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文檔簡介
2024屆江西省宜春市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.甲球與某立方體的各個面都相切,乙球與這個立方體的各條棱都相切,丙球過這個立方體的所有頂點,則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為()A.1∶2∶3 B.1∶∶C.1∶∶ D.1∶2∶32.已知且,則的最大值為()A. B. C. D.3.二項式的展開式中的系數(shù)是()A. B. C. D.4.x-2xn的展開式中的第7A.16 B.18 C.20 D.225.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且對任意都有,,則不等式的解集為()A. B. C. D.6.甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎.有人分別采訪了四位歌手,甲說:“乙或丙獲獎”;乙說:“甲、丙都未獲獎”;丙說:“丁獲獎”;丁說:“丙說的不對”.若四位歌手中只有一個人說的是真話,則獲獎的歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁7.若,則A.10 B.15 C.30 D.608.從位男生,位女生中選派位代表參加一項活動,其中至少有兩位男生,且至少有位女生的選法共有()A.種 B.種C.種 D.種9.從班委會5名成員中選出3名,分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員,其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員,則不同的選法共有()種.A.36 B.30 C.12 D.610.下列函數(shù)中,即是奇函數(shù),又在上單調(diào)遞增的是A. B. C. D.11.命題:“關(guān)于x的方程的一個根大于,另一個根小于”;命題:“函數(shù)的定義域內(nèi)為減函數(shù)”.若為真命題,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.函數(shù)y的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在二項展開式中,常數(shù)項是_______.14.現(xiàn)有10件產(chǎn)品,其中6件一等品,4件二等品,從中隨機選出3件產(chǎn)品,恰有1件一等品的概率為________.15.以下四個關(guān)于圓錐曲線命題:①“曲線為橢圓”的充分不必要條件是“”;②若雙曲線的離心率,且與橢圓有相同的焦點,則該雙曲線的漸近線方程為;③拋物線的準(zhǔn)線方程為;④長為6的線段的端點分別在、軸上移動,動點滿足,則動點的軌跡方程為.其中正確命題的序號為_________.16.在極坐標(biāo)系中,過點并且與極軸垂直的直線方程是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才,分初賽和復(fù)賽兩個階段進行,規(guī)定:分?jǐn)?shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復(fù)賽資格,某校有900名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.(1)求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線;(2)從初賽得分在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學(xué)校座談交流,那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?(3)從(2)抽取的7人中,選出4人參加全市座談交流,設(shè)表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù),學(xué)校打算給這4人一定的物質(zhì)獎勵,若該生分?jǐn)?shù)在給予500元獎勵,若該生分?jǐn)?shù)在給予800元獎勵,用Y表示學(xué)校發(fā)的獎金數(shù)額,求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。18.(12分)已知是定義域為的奇函數(shù),且當(dāng)時,,設(shè)“”.(1)若為真,求實數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)集合與集合的交集為,若為假,為真,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在中,角,,的對邊分別為,,,且.(1)求的大?。唬?)若,為外一點,,,求四邊形面積的最大值.20.(12分)傳說《西游記》中孫悟空的“如意金箍棒”原本是東海海底的一枚“定海神針”.作為兵器,“如意金箍棒”威力巨大,且只有孫悟空能讓其大小隨意變化。假定孫悟空在使用“如意金箍棒”與各路妖怪打斗時,都將其變化為底面半徑為4至10之間的圓柱體。現(xiàn)假定孫悟空剛與一妖怪打斗完畢,并降伏了此妖怪,此時“如意金箍棒”的底面半徑為10,長度為.在此基礎(chǔ)上,孫悟空使“如意金箍棒”的底面半徑以每秒1勻速縮短,同時長度以每秒40勻速增長,且在這一變化過程中,當(dāng)“如意金箍棒”的底面半徑為8時,其體積最大.(1)求在這一變化過程中,“如意金箍棒”的體積隨時間(秒)變化的解析式,并求出其定義域;(2)假設(shè)在這一變化過程中,孫悟空在“如意金箍棒”體積最小時,將其定型,準(zhǔn)備迎戰(zhàn)下一個妖怪。求此時“如意金箍棒”的底面半徑。21.(12分)如圖所示的幾何,底為菱形,,.平面底面,,,.(1)證明:平面平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C:,直線:,直線:以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線C的參數(shù)方程以及直線,的極坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線C分別交于O、A兩點,直線與曲線C交于O、B兩點,求△AOB的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
