傳規(guī)律？

（2）記々=%—y=y——3,（i=1,2,?，/），其中%為觀測值,%為預(yù)測值，的為對應(yīng)（王，%）的

殘差.求（1）中兒子身高的殘差的和、并探究這個結(jié)果是否對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量都成立？

若成立加以證明；若不成立說明理由.

5555

參考數(shù)據(jù)及公式：=880,=155450,=885,=156045

i=\i=li=]/=!

可（X-刃

b=上---------------,a=y-bx.

ZU--）2

/=1

【答案】（1）y=0.5x+89，x<178時，兒子比父親高；x>178時，兒子比父親矮，

兒子身高有一個回歸，回歸到全種群平均高度的趨勢.

（2）0；任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量￡6=0,證明見解析

1=1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程，解不等式可得到結(jié)論：

（2）結(jié)合題中數(shù)據(jù)進行計算，可求得兒子身高殘差的和，從而可得結(jié)論，結(jié)合回歸方程系數(shù)的計算公式

即可證明.

小問1詳解】

，皿工冊—160+170+175+185+190170+174+175+180+186

由題意得x=-------------------=176,y=--------------------=177,

5

二1，一5個156045-5x176x177156045-155760285…

b=--------=-----------------=--------------=---=05

2

￡2u—2155450-5X176155450-154880570

~5x

i=l

4=9—^=177—0.5x176=89,所以回歸直線方程為y=0.5x+89，

令0.5x+89-x>0得x<178,即x<178時，兒子比父親高；

令0.5X—89-x<0得x>178,即x>178時，兒子比父親矮，

可得當父親身高較高時，兒子平均身高要矮于父親，即兒子身高有一個回歸，回歸到全種群平均高度的

趨勢.

【小問2詳解】

由y=0.5x+89可得y=0.5x160+89=169,y2=174,乃=176.5,y4=181.5,K=184,

5

所以Z少=885,

i=l

55555

又￡%=885,所以W（X-X）=EX-Ex=0,

/=!/=1/=1i=li=l

結(jié)論：對任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量16=0,

/=1

證明：-a)=Yiyi-b^xi-na=riy-nbx-n(y-bx)=O.

z=lz=lX=i'i=li=l

18.已知函數(shù)/(工)=。"一。，8(工)=111(%+0),其中aeR.

(1)討論方程“》)=》實數(shù)解的個數(shù)；

(2)當x±l時，不等式/(x)三g(x)恒成立，求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)(―l,e—1]

【解析】

【分析】(1)由“X)=x即方程e'—a=x有沒有解的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=e*-x—a與x軸有沒有交點

問題，分類討論即可得出結(jié)果.

(2)不等式/(X)士g(x)可化為：e*—aNIn(x+a),x>—a,就—l<a<—1H—、aN—1H—分類討

ee

論后可得參數(shù)的取值范圍.

【小問1詳解】

由/(x)=x可得，e'-a=x，

☆s(x)=e*-x-a,s'(x)=e*-l,令y'=0,可得x=0,

當XG(-oo,0),s'(x)<0,函數(shù)s(x)單調(diào)遞減，

當XW(O,+8),S'(X)>O,函數(shù)s(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)s(x)在x=0時取得最小值1一。，

所以當a<1時，方程〃X)=X無實數(shù)解，

當。=1時，方程/(力=》有一個實數(shù)解，

當a>l時,l-a<0,故s(x)疝口<0,

而s(-a)=e—">0,s(a)=e"-2a,

設(shè)“(a)=e"—2aM>1,則〃'(a)=e"—2>0,

故”(a)在(1,+R)上為增函數(shù)，故"(。)>"(1)=6-2>0,

故s(x)有兩個零點即方程“X)=》有兩個實數(shù)解.

【小問2詳解】

由題意可知，

不等式/(x)之g(x)可化為，er-a>\n(x+a),x>-a,

即當時，e'-In(x+?)-ez>01?

