教會(huì)學(xué)生如何思考

教會(huì)學(xué)生如何思考——來(lái)自波利亞數(shù)學(xué)教育思想的啟示一、波利亞的數(shù)學(xué)教育思想概述波利亞的數(shù)學(xué)教育宗旨是“教會(huì)年青人去思考”，闡發(fā)他的思想的一些世界數(shù)學(xué)名著被譯成了多國(guó)文字，其中《怎樣解題》一書(shū)被譯成了十六種文字。波利亞在《怎樣解題》第一版序言中指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但它也是別的什么東西。用歐幾里德方式提出來(lái)的數(shù)學(xué)看來(lái)像一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看來(lái)卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。這兩個(gè)側(cè)面都像數(shù)學(xué)本身一樣古老。但從某一點(diǎn)說(shuō)來(lái)，第二個(gè)側(cè)面則是新的，因?yàn)橐郧皬膩?lái)就沒(méi)有‘照本宣科’地把處于發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生、或教師自己、或公眾?！币虼?，波利亞強(qiáng)調(diào)應(yīng)該教有目的的思考，教正規(guī)的演繹推理，也教非正規(guī)的似真的合情推理。他指出，“第一，我們這里所說(shuō)的思考不是空想，而是‘有目的的思考’或‘有意義的思考’或‘有成果的思考’；第二，數(shù)學(xué)思考不是完全‘正規(guī)的’，它不僅涉及到公理、定義和嚴(yán)格證明，而且還包含許多別的方面：從觀察到的情況得出結(jié)論、歸納推理、類比推理。在具體情況里辨認(rèn)數(shù)學(xué)概念或從具體情況進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)教師應(yīng)不失時(shí)機(jī)地使他的學(xué)生熟知這些相當(dāng)重要的‘非正規(guī)的’思想方法?！痹谂囵B(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力方面，波利亞特別注重“思想應(yīng)該在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生出來(lái)，而教師僅僅只應(yīng)起一個(gè)產(chǎn)婆的作用”，他認(rèn)為最適宜的教學(xué)形式是“蘇格拉底問(wèn)答法”，并倡導(dǎo)了探索式教學(xué)法或啟發(fā)式教學(xué)法，認(rèn)為在教學(xué)中最佳的方法就是多問(wèn)：什么？為什么？哪里？何時(shí)與怎樣？波利亞在他長(zhǎng)期教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合心理學(xué)研究的成果，總結(jié)出了一套怎樣提問(wèn)，怎樣掌握提問(wèn)的最佳時(shí)機(jī)和方式等的方法。他認(rèn)為，提問(wèn)應(yīng)從“一般化的問(wèn)題和建議開(kāi)始，逐步轉(zhuǎn)向更特殊更具體的問(wèn)題和建議，直到學(xué)生的頭腦中得出答案為止”，“要讓學(xué)生感受到某種近似于獨(dú)立探索的體驗(yàn)”。在學(xué)生解題的過(guò)程中，“如果學(xué)生有進(jìn)展，教師就不應(yīng)該問(wèn)他任何問(wèn)題，以便讓他獨(dú)立思考；當(dāng)學(xué)生停滯不前，教師就可以找一個(gè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題或建議去幫助他”，而這種幫助應(yīng)盡量順乎自然，以照顧學(xué)生的自尊心，并且這種幫助要適中，幫助太少，問(wèn)題仍將一無(wú)進(jìn)展，幫助過(guò)頭，則學(xué)生就失去了在自己求解中學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，也使他們失去了品嘗自己想出“好念頭”的樂(lè)趣。波利亞特別反對(duì)提那些“針對(duì)性太強(qiáng)的建議”，因?yàn)?，那將使學(xué)生失去積極思考的機(jī)會(huì)。波利亞把教會(huì)學(xué)生解題看作是教會(huì)學(xué)生思考，培養(yǎng)他們獨(dú)立探索的一條有效途徑。但他認(rèn)為，一個(gè)學(xué)生要真正學(xué)會(huì)解題則必須“觀察、模仿他人在解題時(shí)的所作所為”，關(guān)鍵的是“應(yīng)該去發(fā)現(xiàn)在‘你通常在做些什么’和‘應(yīng)該去做些什么’之間的差別”，并且只有通過(guò)親自實(shí)踐才能改變自己的思維習(xí)慣，才能真正學(xué)會(huì)應(yīng)該怎樣思考問(wèn)題和解決問(wèn)題，才能學(xué)到解題的方法。波利亞把教會(huì)學(xué)生去猜想作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的一種得力手段。因?yàn)橐粋€(gè)合情合理的猜想并不是幻想，它需要敏銳的觀察能力，教學(xué)中要重視從豐富的實(shí)例出發(fā)，多引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納，但同時(shí)又要強(qiáng)調(diào)抽象概括，注重演繹推理。波利亞的學(xué)習(xí)的三原則，我們需要思考并借鑒的是：（1）如果“頭腦不活動(dòng)起來(lái)，是很難學(xué)到什么東西的，也肯定學(xué)不到更多的東西”，所以波利亞的“主動(dòng)”、“被動(dòng)”，其實(shí)主要是指思維是否活動(dòng)起來(lái)。現(xiàn)在不少學(xué)生的學(xué)習(xí)，還處在模仿水平和記憶水平上，很少達(dá)到理解水平，更難達(dá)到創(chuàng)造性的水平。教學(xué)中，要充分激發(fā)學(xué)生思維，追求學(xué)生思維參與的廣度和深度。