(新高考)高考數(shù)學一輪復習講義+鞏固練習5.4《平面向量中的綜合問題培優(yōu)課》(教師版)

第第頁§5.4平面向量中的綜合問題題型一平面向量在幾何中的應用例1(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D點滿足eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，AD＝eq\r(37)，則BC的長為()A．3eq\r(7) B．3eq\r(6)C．3eq\r(3) D．6答案A解析因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，設AB＝x，則eq\o(AD2,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))2，得37＝eq\f(4,9)x2＋eq\f(4,9)×x×9cos60°＋eq\f(1,9)×92，即2x2＋9x﹣126＝0，因為x>0，故解得x＝6，即AB＝6，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·ACcos60°)＝eq\r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq\r(7).(2)已知平行四邊形ABCD，證明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．證明取{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}為基底，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a﹣b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，eq\o(DB,\s\up6(→))2＝(a﹣b)2＝a2﹣2a·b＋b2，上面兩式相加，得eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(DB,\s\up6(→))2＝2(a2＋b2)，∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．思維升華用向量方法解決平面幾何問題的步驟平面幾何問題eq\o(→,\s\up7(設向量))向量問題eq\o(→,\s\up7(計算))解決向量問題eq\o(→,\s\up7(還原))解決幾何問題．跟蹤訓練1(1)在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，則點C的軌跡為()A．圓 B．橢圓C．拋物線 D．直線答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標系Oxy，設點A，B的坐標分別為(﹣a,0)，(a,0)，點C為(x，y)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x﹣a，y)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x﹣a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2﹣a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1.因此點C的軌跡為圓．(2)(多選)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，則下列結論成立的是()A．四邊形ABCD為菱形B．∠BAD＝120°C．|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝10eq\r(3)D．|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝10eq\r(3)答案ABD解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，則四邊形ABCD為平行四邊形，設m，n，p都是單位向量，m＋n＝p，則(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，1＋2m·n＋1＝1，則m·n＝﹣eq\f(1,2)＝cos〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，因此由eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分線，因此四邊形ABCD是菱形，而|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝10，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝10eq\r(3)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝10.題型二和向量有關的最值(范圍)問題命題點1與平面向量基本定理有關的最值(范圍)問題例2如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中點，點F為線段BD上的一動點，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則eq\f(2－3x,4y2＋1)的最大值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C．1 D．2答案A解析設BD，AE交于O，因為DE∥AB，所以△AOB∽△EOD，所以eq\f(AO,OE)＝eq\f(AB,DE)＝2，所以AO＝2OE，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AO,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)xeq\o(AO,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))，因為O，F(xiàn)，B三點共線，所以eq\f(3,2)x＋y＝1，即2﹣3x＝2y，所以eq\f(2－3x,4y2＋1)＝eq\f(2y,4y2＋1)＝eq\f(2,4y＋\f(1,y))，因為x>0，y>0，所以4y＋eq\f(1,y)≥2eq\r(4y·\f(1,y))＝4，當且僅當4y＝eq\f(1,y)，即y＝eq\f(1,2)時等號成立，此時x＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2－3x,4y2＋1)＝eq\f(2,4y＋\f(1,y))≤eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).命題點2與數(shù)量積有關的最值(范圍)問題例3已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．(﹣2,6) B．(﹣6,2)C．(﹣2,4) D．(﹣4,6)答案A解析如圖，取A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq\r(3))，F(xiàn)(﹣1，eq\r(3))．設P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，且﹣1<x<3.所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(﹣2,6)．命題點3與模有關的最值(范圍)問題例4已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(﹣eq\r(3)，1)，則|2a﹣b|的最大值為________．答案4解析方法一由題意得|a|＝1，|b|＝2，a·b＝sinθ﹣eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，所以|2a﹣b|2＝4|a|2＋|b|2﹣4a·b＝4×12＋22﹣8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝8﹣8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).所以|2a﹣b|2的最大值為8﹣8×(﹣1)＝16，故|2a﹣b|的最大值為4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時θ＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z)).方法二因為a＝(cosθ，sinθ)，b＝(﹣eq\r(3)，1)，所以2a﹣b＝(2cosθ＋eq\r(3)，2sinθ﹣1)，所以|2a﹣b|＝eq\r(2cosθ＋\r(3)2＋2sinθ－12)＝eq\r(8－4sinθ－\r(3)cosθ)＝eq\r(8－8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))).