高考數學理北師大版一輪復習測評2-8函數與方程

核心素養(yǎng)測評十一函數與方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數f(x)=2xQUOTEa的一個零點在區(qū)間(1,2)內,則實數a的取值范圍是()A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)【解析】選C.因為f(x)在(0,+∞)上是增函數,則由題意得f(1)·f(2)=(0a)(3a)<0,解得0<a<3.2.已知函數f(x)=QUOTElog3x,若實數x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,則f(x1)的值 ()A.恒為負 B.等于零C.恒為正 D.不大于零【解析】選A.由于函數f(x)=QUOTElog3x在定義域內是減函數,于是,若f(x0)=0,當x0<x1時,一定有f(x1)<0.3.(2018·全國卷Ⅰ)已知函數fQUOTE=QUOTEgQUOTE=fQUOTE+x+a,若gQUOTE存在2個零點,則a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為g(x)=f(x)+x+a存在2個零點,即y=f(x)與y=xa有兩個交點,圖像如下:要使得y=xa與f(x)有兩個交點,則有a≤1即a≥1.4.(2020·福州模擬)已知f(x)=QUOTE則方程f(f(x))=3的根的個數是 ()A.6 B.5 C.4 D.3【解析】選B.令f(x)=t,則方程f(f(x))=3即為f(t)=3,解得t=e3或e3,作出函數f(x)的圖像(圖略),由圖像可知方程f(x)=e3有3個解,f(x)=e3有2個解,則方程f(f(x))=3有5個實根.5.已知a,b,c,d都是常數,a>b,c>d.若f(x)=2020(xa)(xb)的零點為c,d,則下列不等式正確的是 導學號()A.a>c>b>d B.a>b>c>dC.c>d>a>b D.c>a>b>d【解析】選D.f(x)=2020(xa)(xb)=x2+(a+b)xab+2020,又f(a)=f(b)=2020,c,d為函數f(x)的零點,且a>b,c>d,所以可在平面直角坐標系中作出函數f(x)的大致圖像,如圖所示,由圖可知c>a>b>d.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2018·全國卷Ⅲ)函數f(x)=cosQUOTE在QUOTE上的零點個數為________________.

【解析】令f(x)=cosQUOTE=0,得3x+QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),即x=QUOTE+QUOTEkπ,當k=0時,x=QUOTE∈[0,π],當k=1時,x=QUOTE∈[0,π],當k=2時,x=QUOTE∈[0,π],所以f(x)=cosQUOTE在[0,π]上零點的個數為3.答案:37.已知函數f(x)=QUOTE若函數g(x)=f(x)m有3個零點,則實數m的取值范圍是________________.

【解析】函數g(x)=f(x)m有3個零點,轉化為f(x)m=0的根有3個,進而轉化為y=f(x),y=m的交點有3個.畫出函數y=f(x)的圖像,則直線y=m與其有3個公共點.又拋物線的頂點為(1,1),由圖可知實數m的取值范圍是(0,1).答案:(0,1)8.設函數y=x3與y=QUOTE的圖像的交點為(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,則x0所在的區(qū)間是________________. 導學號

【解析】設f(x)=x3QUOTE,則x0是函數f(x)的零點,在同一平面直角坐標系下作出函數y=x3與y=QUOTE的圖像如圖所示.因為f(1)=1QUOTE=1<0,f(2)=8QUOTE=7>0,所以f(1)·f(2)<0,所以x0∈(1,2).答案:(1,2)三、解答題(每小題10分,共20分)9.設函數f(x)=QUOTE(x>0).(1)作出函數f(x)的圖像.(2)當0<a<b,且f(a)=f(b)時,求QUOTE+QUOTE的值.(3)若方程f(x)=m有兩個不相等的正根,求m的取值范圍.【解析】(1)如圖所示.(2)因為f(x)=QUOTE=QUOTE故f(x)在(0,1]上是減函數,而在(1,+∞)上是增函數.由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,且QUOTE1=1QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=2.(3)由函數f(x)的圖像可知,當0<m<1時,函數f(x)的圖像與直線y=m有兩個不同的交點,即方程f(x)=m有兩個不相等的正根.10.已知二次函數f(x)=x2+(2a1)x+12a,(1)判斷命題:“對于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實數根”的真假,并寫出判斷過程.(2)若y=f(x)在區(qū)間(1,0)及QUOTE內各有一個零點,求實數a的取值范圍. 導學號【解析】(1)“對于任意的a∈R,方程f(x)=1必有實數根”是真命題.依題意,f(x)=1有實根,即x2+(2a1)x2a=0有實根,因為Δ=(2a1)2+8a=(2a+1)2≥0對于任意的a∈R恒成立,即x2+(2a1)x2a=0必有實根,從而f(x)=1必有實根.(2)依題意,要使y=f(x)在區(qū)間(1,0)及QUOTE內各有一個零點,只需QUOTE即QUOTE解得QUOTE<a<QUOTE.故實數a的取值范圍為QUOTE.(15分鐘35分)1.(5分)函數f(x)=(x+1)lnx1的零點有 ()A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解析】選B.由f(x)=(x+1)lnx1=0,得lnx=QUOTE,作出函數y=lnx,y=QUOTE的圖像如圖,由圖像可知交點個數為1,即函數的零點個數為1.2.(5分)(2019·鄭州模擬)設m∈N,若函數f(x)=2xmQUOTE+10存在整數零點,則符合條件的m的取值個數為 ()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選C.令f(x)=0,得2x+10=mQUOTE,則有5≤x≤10,因為m∈N,x∈Z,所以當m≠0時,QUOTE∈N,所以x可以取1,6,9,10,相對應m的值為4,11,28(其中x=10時m的值不存在),又當m=0,x=5也符合,所以符合條件的m的值共有4個,選C.3.(5分)(2020·黃岡模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x+2)=f(x).當x∈[0,1]時,f(x)=2x1,則函數g(x)=(x2)f(x)1在區(qū)間[3,6]上的所有零點之和為 ()導學號A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選D.由題意得,f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),即函數f(x)的周期為4.因為f(x+2)=f(x),所以f(x)的圖像關于x=1對稱.作出f(x)圖像如圖所示,函數g(x)=(x2)f(x)1的零點即為y=f(x)圖像與y=QUOTE圖像的交點的橫坐標,四個交點分別關于點(2,0)對稱,則x1+x4=4,x2+x3=4,即零點之和為8,故選D.【變式備選】已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,當x≥0時,f(x)=a|x2|a,其中a為常數,且a>0.若函數y=f(f(x))有10個零點,則實數a的取值范圍是________________.