設(shè)立方體為以2為邊長的正方體,分別求出甲乙丙的半徑,即可得出答案?!绢}目詳解】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體,則,,所以【題目點撥】設(shè)立方體為以2為邊長的正方體,分別求出甲乙丙的半徑,即可得出答案。2、A【解題分析】
根據(jù)絕對值三角不等式可知;根據(jù)可得,根據(jù)的范圍可得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得:當(dāng),即時,即:,即的最大值為:本題正確選項:【題目點撥】本題考查函數(shù)最值的求解,難點在于對于絕對值的處理,關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)放縮為關(guān)于的二次函數(shù)的形式,從而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解得到最值.3、B【解題分析】
利用二項展開式的通項公式,令的冪指數(shù)等于,即可求出的系數(shù).【題目詳解】由題意,二項式展開式的通項公式為,令,解得,所以的系數(shù)為.故選:B【題目點撥】本題主要考查二項展開式的通項公式,考查學(xué)生計算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】
利用通項公式即可得出.【題目詳解】x-2xn的展開式的第7項令n2-9=0=0,解得n=故選:B.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應(yīng)用、方程思想,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.5、B【解題分析】
先構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞增,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可求得不等式的解集.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù),,.又任意都有.在R上恒成立.在R上單調(diào)遞增.當(dāng)時,有,即的解集為.【題目點撥】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式,根據(jù)題目條件構(gòu)造一個新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.6、A【解題分析】分析:因為四位歌手中只有一個人說的是真話,假設(shè)某一個人說的是真話,如果與條件不符,說明假設(shè)不成立,如果與條件相符,說明假設(shè)成立.詳解:若乙是獲獎的歌手,則甲、乙、丁都說的真話,不符合題意;若丙是獲獎的歌手,則甲、丁都說的真話,不符合題意;若丁是獲獎的歌手,則乙、丙都說的真話,不符合題意;若甲是獲獎的歌手,則甲、乙、丙都說的假話,丁說的真話,符合題意;故選A.點睛:本題考查合情推理,屬基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】
分析:由于,與已知對比可得的值1.詳解:由于,與已知對比可得故選B.點睛:本題考查二項式定理的應(yīng)用,觀察分析得到是關(guān)鍵,考查分析與轉(zhuǎn)化的能力,屬于中檔題.8、B【解題分析】
由題意知本題要求至少有兩位男生,且至少有1位女生,它包括:兩個男生,兩個女生;三個男生,一個女生兩種情況,寫出當(dāng)選到的是兩個男生,兩個女生時和當(dāng)選到的是三個男生,一個女生時的結(jié)果數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果.解:∵至少有兩位男生,且至少有1位女生包括:兩個男生,兩個女生;三個男生,一個女生.當(dāng)選到的是兩個男生,兩個女生時共有C52C42=60種結(jié)果,當(dāng)選到的是三個男生,一個女生時共有C53C41=40種結(jié)果,根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+40=100種結(jié)果,故選B.9、A【解題分析】從班委會5名成員中選出3名,分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員,其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員,因為先從其余3人中選出1人擔(dān)任文藝委員,再從4人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員,所以不同的選法共有種.本題選擇A選項.10、B【解題分析】分析:對四個選項分別進行判斷即可得到結(jié)果詳解:對于,,,,不是奇函數(shù),故錯誤對于,,,當(dāng)時,,函數(shù)在上不單調(diào),故錯誤對于,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故錯誤故選點睛:對函數(shù)的奇偶性作出判斷可以用其定義法,單調(diào)性的判斷可以根據(jù)函數(shù)的圖像性質(zhì),或者利用導(dǎo)數(shù)來判斷。11、B【解題分析】
通過分析命題為假命題只能真,于是可得到答案.【題目詳解】命題真等價于即;由于的定義域為,故命題為假命題,而為真命題,說明真,故選B.【題目點撥】本題主要考查命題真假判斷,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,邏輯推理能力,分析能力,難度中等.12、B【解題分析】
通過函數(shù)的單調(diào)性和特殊點的函數(shù)值,排除法得到正確答案.【題目詳解】因為,其定義域為所以,所以為奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點對稱,故排除A、C項,當(dāng)時,,所以D項錯誤,故答案為B項.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點的函數(shù)值來判斷函數(shù)的圖像,屬于簡單題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、60【解題分析】
