江蘇省揚州市三年（2019-2021）中考數學真題知識點分類匯編-解答題

江蘇省揚州市三年（2019-2021）中考數學真題知識點分類匯編-解答題

實數的運算（共1小題）

1.（2021?揚州）計算或化簡：

（1）（-A）0+|A/3-3|+tan600.

3

（2）（a+W+（1+1）.

ab

二.分式的乘除法（共1小題）

2.（2020?揚州）計算或化簡：

（1）2sin60°+（A）

2

（2）2zl^A2zl?.

Xx2+x

三.分式的加減法（共1小題）

3.（2019?揚州）計算或化簡：

（1）V8-（3-Ji）0-4cos45°；

21

（2）-J—+_2_.

a-ll-a

四.二元一次方程組的解（共1小題）

4.（2021?揚州）已知方程組［2x3=7的解也是關于“、y的方程且比的一個解，求a的值.

Ix=y-l

五.二元一次方程組的應用（共1小題）

5.（2020?揚州）閱讀感悟：

有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題:

已知實數x、y滿足3x-y=5①，2戶3尸7②，求x-4y和7戶5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規(guī)思路

運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代

數式的值，如由①-②可得x-4尸-2,由①+②X2可得7x+5y=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整

體思想”.

解決問題:

第1頁共48頁

（1）已知二元一次方程組J2x'=7'則x-尸_______,產尸_______；

x+2y=8,

（2）某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡

皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

（3）對于實數x、y,定義新運算：廣尸a廣3c,其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法

運算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

六.分式方程的應用（共3小題）

6.（2021?揚州）為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產效率比原先提

高了20%,現在生產240萬劑疫苗所用的時間比原先生產220萬劑疫苗所用的時間少0.5天.問原先每

天生產多少萬劑疫苗？

7.（2020?揚州）如圖，某公司會計欲查詢乙商品的進價，發(fā)現進貨單已被墨水污染.

進貨單

商品進價（元/件）數量（件）總金額（元）

甲7200

乙3200

商品采購員李阿姨和倉庫保管員王師傅對采購情況回憶如下：

李阿姨：我記得甲商品進價比乙商品進價每件高50%.

王師傅：甲商品比乙商品的數量多40件.

請你求出乙商品的進價，并幫助他們補全進貨單.

8.（2019?揚州）“綠水青山就是金山銀山”為了更進一步優(yōu)化環(huán)境，甲、乙兩隊承擔河道整治任務.甲、

乙兩個工程隊每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的時間與乙工程隊整治2400米所用的

時間相等.求甲工程隊每天修多少米？

七.一元一次不等式組的整數解（共2小題）

'x+540,

9.（2020?揚州）解不等式組lsx-1、并寫出它的最大負整數解.

-^―>2x+l，

’4（x+l）《7x+13

10.（2019?揚州）解不等式組|/x-8，并寫出它的所有負整數解.

1x-4〈號

八.反比例函數綜合題（共1小題）

11.（2020?揚州）如圖，已知點4（1,2）、8（5,〃）">0）,點尸為線段48上的一個動點，反比例函數

第2頁共48頁

尸K(x>0)的圖象經過點。.小明說：“點尸從點力運動至點8的過程中，立值逐漸增大，當點尸在

x

點A位置時在值最小，在點6位置時左值最大.”

(1)當〃=1時.

①求線段月8所在直線的函數表達式.

②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的k

的最小值和最大值.

(2)若小明的說法完全正確，求〃的取值范圍.

12.(2021?揚州)甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經理的一段對話：

甲公司經理:如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果

每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車

支付月維護費200元.

乙公司經理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付

月維護費共計1850元.

說明：①汽車數量為整數；②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤

-月利潤較低公司的利潤.

在兩公司租出的汽車數量相等的條件下，根據上述信息，解決下列問題：

(1)當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是元；當每個公司租出的汽車為

輛時，兩公司的月利潤相等；

(2)求兩公司月利潤差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元(a>0)給慈善機構，如果捐款后甲公司剩余的月

利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之

差最大，求a的取值范圍.

