基本不等式的應(yīng)用(一)

3.4.2基本不等式地應(yīng)用<一）從容說課通過本節(jié)課地學(xué)習(xí),讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)基本不等式地重要性,進(jìn)一步領(lǐng)悟不等式證明地基本思路、方法.這為下面基本不等式地實(shí)際應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)地基礎(chǔ),所以說,本節(jié)課研究?jī)?nèi)容在本大節(jié)中是起承上啟下作用.在本節(jié)課地研究中,將由基本不等式推導(dǎo)出許多結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔地重要不等式,讓學(xué)生去體會(huì)數(shù)學(xué)地簡(jiǎn)潔美與推理過程地嚴(yán)謹(jǐn)美.從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)地?zé)釔酆蛯Ｑ?進(jìn)而讓學(xué)生地?cái)?shù)學(xué)邏輯思維能力及邏輯關(guān)系地分析能力得到鍛煉與培養(yǎng),這方面也是貫穿學(xué)生地整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.b5E2RGbCAP根據(jù)本節(jié)課地教案內(nèi)容,應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,對(duì)基本不等式展開應(yīng)用,進(jìn)行啟發(fā)、探究式教案并使用投影儀輔助.p1EanqFDPw利用基本不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式,鞏固強(qiáng)化基本不等式.以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,對(duì)學(xué)生地邏輯思維能力,各種思想方法地掌握,進(jìn)而提高學(xué)生地?cái)?shù)學(xué)素質(zhì)與數(shù)學(xué)素養(yǎng),這是高中數(shù)學(xué)教案地一項(xiàng)主要任務(wù).在本節(jié)課地教案過程中,對(duì)一些不等式地證明不是直接給出,而是以設(shè)問方式地變化,引導(dǎo)學(xué)生思考,通過由特殊到一般地探索規(guī)律去解決問題.DXDiTa9E3d教案重點(diǎn)1.利用基本不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式,鞏固強(qiáng)化基本不等式；2.對(duì)不等式證明過程地嚴(yán)謹(jǐn)而又規(guī)范地表達(dá)；3.從不等式地證明過程去體會(huì)分析法與綜合法地證明思路.教案難點(diǎn)1.利用基本不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式,鞏固強(qiáng)化基本不等式；2.對(duì)不等式證明過程地嚴(yán)謹(jǐn)而又規(guī)范地表達(dá)；3.從不等式地證明過程去體會(huì)分析法與綜合法地證明思路.教具準(zhǔn)備投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1.利用基本不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式,鞏固強(qiáng)化基本不等式；2.從不等式地證明過程去體會(huì)分析法與綜合法地證明思路；3.對(duì)不等式證明過程地嚴(yán)謹(jǐn)而又規(guī)范地表達(dá).二、過程與方法1.采用探究法,按照聯(lián)想、類比、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用地方法進(jìn)行啟發(fā)式教案；2.教師提供問題、素材,并及時(shí)點(diǎn)撥,發(fā)揮老師地主導(dǎo)作用和學(xué)生地主體作用；3.設(shè)計(jì)較典型地具有挑戰(zhàn)性地問題,激發(fā)學(xué)生去積極思考,從而培養(yǎng)他們地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過具體問題地解決,讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)不等式地證明過程需要從理性地角度去思考,通過設(shè)置思考項(xiàng),讓學(xué)生探究,層層鋪設(shè),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好地思維習(xí)慣；RTCrpUDGiT2.學(xué)習(xí)過程中,通過對(duì)問題地探究思考,廣泛參與,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮季S習(xí)慣,主動(dòng)、積極地學(xué)習(xí)品質(zhì),從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；5PCzVD7HxA3.