（2）“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”，這就是說(shuō)最富有成效的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己去探索、去“發(fā)現(xiàn)”。（3）學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的形成有各種各樣的原因，其中，最為重要的是學(xué)生“在學(xué)習(xí)中尋求歡樂(lè)”，也就是要充分地關(guān)注學(xué)生成功的體驗(yàn)、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本身的內(nèi)在興趣。任何成功的教學(xué)法必然以某種方式與學(xué)習(xí)過(guò)程的性質(zhì)相通。波利亞認(rèn)為學(xué)習(xí)的三原則同時(shí)也是教學(xué)的三原則，教師的作用應(yīng)由傳統(tǒng)的傳遞知識(shí)轉(zhuǎn)向推動(dòng)和促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)。與此相應(yīng)，教師應(yīng)采用啟發(fā)式教學(xué)法，充當(dāng)思想的產(chǎn)婆，激發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生去積極思維，促使他們盡可能地自己去發(fā)現(xiàn)。以教學(xué)三原則為基礎(chǔ)并結(jié)合長(zhǎng)期教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，他歸納提煉出了“一套見(jiàn)解”，稱之為“教師十誡”①。（頁(yè)下注：①[美]波利亞著，歐陽(yáng)絳譯：《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（第一卷），科學(xué)出版社1982.年版，第474-481頁(yè)。）（1）要對(duì)你講的課題有興趣；（2）要懂得你講的課題；（3）要懂得學(xué)習(xí)的途徑，學(xué)習(xí)任何東西的最佳途徑就是靠自己去發(fā)現(xiàn)；（4）要觀察你的學(xué)生的臉色，弄清楚他們的期望和困難，把自己置身于他們之中；（5）不僅要教給他們知識(shí)，并且要教給他們“才智”，思維的方式，有條不紊的工作習(xí)慣；（6）要讓他們學(xué)習(xí)猜測(cè)；（7）要讓他們學(xué)習(xí)證明；（8）要找出手邊題目中那些對(duì)后來(lái)題目有用的特征——即設(shè)法去揭示隱藏在眼前具體情形中的一般模型；（9）不要立即吐露你的全部秘密——讓學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先去猜——盡量讓他們自己去找出來(lái)；（10）要建議，不要強(qiáng)迫別人去接受。波利亞對(duì)教師的這十誡，對(duì)我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)極具指導(dǎo)意義。我們說(shuō)，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者自己的體驗(yàn)與感受，是任何其他人都代替不了的。課堂上，教師就要時(shí)時(shí)考慮：如何提供學(xué)生感興趣的學(xué)習(xí)材料，激發(fā)他們的好奇心和求知欲，使學(xué)生保持旺盛的學(xué)習(xí)動(dòng)力；如何把學(xué)生“卷”入到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，用他們自己的理解方式和思維方式去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，去體驗(yàn)數(shù)學(xué)，而教師重在啟發(fā)、引導(dǎo)和幫助，等等。如何改變目前極大多數(shù)學(xué)生只會(huì)套模式解題，對(duì)背景稍新的問(wèn)題束手無(wú)策的現(xiàn)狀？波利亞提出的“怎樣解題”表，讓筆者想到了這個(gè)問(wèn)題?！霸鯓咏忸}”表對(duì)如何指導(dǎo)學(xué)生怎樣解題有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。但在教學(xué)中不要太過(guò)于“程式化”，更多的要著意學(xué)生自我思考和感悟。聯(lián)系日常教學(xué)，筆者認(rèn)為有兩點(diǎn)是值得注意的：第一，教學(xué)中要減少程式化的機(jī)械訓(xùn)練，這種訓(xùn)練過(guò)多會(huì)“僵化”學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教師要教過(guò)程，要注重概念、定理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，要引導(dǎo)學(xué)生注重對(duì)通性、通法的體驗(yàn)、思考和感悟，重點(diǎn)是思維的靈活性、應(yīng)用的廣泛性和數(shù)學(xué)知識(shí)的視野，要讓學(xué)生經(jīng)歷、感悟概念的抽象概括過(guò)程、定理結(jié)論的探索發(fā)現(xiàn)過(guò)程、解題方法的總結(jié)提煉過(guò)程、實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程等等，在這些過(guò)程中，逐漸領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的思維方式、數(shù)學(xué)的方法，并形成數(shù)學(xué)的理性精神，真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。第二，要讓學(xué)生獨(dú)立地學(xué)習(xí)一點(diǎn)新東西；獨(dú)立地閱讀書(shū)本，獨(dú)立做題和獨(dú)立地研究所做的題，讓學(xué)生自己思