【解析】當x≥0時,令f(x)=0,得|x2|=1,即x=1或x=3.因為f(x)是偶函數,則f(x)的零點為x=±1和x=±3,作出函數y=f(x)的大致圖像如圖所示.令f(f(x))=0,則f(x)=±1或f(x)=±3.因為函數y=f(f(x))有10個零點,則函數y=f(x)的圖像與直線y=±1和y=±3共有10個交點.由圖可知,1<a<3.答案:(1,3)4.(10分)已知函數f(x)=x22x,g(x)=QUOTE(1)求g(f(1))的值.(2)若方程g(f(x))a=0有4個不同的實數根,求實數a的取值范圍. 導學號【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(3)=3+1=2.(2)令f(x)=t,則原方程化為g(t)=a,易知方程f(x)=t在(∞,1)上有2個不同的解,則原方程有4個解等價于函數y=g(t)(t<1)與y=a的圖像有2個不同的交點,作出函數y=g(t)(t<1)的圖像如圖,由圖像可知,當1≤a<QUOTE時,函數y=g(t)(t<1)與y=a有2個不同的交點,即所求a的取值范圍是QUOTE.5.(10分)已知函數f(x)=x2+2ex+m1,g(x)=x+QUOTE(x>0).(1)若g(x)=m有零點,求m的取值范圍.(2)確定m的取值范圍,使得函數F(x)=g(x)f(x)有兩個不同的零點. 導學號【解析】(1)因為g(x)=x+QUOTE≥2QUOTE=2e,等號成立的條件是x=e,故g(x)的值域為[2e,+∞),因而只需m≥2e,則g(x)=m就有零點,即m的取值范圍為[2e,+∞).(2)函數F(x)=g(x)f(x)有兩個不同的零點,即g(x)f(x)=0有兩個相異的實根,即g(x)與f(x)的圖像有兩個不同的交點,作出g(x)=x+QUOTE(x>0)的圖像.因為f(x)=x2+2ex+m1=(xe)2+m1+e2,其對稱軸為x=e,開口向下,最大值為m1+e2,故當m1+e2>2e,即m>e2+2e+1時,g(x)與f(x)有兩個交點,即g(x)f(x)=0有兩個相異實根.所以m的取值范圍是(e2+2e+1,+∞).1.(2019·濟南模擬)已知函數f(x)=exex+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三個不同的實根x1,x2,x3,則x1+x2+x3=________________.

【解析】f(x)=kx+4(k>0),即exex=kx,所以y1=exex與y2=kx有三個不同的交點,且都是奇函數.因此x1+x2+x3=0.答案:02.(2020·嘉興模擬)已知函數f(x)=|x2k|,x∈[2k1,2k+1](k∈Z),則函數g(x)=f(x)lgx的零點個數是 導學號()A.5 B.7 C.9 D.11【解析】選C.函數g(x)=f(x)lgx的零點轉化為y=lgx與y=f(x)的交點,給k賦值,作出函數y=f(x)及y=lgx的圖像,從圖像上看,共有9個交點,所以函數g(x)的零點共有9個,故選C.【變式備選】函數f(x)的定義域為實數集R,且f(x)=QUOTE對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x2).若在區(qū)間[5,3]上