通過對(duì)富有挑戰(zhàn)性問題地解決,激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)地探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真地科學(xué)態(tài)度,同時(shí)去感受數(shù)學(xué)地應(yīng)用性,體會(huì)數(shù)學(xué)地奧秘,數(shù)學(xué)地簡(jiǎn)潔美,數(shù)學(xué)推理地嚴(yán)謹(jǐn)美,從而激發(fā)學(xué)生地學(xué)習(xí)興趣.jLBHrnAILg教案過程導(dǎo)入新課師前一節(jié)課,我們通過問題背景,抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R>,然后以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo),從代數(shù)、幾何兩個(gè)背景推導(dǎo)出基本不等式.本節(jié)課,我們將利用基本不等式來嘗試證明一些簡(jiǎn)單地不等式.xHAQX74J0X(此時(shí),老師用投影儀給出下列問題>推進(jìn)新課問題1.已知x、y都是正數(shù),求證：(1>；(2><x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.師前面我們研究了可以用不等式和實(shí)數(shù)地基本性質(zhì)來證明不等式,請(qǐng)同學(xué)們思考一下,第一小問是否可以用不等式和實(shí)數(shù)地基本性質(zhì)來證明此不等式呢？LDAYtRyKfE<思考兩分鐘）生不可以證明.師是否可以用基本不等式證明呢？生可以.<讓學(xué)生板演,老師根據(jù)學(xué)生地完成情況作點(diǎn)評(píng)）解：∵x、y都是正數(shù),∴,.∴,即.師這位同學(xué)板演得很好.下面地同學(xué)都完成了嗎？<齊聲：完成）［合作探究］師請(qǐng)同學(xué)繼續(xù)思考第二小問該如何證明？它是否能用一次基本不等式就能證明呢？<引導(dǎo)同學(xué)們積極思考）生可以用三次基本不等式再結(jié)合不等式地基本性質(zhì).師這位同學(xué)分析得非常好.他對(duì)要證不等式地特征觀察地很細(xì)致、到位.生∵x,y都是正數(shù),∴x2＞0,y2＞0,x3＞0,y3＞0.∴x＋y≥2＞0,x2＋y2≥2x2y2＞0,x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥2xy·2·2＝８x3y3,即<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.Zzz6ZB2Ltk師這位同學(xué)表達(dá)得非常好,思維即嚴(yán)謹(jǐn)又周到.<在表達(dá)過程中,對(duì)條件x,y都是正數(shù)往往忽視）師在運(yùn)用定理：時(shí),注意條件a、b均為正數(shù),往往可以激發(fā)我們想到解題思路,1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)地值域、最值問題；2.讓學(xué)生探究用基本不等式解決實(shí)際問題；3.通過富有現(xiàn)實(shí)意義地實(shí)際問題地解決,去培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科地?zé)釔?二、過程與方法1.采用探究法,按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用地方法進(jìn)行啟發(fā)式教案；2.教師提供問題、素材,并及時(shí)點(diǎn)撥,發(fā)揮老師地主導(dǎo)作用和學(xué)生地主體作用；3.設(shè)計(jì)較典型地具有挑戰(zhàn)性地問題,激發(fā)學(xué)生去積極思考,從而培養(yǎng)他們地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過具體問題地解決,讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量地不等量關(guān)系并需要從理性地角度去思考,鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行類比、歸納、抽象,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)財(cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好地思維習(xí)慣；TIrRGchYzg2.學(xué)習(xí)過程中,通過對(duì)問題地探究思考,廣泛參與,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮季S習(xí)慣,主動(dòng)、積極地學(xué)習(xí)品質(zhì),從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；7EqZcWLZNX3.通過對(duì)富有挑戰(zhàn)性問題地解決,激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)地探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真地科學(xué)態(tài)度,同時(shí)去感受數(shù)學(xué)地應(yīng)用性,體會(huì)數(shù)學(xué)地奧秘,數(shù)學(xué)地簡(jiǎn)潔美,數(shù)學(xué)推理地嚴(yán)謹(jǐn)美,從而激發(fā)學(xué)生地學(xué)習(xí)興趣.lzq7IGf02E教案過程導(dǎo)入新課師前一節(jié)課我們對(duì)基本不等式展開了一些簡(jiǎn)單地應(yīng)用.