第3頁共48頁

一十.二次函數綜合題(共1小題)

13.(2021?揚州)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=/+6射c的圖象與x軸交于點?1(-1,0)、B

(3,0),與y軸交于點C

(1)b—,c—；

(2)若點〃在該二次函數的圖象上，且治械=2加做>求點。的坐標：

(3)若點戶是該二次函數圖象上位于x軸上方的一點，且右，附=加,.直接寫出點尸的坐標.

14.(2019?揚州)如圖，平面內的兩條直線4、4，點46在直線△上，點C、〃在直線心上，過4、B

兩點分別作直線4的垂線，垂足分別為4,B、,我們把線段力由叫做線段4?在直線4上的正投影，其

長度可記作7(.劭或7(AB，1)，特別地線段力。在直線人上的正投影就是線段4c

請依據上述定義解決如下問題：

(1)如圖1,在銳角△/a'中，4?=5,T<K.岫=3,則T(BC,例=;

(2)如圖2,在Rt^/1a'中，NACB=90。，兀設順=4,九照例=9,求△力a1的面積；

(3)如圖3,在鈍角比中，/4=60°，點〃在四邊上，/“7=90°,7;械一。=2,7;出洞=6,求

T(ac.曲，

第4頁共48頁

B

A.B,CD'24匕---------

一十二.平行四邊形的性質（共2小題）

15.（2020?揚州）如圖，口46（力的對角線/，、切相交于點。，過點。作9L/C分別交力氏人于點氏F,

連接"、CE.

（1）若施=3,求所的長；

2

（2）判斷四邊形產的形狀，并說明理由.

16.（2019?揚州）如圖，在平行四邊形4?切中，AE平-分4DAB,已知龍=6,BE=8,DE=\Q.

(1)求證：ZBEC=90°；

(2)求cosNDAE.

一十三.平行四邊形的判定與性質（共1小題）

17.（2021?揚州）如圖，在△/況1中，N/。的角平分線交優(yōu)于點〃，DE//AB,DF//AC.

（1）試判斷四邊形加怩的形狀，并說明理由；

（2）若/胡C=90°,且442近，求四邊形"Z應的面積.

第5頁共48頁

一十四.四邊形綜合題(共2小題)

18.(2020?揚州)如圖1,已知點。在四邊形4909的邊46上，鳧.0A=0B=0C=0D=2,0C平-%4BOD,與

劭交于點C,立1分別與斂陽交于點區(qū)F.

(1)求證：OC//AD-,

(2)如圖2,若DE=DF,求處的值；

AF

(3)當四邊形/物的周長取最大值時，求些的值.

DF

19.(2019?揚州)如圖，四邊形4伙力是矩形，4E=2Q,8c=10,以切為一邊向矩形外部作等腰直角

/G=90°.點"在線段相上，且4Ua,點一沿折線段-加運動，點0沿折線6C-Q7運動(與點G

不重合)，在運動過程中始終保持線段切〃48.設倒與四之間的距離為x.

(1)若a=12.

①如圖1,當點。在線段相上時，若四邊形小磔的面積為48,則x的值為；

②在運動過程中，求四邊形和//的最大面積；

(2)如圖2,若點尸在線段加上時，要使四邊形如磔的面積始終不小于50,求a的取值范圍.

第6頁共48頁

GG

G

一十五.直線與圓的位置關系（共1小題）

20.（2020?揚州）如圖，△4園內接于。。，N8=60°,點后在直徑切的延長線上，S.AE=AC.

（1）試判斷1￡與。。的位置關系，并說明理由：

（2）若｛C=6,求陰影部分的面積.

一十六.切線的判定與性質（共1小題）

21.（2019?揚州）如圖，四是。。的弦，過點0作施工/，OC交于P,CP^BC.

（1）求證：比是。。的切線；

（2）已知/胡425°,點0是盤上的一點.