所以—av1>即ci>—1,

令力(x)=er-ln(x+a)-a,/(x)=e"————,

則〃'(x)在[1,內(nèi))上單調(diào)遞增，而“⑴=e-土，

當力⑴之0即〃之一1+4時,"(x"O,/z(x)在[1,400)上單調(diào)遞增,

故/z(x)nin=〃(1)=.一功(1+々)—々，

e-ln(l+a)-a>0

由題設(shè)可得41,

a>——

e

設(shè)u(a)=e-ln(l+a)-Q,則該函數(shù)在(一￡,+8)上為減函數(shù)，

而u(e-l)=0,故一，<a<e-l.

e

當人(1)<0即_]<Q<_1+(時，因為“(14+1)=ew+,一同+；+J0,

故h\x)在(1,y)上有且只有一個零點x0,

當1<了<毛時，而x>玉)時，/Z(x)>0,

故/z(x)在(1,%))上為減函數(shù)，在(龍0,+8)上為增函數(shù)，

故。(1)“而=1"-111(天)+々)一〃20,

]

而e"故x()=-ln(Xo+a),故e&+Xo-aNO

因為玉)>1,故e~+x°>l+e〉”，故一1<。<一1+」符合,

e

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍為(—l,e-1].

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,

考查函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題.

19.已知甲箱、乙箱均有6件產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品.

(1)現(xiàn)從甲箱中隨機抽取兩件產(chǎn)品放入乙箱，再從乙箱中隨機抽取一件產(chǎn)品，求從乙箱中抽取的這件產(chǎn)

品恰好是次品的概率；

(2)現(xiàn)需要通過檢測將甲箱中的次品找出來，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到能將次品全

部找出時檢測結(jié)束，已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用15元，設(shè)X表示能找出甲箱中的所有次品時所需要的

檢測費用(單位：元)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)—

24

(2)分布列見解析，E(X)=64

【解析】

【分析】(I)由全概率公式計算從乙箱中抽取的這件產(chǎn)品恰好是次品的概率；

(2)計算X所有可能取值的概率，進而列出分布列，計算期望.

【小問1詳解】

設(shè)A="從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為正品"，B="從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品為一件正品，一件次品"，C=

"從甲箱中抽取的兩件產(chǎn)品均為次品"，"從乙箱中抽取的一件產(chǎn)品為次品"，由全概率公式，

得P(D)=P(A)xP(D\A)+P(B)xP(D\B)+P(C)xP(D|C)

C；3C；C'4C?511

=-yX--1-----X--1---X—=--.

c：8C；8C；824

【小問2詳解】

X的所有可能取值為30,45,60,75.

則p(x=3。)嚏q；

P(X=45)=^L《；

唳=60)=與+&*」

、615

C；C：A：_8

p(X=75)=

A：15

所以X的分布列為

X30456075

1248

r

15151515

i248

x的數(shù)學(xué)期望E(X)=30x—+45x—+60x—+75x—=64(元).

20.已知函數(shù)/(%)=*-欣-lna-1有三個零點.

CD求。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/(X)的三個零點由小到大依次是玉,X2，七?證明：ae">e.

【答案】(1)a>\

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)xN2,0<x<2分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，確定零點個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，研究函

數(shù)值的符號即可得到導(dǎo)函數(shù)的符號，即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定零點個數(shù)；

(2)把原函數(shù)有三個零點轉(zhuǎn)化為匕竺=皿竺D有三個根，構(gòu)造r(x)="竺，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，

eAaexx

1

結(jié)合根的分布得aeX]=e',aex3=e”,要證ae*內(nèi)>e，等價于證工用>2-女，

等價于XI+X3>1+Z,構(gòu)造函數(shù)從而證明q(%3)>](1+左一%)，即證ef—1+1叫<0,^G(0,1),

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性即可證明.