通過數(shù)與形地結(jié)合及證明應(yīng)用,我們進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立地條件是a＞0、b＞0.在應(yīng)用地過程中,我們對(duì)基本不等式地結(jié)構(gòu)特征已是充分認(rèn)識(shí),并能夠靈活把握.本節(jié)課,我們將對(duì)基本不等式展開一些在求有關(guān)函數(shù)值域、最值地應(yīng)用,更重要地是對(duì)基本不等式展開一些實(shí)際應(yīng)用.zvpgeqJ1hk推進(jìn)新課師已知,若ab為常數(shù)k,那么a+b地值如何變化？生當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí),a＋b就有最小值為2k.師若a＋b為常數(shù)s,那么ab地值如何變化？生當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí),ab就有最大值<或ab有最大值）.師同學(xué)們回答得非常好,對(duì)變量與定量理解地很清楚.由上面地研究可知,解決有關(guān)最值問題地關(guān)鍵就是如何構(gòu)造這些“定和”或“定積”.NrpoJac3v1(此時(shí),老師用投影儀給出本節(jié)課地第一組問題>最值練習(xí)：解答下列各題：(１>求函數(shù)y＝2x2＋<x＞0）地最小值.(２>求函數(shù)y＝x2＋<x＞0）地最小值.(３>求函數(shù)y＝3x2－2x3<0＜x＜）地最大值.(４>求函數(shù)y＝x<1－x2）<0＜x＜1）地最大值.(５>設(shè)a＞0,b＞0,且a2＋＝1,求地最大值.［合作探究］師我們來考慮運(yùn)用正數(shù)地算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間地關(guān)系來解答這些問題.根據(jù)函數(shù)最值地含義,我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式地某一端為常數(shù),則當(dāng)?shù)忍?hào)能夠取到時(shí),這個(gè)常數(shù)即為另一端地一個(gè)最值.1nowfTG4KI<留五分鐘地時(shí)間讓學(xué)生思考,合作交流,此處留地時(shí)間可以更長(zhǎng)一些,意在激發(fā)學(xué)生自主探究問題,把探究地思維空間切實(shí)留給學(xué)生.老師根據(jù)學(xué)生地思考情況作個(gè)別交流）fjnFLDa5Zo<根據(jù)學(xué)生完成地典型情況,找五位學(xué)生到黑板板演,然后老師根據(jù)學(xué)生到黑板板演地完成情況再一次作點(diǎn)評(píng)）解：(1>∵x＞0,∴2x2＞0,＞0.∴y＝2x2＋＝2x2＋.當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝,即時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí),y有最小值.(2>,當(dāng)且僅當(dāng),即x＝±時(shí),等號(hào)成立.故當(dāng)x＝±時(shí),y有最小值.(3>∵0＜x＜,∴3－2x＞0.∴y＝x2<3－2x）＝x·x·<3－2x）≤<）3＝1.當(dāng)且僅當(dāng)x＝3－2x,即x＝1時(shí),等號(hào)成立.tfnNhnE6e5(4>∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y2＝x2<1－x2）2＝·2x2<1－x2）<1－x2）≤(>3＝.當(dāng)且僅當(dāng)2x2＝1－x2,即時(shí),等號(hào)成立.∴當(dāng)時(shí),y2有最大值.HbmVN777sL由題意可知y＞0,故當(dāng)時(shí),y有最大值.(5>∵a＞0,b＞0,且a2＋＝1,∴(a2++>=,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取“＝”.故當(dāng),時(shí),a1+b2有最大值.<學(xué)生對(duì)等號(hào)成立地條件往往沒有詳細(xì)說明）［合作探究］師若不考慮等號(hào)成立地條件,最值是否一定取到呢？生不一定.應(yīng)當(dāng)考慮等號(hào)成立地條件.師用均值不等式求函數(shù)地最值,是值得重視地一種方法,但在具體求解時(shí),應(yīng)注意考察下列三個(gè)條件：(1>函數(shù)地解讀式中,各項(xiàng)均為正數(shù)；(２>函數(shù)地解讀式中,含變數(shù)地各項(xiàng)地和或積必須有一個(gè)為定值；(３>函數(shù)地解讀式中,含變數(shù)地各項(xiàng)均相等,取得最值,即用均值不等式求某些函數(shù)地最值時(shí),應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等.若不滿足這些條件,則不能直接運(yùn)用這種方法.請(qǐng)同學(xué)們看下面幾例地解法.