故|2a﹣b|的最大值為eq\r(8－8×－1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時θ＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z)).方法三由題意得|2a﹣b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，當且僅當向量a，b方向相反時不等式取等號，故|2a﹣b|的最大值為4.思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍)．(2)利用基本不等式求最值(范圍)．(3)建立坐標系，設變量構造函數(shù)求最值(范圍)．(4)數(shù)形結合，應用圖形的幾何性質求最值．跟蹤訓練2(1)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，△ABC所在平面內的點P滿足|eq\o(AP,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最小值為()A.eq\r(3)﹣1B．2eq\r(2)﹣1C．2eq\r(3)﹣1D.eq\r(7)﹣1答案C解析因為|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos

eq\f(π,3)＝12，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，由平面向量模的三角不等式可得|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝|(eq\o(AP,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))|≥||eq\o(AP,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))|﹣|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))||＝2eq\r(3)﹣1.當且僅當eq\o(AP,\s\up6(→))﹣eq\o(AB,\s\up6(→))﹣eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))方向相反時，等號成立．因此|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最小值為2eq\r(3)﹣1.(2)如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，點E在線段AD上移動(不含端點)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(λ,μ)＝________，λ2﹣2μ的最小值是________．答案2﹣eq\f(1,4)解析因為在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→)).由向量定比分點公式得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,1＋2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,1＋2)eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).因為點E在線段AD上移動(不含端點)，所以設eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AD,\s\up6(→))(0<x<1)．所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2x,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(x,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，對比eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，可得λ＝eq\f(2x,3)，μ＝eq\f(x,3).得eq\f(λ,μ)＝eq\f(\f(2x,3),\f(x,3))＝2；代入λ＝eq\f(2x,3)，μ＝eq\f(x,3)可得λ2﹣2μ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,3)))2﹣2×eq\f(x,3)＝eq\f(4x2,9)﹣eq\f(2x,3)(0<x<1)，根據二次函數(shù)性質知當x＝﹣eq\f(－\f(2,3),2×\f(4,9))＝eq\f(3,4)時，(λ2﹣2μ)min＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2﹣eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝﹣eq\f(1,4).課時精練1．邊長為2的正△ABC內一點M(包括邊界)滿足：eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))(λ∈R)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(4,3))) D．[﹣2,2]答案B解析因為點M在△ABC內部(包括邊界)，所以0≤λ≤eq\f(2,3)，由eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(CA,\s\up6(→))＋λ\o(CB,\s\up6(→))))＝﹣2＋eq\f(4,3)＋2λ＝﹣eq\f(2,3)＋2λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3))).2．設O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，λ∈[0，＋∞)，則點P的軌跡經過△ABC的()A．內心 B．外心C．垂心 D．重心答案C解析eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ(﹣|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))﹣eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，故AP⊥BC，即點P的軌跡經過△ABC的垂心．3．已知△ABC是頂角A為120°，腰長為2的等腰三角形，P為平面ABC內一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的最小值是()A．﹣eq\f(1,2)B．﹣eq\f(3,2)C．﹣eq\f(1,4)D．﹣1答案A解析如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線DA為y軸，D為坐標原點建立平面直角坐標系，則A(0,1)，B(﹣eq\r(3)，0)，C(eq\r(3)，0)，設P(x，y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＝(﹣x,1﹣y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(﹣eq\r(3)﹣x，﹣y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)﹣x，﹣y)，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(﹣2x，﹣2y)，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2x2﹣2y(1﹣y)＝2x2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2﹣eq\f(1,2)≥﹣eq\f(1,2)，當Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，所求的最小值為﹣eq\f(1,2).4.如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓A(前輪)，圓D(后輪)的半徑均為eq\r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．設點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最大值為()A．18B．24C．36D．48答案C解析騎行過程中，A，B，C，D，E相對不動，只有P點繞D點作圓周運動．