①求N4Q6的度數；

②若力=18,求贏的長.

一十七.扇形面積的計算（共1小題）

22.（2021?揚州）如圖，四邊形46切中，AD//BC,ZBAD=90Q,CB^CD,連接6〃，以點6為圓心，BA

長為半徑作08，交物于點反

第7頁共48頁

(1)試判斷以與。6的位置關系，并說明理由：

(2)若AB=2，j,/仇力=60°,求圖中陰影部分的面積.

一十八.圓的綜合題(共1小題)

23.(2021?揚州)在一次數學探究活動中，李老師設計了一份活動單：

已知線段a1=2,使用作圖工具作/胡C=30°,嘗試操作后思考：

(1)這樣的點力唯一嗎？

(2)點4的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追夢”/劉函通過葡小5藻廠討論后匯報：點了他亶示唯二「旨花以及海郊麗弧上(點員C

除外)，….小華同學畫出了符合要求的一條圓弧(如圖1).

(1)小華同學提出了下列問題，請你幫助解決.

①該弧所在圓的半徑長為；

②△力6，面積的最大值為；

(2)經過比對發(fā)現，小明同學所畫的角的頂點不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內部，我

們記為4,請你利用圖1證明/創(chuàng)'030°.

(3)請你運用所學知識，結合以上活動經驗，解決問題：如圖2,已知矩形力比》的邊長4=2,BC=3,

點P在直線切的左側，且tan/加仁=匹.

3

①線段如長的最小值為；

②若S^K0=—S/\PAD＞則線段如長為.

3

第8頁共48頁

圖2備用圖

一十九.幾何變換綜合題(共1小題)

24.(2019?揚州)如圖，已知等邊宛■的邊長為8,點尸是邊上的一個動點(與點4、8不重合).直

線,是經過點尸的一條直線，把△/1比沿直線/折疊，點6的對應點是點".

(1)如圖1,當昨4時，若點夕恰好在4c邊上，則的'的長度為；

(2)如圖2,當用=5時，若直線/〃4G則仍'的長度為：

(3)如圖3,點。在46邊上運動過程中，若直線/始終垂直于4G/XACB'的面積是否變化？若變化，

說明理由；若不變化，求出面積；

(4)當陽=6時-，在直線/變化過程中，求面積的最大值.

25.(2019?揚州)揚州市“五個一百工程”在各校普遍開展，為了了解某校學生每天課外閱讀所用的時間

情況，從該校學生中隨機抽取了部分學生進行問卷調查，并將結果繪制成如圖不完整的頻數分布表和頻

數分布直方圖.

每天課外閱讀時間t/h頻數頻率

0<tW0.524

0.5V0360.3

W1.50.4

L5VK212b

合計a1

第9頁共48頁

根據以上信息，回答下列問題：

(1)表中a=,b-；

(2)請補全頻數分布直方圖；

(3)若該校有學生1200人，試估計該校學生每天課外閱讀時間超過1小時的人數.

二十一.扇形統(tǒng)計圖(共1小題)

26.(2021?揚州)為推進揚州市“青少年茁壯成長工程”，某校開展“每日健身操”活動，為了解學生對

“每日健身操”活動的喜歡程度，隨機抽取了部分學生進行調查，將調查信息結果繪制成如下尚不完整

的統(tǒng)計圖表：

抽樣調查各類喜歡程度人數分布扇形統(tǒng)計圖

4非常喜歡

A比較喜歡

C無所謂

D不喜歡

抽樣調查各類喜歡程度人數統(tǒng)計表

喜歡程度人數

A.非常喜歡50人

6.比較喜歡加人

C.無所謂〃人

D.不喜歡16人

根據以上信息，回答下列問題:

第10頁共48頁

（1）本次調查的樣本容量是;

（2）扇形統(tǒng)計圖中表示4程度的扇形圓心角為°,統(tǒng)計表中0=；

（3）根據抽樣調查的結果，請你估計該校2000名學生中大約有多少名學生喜歡“每日健身操”活動（包

含非常喜歡和比較喜歡）.