【小問1詳解】

因為/(x)定義域為(0,+8),又引(%)「』,(2/一巧―%〉。),

(i)當xZ2J，(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

5)當X?0,2),記8(力=專=，則g，(力業(yè)2*1,

當xe(0,l),g'(x)>0；當xe(l,2),g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，g(x)Wg⑴=1,

又g(0)=(),g(2)=0,所以0<g(x)Wl,

①當ae(O』,/'(x)WO,則/(x)單調(diào)遞減，至多一個零點，與題設(shè)矛盾；

②當，,八”卜⑴―j，由(止)知，尸(x)有兩個零點，

a>\,f(x)=-------\/

記廣(X)兩零點為九"，且

則/(X)在(0,加)上單調(diào)遞減，在(〃?,〃)上單調(diào)遞增，在(〃,+<?)上單調(diào)遞減，

因為/(?)>/(1)>0,令p(x)=xe1-x,(0<x<1),則y(x)=(l-x)el-Jt>0,(0<x<1),

1f1A]i-l1i-l

所以_=—e?-l<-e1-1=0,

a\a)a1

所以/(〃)>0,/(6)<0,且x趨近0,/(x)趨近于正無窮大，x趨近正無窮大，/(x)趨近負無窮

大，

所以函數(shù)/(另有三零點，

綜上所述，6?>1；

【小問2詳解】

/(x)=0等價于處=她也，即世J(aex),

e*xevaex

令r(x)=叵，則(力=與竺，

XX

所以，X)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

由(1)可得不<—<x<1<x,則aex<e,ex,<e,aex>e,e">e,

a2313

所以E(qexJ=/(e"=/(e*3),所以ae玉=e\ae%3=ex?,

x-lar,=Inetz=k

則為，M滿足<,k>\,

x3—lnx3=Ine^z=k

要證ae*3>e，等價于證X七>2一女，

易知《，令<7(x)=x-lnx,則d(x)=----,

X-y—IILXO=KX

令q'(x)<0得0<x<l,令q'(x)>0得尤>1,

所以函數(shù)q(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,卡a)上單調(diào)遞增，

下面證明玉+工3>1+左，由玉<1〈七，即證4（F）>鄉(xiāng)（1+左一項），

即證k>1+%—Xj—ln（l+左一xj,

即證0>1_司_ln（l+x-In%-玉）=1一%-ln（l_lnxj,

即證-1+lnX]<0,2G（0,1）,

令c（x）=ei-l+lnx,x￡（0,l）,c（x）=—,

☆y=—xei+l,則y'=（x-l）eir<0,（x￡（0,l））,所以y=—心『'+1〉0,

_“1—X_L1

所以d（九）:一_〉0，則c（x）<c⑴=0,所以eF—l+l叫<0,石?0,1）,

x

所以Xi+工3>1+左，所以MW-121叫工3=xl+x3-2k>\+k-2k=l-k,

所以玉當>2-左，所以原命題得證.

【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：

（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確

定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以

通過構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想

研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

21.5G網(wǎng)絡(luò)是新一輪科技革命最具代表性的技術(shù)之一.已知某精密設(shè)備制造企業(yè)加工5G零件，根據(jù)長期檢

測結(jié)果，得知該5G零件設(shè)備生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布N（〃,b2）.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中

隨機抽取100件、測得產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖.根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，質(zhì)量指標值樣本數(shù)

據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)元作為4的近似值，用樣本標準差s作為o■的估計值.已知質(zhì)量

指標值不低于70的樣品數(shù)為25件.

頻率

附：P(/z-cr<X<//+cr)?0.683,P(/.i-2(j<X</.i+2a)?0.954,

P(〃-3bWX<〃+3b)a0.997.

(1)求亍(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

(2)若質(zhì)量指標值在［54,84］內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；

(3)已知該企業(yè)的5G生產(chǎn)線的質(zhì)量控制系統(tǒng)由〃(〃wN,〃23)個控制單元組成，每個控制單元正常工

作的概率為p(0<〃<1),各個控制單元之間相互獨立，當至少一半以上控制單元正常工作時，該生產(chǎn)線

正常運行生產(chǎn).若再增加1個控制單元，試分析該生產(chǎn)線正常運行概率是否增加？并說明理由.

【答案】(1)64

(2)0.819

(3)質(zhì)量控制系統(tǒng)有奇數(shù)個控制單元，增加1個控制單元設(shè)備正常工作的概率變??；質(zhì)量控制系統(tǒng)有偶數(shù)

個控制單元，增加1個控制單元設(shè)備正常工作的概