首先寫出二項展開式的通項公式,并求指定項的值,代入求常數(shù)項.【題目詳解】展開式的通項公式是,當(dāng)時,.故答案為:60【題目點撥】本題考查二項展開式的指定項,意在考查公式的熟練掌握,屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】
利用古典概型的概率計算公式計算即可.【題目詳解】從10件產(chǎn)品中任取3件共有種不同取法,其中恰有1件一等品共有種不同取法,由古典概型的概率計算公式知,從中隨機選出3件產(chǎn)品,恰有1件一等品的概率為.故答案為:【題目點撥】本題考查古典概型的概率計算,考查學(xué)生的運算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、③④【解題分析】
對于①,求出“曲線為橢圓”的充要條件,判斷與“”關(guān)系,即得①的正誤;對于②,根據(jù)已知條件求出雙曲線的方程,從而求出漸近線方程,即得②的正誤;對于③,把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,求出準(zhǔn)線方程,即得③的正誤;對于④,設(shè),根據(jù),可得,代入,求出動點的軌跡方程,即得④的正誤.【題目詳解】對于①,“曲線為橢圓”的充要條件是“且”.所以“曲線為橢圓”的必要不充分條件是“”,故①錯誤;對于②,橢圓的焦點為,又雙曲線的離心率,所以雙曲線的方程為,所以雙曲線的漸近線方程為,故②錯誤;對于③,拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式,準(zhǔn)線方程為,故③正確;對于④,設(shè),,,即,即動點的軌跡方程為.故④正確.故答案為:③④.【題目點撥】本題考查充分必要條件、圓錐曲線的性質(zhì)和求軌跡方程的方法,屬于中檔題.16、【解題分析】
由題意畫出圖形,結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系得答案.【題目詳解】如圖,由圖可知,過點(1,0)并且與極軸垂直的直線方程是ρcosθ=1.故答案為.【題目點撥】本題考查了簡單曲線的極坐標(biāo)方程,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分;(2)5人,2人;(3)元.【解題分析】
(1)求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線,即是求考試成績中位數(shù),只需滿足中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5即可;(2)先確定得分在區(qū)間與的頻率之比,即可求解;(3)先確定的可能取值,再求出其對應(yīng)的概率,即可求出分布列和期望.【題目詳解】(1)由題意知的頻率為:,的頻率為:所以分?jǐn)?shù)在的頻率為:,從而分?jǐn)?shù)在的,假設(shè)該最低分?jǐn)?shù)線為由題意得解得.故本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分。(2)在區(qū)間與,,在區(qū)間的參賽者中,利用分層抽樣的方法隨機抽取7人,分在區(qū)間與各抽取5人,2人,結(jié)果是5人,2人.(3)的可能取值為2,3,4,則:,從而Y的分布列為Y260023002000(元).【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù),以及分層抽樣和超幾何分布等問題,熟記相關(guān)概念,即可求解,屬于常考題型.18、(1);(2).【解題分析】試題分析:(1)由已知可得,函數(shù)為上的奇函數(shù)、且為增函數(shù),由命題為真,則,所以,從而解得;(2)由集合,若為真,則,因為“為假,為真”等價于“、一真一假”,因此若真假,則;若假真,則.從而可得,實數(shù)的取值范圍是.試題解析:∵函數(shù)是奇函數(shù),∴,∵當(dāng)時,,∴函數(shù)為上的增函數(shù),∵,,∴,∴,若為真,則,解得(2),若為真,則,∵為假,為真,∴、一真一假,若真假,則;若假真,則綜上,實數(shù)的取值范圍是考點:1.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用;2.命題的真假判斷及其邏輯運算.19、(1)(2)【解題分析】
(1)由余弦定理和誘導(dǎo)公式整理,得到,求出;(2)在中,用余弦定理表示出,判斷是等腰直角三角形,再利用三角形面積公式表示出,再利用輔助角公式化簡,求出四邊形面積的最大值.【題目詳解】(1)在中,由,所以∵,∴,∴,又∵,∴.又∵,∴,即為.(2)在中,,,由余弦定理可得,又∵,∴為等腰直角三角形,∴,∴當(dāng)時,四邊形面積有最大值,最大值為.【題目點撥】本題主要考查余弦定理解三角形、誘導(dǎo)公式、三角形面積公式和利用三角函數(shù)求最值,考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力,屬于中檔題.20、(1),定義域為;(2)4【解題分析】
(1)根據(jù)時間,寫出“如意金箍棒”的底面半徑和長度,由此計算出體積的解析式,并根據(jù)半徑的范圍求得的取值范圍,也即定義域.利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和極大值,根據(jù)此時“如意金箍棒”的底面半徑列方程,解方程求得的值,進而求得解析式.(2)由(1)中求得的單調(diào)區(qū)間,求得的最小值,并求得此時“如意金箍棒”的底面半徑.【題目詳解】解:(1)“如意金箍棒”在變化到秒時,其底面半徑為,長度為則有,得:時,(秒),由知,當(dāng)時,取得極大值所以,解得()所以,定義域為(2)由(1)得:所以當(dāng)時,,當(dāng)時,所以在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù)則的最小值或;又所以當(dāng)(秒)時,“如意金箍棒”體積最小,此時,“如意金箍棒”的底面半徑為()【題目點撥】本小題主要考查圓柱的體積公式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,考查中國古代文化,考查運算求解能力,考查函數(shù)應(yīng)用問題,屬于中檔題.21、(
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