能力提升精練課件：1 時 驗(yàn)證勾股定理及其簡單計算

第一章勾股定理1探索勾股定理第2課時驗(yàn)證勾股定理及其簡單計算能力提升精練1探索勾股定理1.下列選項(xiàng)中(圖中三角形都是直角三角形),不能用來驗(yàn)證勾股定理的是(

)D2.[2020陜西寶雞期中]如圖,在高為3米,斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯,則地毯的長度為(

)

A.4米

B.5米

C.6米

D.7米【解析】在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=42,所以AC=4米,所以地毯的長度為AC+BC=7米.故選D.3.如圖,一條小巷的左右兩側(cè)是豎直的墻壁,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻腳的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米.若梯子底端位置保持不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面1.5米,則小巷的寬度為(

)A.2.7米

B.2.5米

C.2米

D.1.8米【解析】如圖,在Rt△ADE中,∠AED=90°,AE=0.7米,DE=2.4米,所以AD2=AE2+DE2=0.72+2.42,所以AD=2.5米,所以AC=2.5米.在

Rt△ABC

中,∠ABC=90°,BC=1.5米,所以AB2=AC2-BC2=2.52-1.52,所以AB=2米,所以BE=AE+AB=2.7米,即小巷的寬度為2.7米.故選A.4.如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖,它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍,得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,則這個風(fēng)車的外圍周長是(

)

A.72 B.52 C.80 D.76【解析】設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個大直角三角形的斜邊長為x,則x2=122+52=169,所以x=13,所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的外圍周長是(13+6)×4=76.故選D.5.[2021重慶沙坪壩區(qū)期末]在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題:“平地秋千未起,踏板一尺離地.送行二步與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴,終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇,算出索長有幾.”此問題可理解為:如圖,有一架秋千,當(dāng)它靜止時,踏板離地的垂直高度AB為1尺,將它往前水平推送10尺時,即A'C=10尺,秋千的踏板離地的垂直高度A'D就和身高5尺的人一樣高.若運(yùn)動過程中秋千的繩索始終拉得很直,則繩索OA的長為

.

【解析】設(shè)繩索OA的長為x尺,則OC的長為(x+1-5)尺,即OC=(x-4)尺.在

Rt△OCA'

中,OC2+A'C2=OA'2,即(x-4)2+102=x2,解得x=14.5.故繩索OA的長為14.5尺.6.如圖,在長方形ABCD中,AD=6,AB=10,若將長方形ABCD沿DE折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)F處,則線段CE的長為

.

本題是紙片折疊問題,在解答此類問題時,要注意在折疊過程中包含了軸對稱、全等,從而運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)構(gòu)建相關(guān)角或線段之間的關(guān)系,再對其進(jìn)行分析與解題.名師點(diǎn)睛7.勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小明靈感,他驚喜地發(fā)現(xiàn),當(dāng)四個全等的直角三角形如圖擺放時,可以用“面積法”來證明a2+b2=c2.請你寫出證明過程.

8.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如圖1所示,根據(jù)勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC不是直角三角形,如圖2和圖3所示.請你類比勾股定理,試猜想a2+b2與c2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解析】若△ABC是銳角三角形,則a2+b2>c2.若△ABC是鈍角三角形,∠C為鈍角,則a2+b2<c2.當(dāng)△ABC是銳角三角形時,證明如下:在題圖2中,過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D.設(shè)CD的長為x,則BD=a-x.根據(jù)勾股定理,得b2-x2=AD2=c2-(a-x)2,即b2-x2=c2-a2+2ax-x2,所以a2+b2=c2+2ax.因?yàn)閍>0,x>0,所以2ax>0,所以a2+b2>c2.當(dāng)△ABC是鈍角三角形,∠C為鈍角時,證明如下:在題圖3中,過點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC的延長線于點(diǎn)D.設(shè)CD的長為x,則有BD2=a2-x2.在Rt