二十二.條形統(tǒng)計圖（共1小題）

27.（2020?揚州）揚州教育推出的“智慧學堂”已成為同學們課外學習的得力助手.為了解同學們“智慧

學堂”平臺使用的熟練程度，某校隨機抽取了部分同學進行調查，并將調查結果繪制成如圖兩幅尚不完

整的統(tǒng)計圖.

抽樣調查各等級人數抽樣調查各等級人數分布扇形統(tǒng)計圖

4非常熟練

8比較熟練

C基本熟練

D不太熟練

或不熟練

（1）本次調查的樣本容量是,扇形統(tǒng)計圖中表示/等級的扇形圓心角為

（2）補全條形統(tǒng)計圖;

（3）學校擬對“不太熟練或不熟練”的同學進行平臺使用的培訓，若該校有2000名學生，試估計該校需

要培訓的學生人數.

二十三.列表法與樹狀圖法（共3小題）

28.（2021?揚州）一張圓桌旁設有4個座位，丙先坐在了如圖所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、

②、③中的2個座位上.

（1）甲坐在①號座位的概率是;

（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求甲與乙相鄰而坐的概率.

第11頁共48頁

29.(2020?揚州)防疫期間，全市所有學校都嚴格落實測體溫進校園的防控要求.某校開設了4、B、C三

個測溫通道，某天早晨，該校小明和小麗兩位同學將隨機通過測溫通道進入校園.

(1)小明從1測溫通道通過的概率是;

(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小麗從同一個測溫通道通過的概率.

30.(2019?揚州)只有1和它本身兩個因數且大于1的正整數叫做素數.我國數學家陳景潤從哥德巴赫猜

想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想是：“每個大于2的偶數都可以表示為兩個素數的

和”.如20=3+17.

(1)若從7、11、19、23這4個素數中隨機抽取一個，則抽到的數是7的概率是；

(2)從7、11、19、23這4個素數中隨機抽取1個數，再從余下的3個數中隨機抽取1個數，再用畫樹

狀圖或列表的方法，求抽到的兩個素數之和等于30的概率.

第12頁共48頁

江蘇省揚州市三年(2019-2021)中考數學真題知識點分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

一.實數的運算(共1小題)

1.(2021?揚州)計算或化簡：

(1)(-A)°+1-31+tan60°.

3

(2)(a+6)+(1+1).

ab

【解答】解：(1)原式=1+3-?蓊

=4；

(2)原式=Q+b)+豆也

=ab.

-,分式的乘除法(共1小題)

2.(2020?揚州)計算或化簡：

(1)2sin60°+(-1)-V12.

2

(2)

Xx2+x

【解答】解：(1)原式=2義退_+2-2我

2

=代+2-2y

=2-依；

(2)原式=三11，X(x+1)

X(x-1)(x+1)

=1.

三.分式的加減法(共1小題)

第13頁共48頁

3.(2019?揚州)計算或化簡:

(1)A/8-(3-it)0-4cos45°；

21

(2)-3—+-J—.

aTl-a

【解答】解：(1)原式=2&-1-4XYZ

2

=2&-1-272

=-1;

21

(2)原式=招一-」-

a-1a-l

@2_]

—a.1

a-l

=(a+1)(aT)

a-l

=a+l.

四.二元一次方程組的解(共1小題)

4.(2021?揚州)己知方程組[2x切=7的解也是關于“、y的方程。戶y=4的一個解，求a的值.

Ix=y-l

【解答】解：方程組12x刁=p,

lx=y-l②

把②代入①得：2(y-l)+y=7,

解得：7=3,代入①中，

解得：x=2,

把x=2,y=3代入方程ax+y=4得，2a+3=4,

解得：a=_l.

2

五.二元一次方程組的應用(共1小題)

5.(2020?揚州)閱讀感悟:

有些關于方程組的問題，欲求的結果不是每一個未知數的值，而是關于未知數的代數式的值，如以下問題:

已知實數雙y滿足3x-尸5①，2x+3尸7②，求x-4y和7x+5y的值.