如圖，以AD所在直線為x軸，E為坐標原點建立平面直角坐標系，由題意得A(﹣4,0)，B(﹣2,2eq\r(3))，C(2,2eq\r(3))，圓D方程為(x﹣4)2＋y2＝3，設P(4＋eq\r(3)cosα，eq\r(3)sinα)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(6,2eq\r(3))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(6＋eq\r(3)cosα，eq\r(3)sinα﹣2eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝6(6＋eq\r(3)cosα)＋2eq\r(3)(eq\r(3)sinα﹣2eq\r(3))＝6eq\r(3)cosα＋6sinα＋24＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinα＋\f(\r(3),2)cosα))＋24＝12sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋24，易知當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝1時，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最大值36.5．P為雙曲線x2﹣y2＝1左支上任意一點，EF為圓C：(x﹣2)2＋y2＝4的任意一條直徑，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的最小值為()A．3B．4C．5D．9答案C解析如圖，圓C的圓心C為(2,0)，半徑r＝2，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))·(eq\o(PC,\s\up6(→))﹣eq\o(CE,\s\up6(→)))＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|2﹣|eq\o(CE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|2﹣4，則當點P位于雙曲線左支的頂點時，|eq\o(PC,\s\up6(→))|2﹣4最小，即eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))最?。藭req\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的最小值為(1＋2)2﹣4＝5.6．已知在邊長為1的正方形ABCD中，點P是對角線AC上的動點，點Q在以D為圓心、以1為半徑的圓上運動，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))的取值范圍為()A．[0,2] B．[1﹣eq\r(2)，2]C．[0，eq\r(2)＋1] D．[1﹣eq\r(2)，1＋eq\r(2)]答案D解析如圖分別以AB，AD所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，設P(t，t)，Q(cosθ，1＋sinθ)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(t，t)，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(cosθ，1＋sinθ)，t∈[0,1]，θ∈[0,2π)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))＝tcosθ＋t＋tsinθ＝t

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋1))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))∈[1﹣eq\r(2)，1＋eq\r(2)]，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))的取值范圍為[1﹣eq\r(2)，1＋eq\r(2)]．7．(多選)如圖，點A，B在圓C上，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值()A．與圓C的半徑有關B．與圓C的半徑無關C．與弦AB的長度有關D．與點A，B的位置有關答案BC解析如圖，連接AB，過C作CD⊥AB交AB于D，則D是AB的中點，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos∠CAD＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·eq\f(\f(1,2)|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值與圓C的半徑無關，只與弦AB的長度有關．8．(多選)瑞士數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心間的距離是垂心和重心間的距離的一半．這個定理就是著名的歐拉線定理．設△ABC中，點O，H，G分別是外心、垂心、重心．下列四個選項中結論正確的是()A.eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))B.eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0C．設BC邊的中點為D，則有eq\o(AH,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D.eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))答案AB解析如圖，對于A項，由題意得eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，AH⊥BC，所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))，所以A選項正確；對于B項，設D為BC的中點，eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))＝﹣eq\o(GA,\s\up6(→))，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以B選項正確；對于C項，因為D為BC的中點，G為△ABC的重心，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以eq\o(AH,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，故C選項錯誤；對于D項，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的模相等，方向不同，故D選項錯誤．9．已知正方形ABCD的邊長為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a＋b＋c|＝________.答案2eq\r(2)解析由題意可得，|eq\o(AC,\s\up6(→))|是正方形的對角線長，故|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).10．已知點P在圓x2＋y2＝1上，點A的坐標為(﹣2,0)，O為原點，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值為________．答案6解析方法一根據題意作出圖象，如圖所示，A(﹣2,0)，P(x，y)．eq\o(AO,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝2(x＋2)＝2x＋4.點P在圓x2＋y2＝1上，所以x∈[﹣1,1]．所以eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的最大值為2＋4＝6.方法二如圖所示，因為點P在圓x2＋y2＝1上，所以可設P(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(cosα＋2，sinα)，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝2cosα＋4≤2＋4＝6，當且僅當cosα＝1，即α＝0，P(1,0)時等號成立．11．已知在面積為eq\r(3)的△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B﹣sinAsinB，eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，P為AD上一點，且滿足eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋meq\o(CB,\s\up6(→))，則|eq\o(CP,\s\up6(→))|的最小值為________．答案1解析在△ABC中，設角A