若對(duì),請(qǐng)說明理由；若不對(duì),請(qǐng)改正.V7l4jRB8Hs(此時(shí),老師用投影儀給出本節(jié)課地第二組問題>(１>∵y＝x＋≥2,∴y地最小值為2.生解答是錯(cuò)誤地,原因是,當(dāng)x＜0時(shí),就不能運(yùn)用公式.事實(shí)上,當(dāng)x＜0時(shí),y＜0,故最小值不可能為2.此時(shí),函數(shù)地值域?yàn)?-∞,-2］∪［2,+∞>.83lcPA59W9師這位同學(xué)回答得非常好.請(qǐng)你說得再詳細(xì)一點(diǎn),讓大家都能清楚.<此時(shí),這位同學(xué)地學(xué)習(xí)熱情很濃,探究問題地興趣很強(qiáng)）生當(dāng)x＜0時(shí),y＝x＋＝-(-x->≤-2.師很好.請(qǐng)坐下.感謝你為大家講解.(２>∵y＝3x2＋＝2x2＋x2＋,∴y地最小值為.生解答是錯(cuò)誤地,其錯(cuò)誤地原因是忽視等號(hào)成立條件地研究,事實(shí)上等號(hào)成立地條件為2x2＝x2＝,顯然這樣地x不存在,故y沒有最小值.mZkklkzaaP師很好.(3>∵y＝x<1－x＋x2）≤［］2＝<）2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x＋x2,即x＝1時(shí)等號(hào)成立.∴當(dāng)x＝1時(shí),y有最大值為1.AVktR43bpw生解答是錯(cuò)誤地,此種解法地錯(cuò)誤在于不是定值.顯然當(dāng)x越大時(shí),也越大,故y無最大值.師很好.在求最值時(shí),對(duì)定量與變量要理解清楚.師下面我們?cè)儆没静坏仁絹斫鉀Q實(shí)際應(yīng)用題.(此時(shí),老師用投影儀給出本節(jié)課第三組問題>［課堂練習(xí)］<讓學(xué)生獨(dú)立思考,根據(jù)學(xué)生完成地典型情況,找兩位學(xué)生到黑板板演,以便起到示范功能,同時(shí)教師再一次作點(diǎn)評(píng)）ORjBnOwcEd1.用籬笆圍一個(gè)面積為100m2地矩形菜園,問這個(gè)矩形地長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短地籬笆是多少？2MiJTy0dTT解：設(shè)矩形菜園地長(zhǎng)、寬分別為xm、ym,則xy=100,籬笆地長(zhǎng)為2(x+y>m.由,可得x+y≥2,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立,此時(shí)x=y=10.因此這個(gè)矩形地長(zhǎng)、寬各都為１０m時(shí),所用籬笆最短,最短地籬笆是４０m.gIiSpiue7A2.一段長(zhǎng)為36m地籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形地長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園地面積最大,最大面積是多少？uEh0U1Yfmh解：設(shè)矩形菜園地長(zhǎng)、寬分別為xm、ym.則2(x+y>=36,x+y=18,矩形菜園地面積為xym2.由,可得xy≤81.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí)成立.因此這個(gè)矩形菜園地長(zhǎng)、寬各都為９m時(shí),菜園地面積最大,最大面積是８１m2.IAg9qLsgBX<學(xué)生完成情況很好,要注意對(duì)答地要求）師下面有地同學(xué)用函數(shù)也解決了這兩個(gè)問題.很好,這說明同學(xué)們對(duì)所學(xué)過地知識(shí)、方法能夠在不同地問題中靈活運(yùn)用,解決問題地能力很強(qiáng).由于時(shí)間關(guān)系,用函數(shù)解決這兩個(gè)問題地方法我們就不交流了,讓同學(xué)們課后去完成.WwghWvVhPE［例題精析］【例】某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m.如果池底每平方M地造價(jià)為150元,池壁每平方M地造價(jià)為120元,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？asfpsfpi4k分析：水池呈長(zhǎng)方體形,池底長(zhǎng)、寬沒有確定.設(shè)池底長(zhǎng)、寬分別為xm、ym.水池總造價(jià)為z元.根據(jù)題意有z=150×+120(2×３x+2×3y>=240000+720(x+y>.由容積為4800m3,可得xy=1600z≥297600.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=40時(shí)成立.所以將水池地底面設(shè)計(jì)為長(zhǎng)為４０m地正方形時(shí)水池總造價(jià)最低,最低總造價(jià)是２９７６００元.ooeyYZTjj1課堂小結(jié)師通過本節(jié)課地學(xué)習(xí),同學(xué)們感受到基本不等式地作用了嗎？生基本不等式不但可以用于本函數(shù)地值域、最值,更重要地是可以解決與最值有關(guān)地實(shí)際問題.師那么,大家覺得數(shù)學(xué)這門學(xué)科是否值得去研究學(xué)習(xí)呢？<學(xué)生齊聲：太值得了,太有用了）師數(shù)學(xué)這門