第14頁共48頁

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得X、y的值再代入欲求值的代數式得到答案，常規(guī)思路

運算量比較大.其實，仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系，本題還可以通過適當變形整體求得代

數式的值，如由①-②可得x-4尸-2,由①+②X2可得7x+5y=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整

體思想”.

解決問題：

(1)已知二元一次方程組’則”一中一，戶口5；

x+2y=8，

(2)某班級組織活動購買小獎品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡

皮、3本日記本共需58元，則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？

(3)對于實數x、y,定義新運算：/y=a戶6戶c,其中a、b、c是常數，等式右邊是通常的加法和乘法

運算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=-11.

【解答】解：⑴(2x+y=79.

[x+2y=8(2)

由①-②可得：x-y=-1,

由工(①+②)可得：產y=5.

3

故答案為：-1;5.

(2)設鉛筆的單價為0元，橡皮的單價為〃元，日記本的單價為0元，

依題意，得：[20m+3n+2P=32①，

I39m+5n+3P=58②

由2義①-②可得研/?+0=6,

:.5〃升5山5夕=5X6=30.

答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元.

(3)依題意，得:伊+5b+c=15①,

14a+7b+c=28②

由3X①-2X②可得：a+Z,+c=-11,

即1*1=-11.

故答案為：-11.

六.分式方程的應用(共3小題)

6.(2021?揚州)為保障新冠病毒疫苗接種需求，某生物科技公司開啟“加速”模式，生產效率比原先提

高了20%,現在生產240萬劑疫苗所用的時間比原先生產220萬劑疫苗所用的時間少0.5天.問原先每

第15頁共48頁

天生產多少萬劑疫苗？

【解答】解：設原先每天生產X萬劑疫苗,

240八「220

由題意可得:+05=

(1+20%)X-"

解得：x=40,

經檢驗：x=40是原方程的解，

???原先每天生產40萬劑疫苗.

7.（2020?揚州）如圖，某公司會計欲查詢乙商品的進價，發(fā)現進貨單已被墨水污染.

進貨單

商品進價（元/件）數量（件）總金額（元）

甲7200

乙3200

商品采購員李阿姨和倉庫保管員王師傅對采購情況回憶如下：

李阿姨：我記得甲商品進價比乙商品進價每件高50%.

王師傅：甲商品比乙商品的數量多40件.

請你求出乙商品的進價，并幫助他們補全進貨單.

【解答】解：設乙商品的進價為x元/件，則甲商品的進價為（1+50%）”元/件，

依題意，得：—Z200-_3200=40,

（1+50%）xx

解得：x=40,

經檢驗，x=40是原方程的解，且符合題意，

（1+50%）x=60,3200=80,—720。_=120.

x（1+50%）x

答：甲商品的進價為60元/件，乙商品的進價為40元/件，購進甲商品120件，購進乙商品80件.

8.（2019?揚州）“綠水青山就是金山銀山”為了更進一步優(yōu)化環(huán)境，甲、乙兩隊承擔河道整治任務.甲、

乙兩個工程隊每天共整治河道1500米，且甲整治3600米河道用的時間與乙工程隊整治2400米所用的

時間相等.求甲工程隊每天修多少米？

【解答】解：設甲工程隊每天修x米，則乙工程隊每天修（1500-x）米，根據題意可得：

3600=2400

x1500-x

第16頁共48頁

解得：x=900,

經檢驗得：x=900是原方程的根，

答：甲工程隊每天修900米.

七.一元一次不等式組的整數解（共2小題）

x+540,

9.（2020?揚州）解不等式組I%-］、并寫出它的最大負整數解.

-^―>2x+l.

【解答】解：解不等式戶5W0,得xW-5,

解不等式3x-l22廣1,得：xW-3,

2

則不等式組的解集為x&-5,

所以不等式組的最大負整數解為-5.

’4（x+l）《7x+13

10.（2019?揚州）解不等式組|『x-8，并寫出它的所有負整數解.

【解答】解：解不等式4（戶1）W7V13,得：xN-3,

解不等式x-4〈三3,得：x<2,

3

則不等式組的解集為-3Wx<2,

所以不等式組的所有負整數解為-3、-2、-1.

八.反比例函數綜合題（共1小題）

11.（2020?揚州）如圖，已知點。（1,2）、B（5,n）5>0）,點尸為線段四上的一個動點,反比例函數

片區(qū)（*>0）的圖象經過點只小明說：“點尸從點/運動至點8的過程中，在值逐漸增大，當點尸在

x

點A位置時左值最小，在點8位置時4值最大.”

（1）當77=1時.

①求線段A?所在直線的函數表達式.

②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的k

的最小值和最大值.

（2）若小明的說法完全正確，求〃的取值范圍.

第17頁共48頁

【解答】解：(1)①當〃=1時，6(5,1),

設線段所在直線的函數表達式為y=m宓n,

把］(1,2)和6(5,1)代入得：

5m+n=l

m=a

解得：,

則線段力6所在直線的函數表達式為尸-1產9；

44

②不完全同意小明的說法，理由為:

k=xy=x(--x+.

4

,.TWA<5,

=

**?當X—1時，kmin2；

當x=a時，kmx——,

216

則不完全同意；

(2)當〃=2時，A(1,2),B(5,2),符合;

當n#2時，尸n-2戶10-n,

2

k=x(n-2r+10-n)=nz2(r,n-10)2+(lQ-n))

4442n-416(2-n)

當〃<2時，"隨x的增大而增大，則有生理_25,

2n-4

此時也W力＜2；

9

第18頁共48頁

當〃>2時?，A隨x的增大而增大，則有

2n-4

此時/?>2,

綜上，"，蛇.

9

九.二次函數的應用(共1小題)

12.(2021?揚州)甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經理的一段對話：

甲公司經理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果

每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車

支付月維護費200元.

乙公司經理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付

月維護費共計1850元.

說明：①汽車數量為整數：②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤

-月利潤較低公司的利潤.

在兩公司租出的汽車數量相等的條件下，根據上述信息，解決下列問題：

(1)當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元;當每個公司租出的汽車為_J7

輛時，兩公司的月利潤相等；

(2)求兩公司月利潤差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元(a>0)給慈善機構，如果捐款后甲公司剩余的月

利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之

差最大，求a的取值范圍.

【解答】解：(1)[(50-10)X50+3000]X10-200X10=480007C.

當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；

設每個公司租出的汽車為x輛，

由題意可得：[(50-x)X50+3000]x-200^=3500x-1850,

解得：x=37或x=-1(舍)，

當每個公司租出的汽車為37輛時，兩公司的月利潤相等；

(2)設兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為y,

則八，=[(50-x)X50+3000]x-200x,

y乙=3500x-1850,

第19頁共48頁

當甲公司的利潤大于乙公司時，0Vx<37,

y=y甲-y乙=[(50-x)X50+3000]A--200X-(3500%-1850)

=-50/+1800%+1850,

當*=1800=18時,利潤差最大，且為18050元；

-50X2

當乙公司的利潤大于甲公司時.，37cA<50,

y—y^-y甲=3500x-1850-[(50-x)X50+3000]廣200x

=50?-1800%-1850,

；對稱軸為直線x=--1800=18,50>0,

50X2

.?.當37c廬50時，y隨x的增大而增大，

.?.當x=50時，利潤差最大，且為33150元,

綜上：兩公司月利潤差的最大值為33150元；

(3)：捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，

則利潤差為y=-50X2+1800A+1850-ax=-50,+(1800-a)x+1850,

對稱軸為直線x=1800-a,

100

只能取整數，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，月利潤之差最大，

A16.5<1800~a<17.5,

100

解得:50<a<150.

一十.二次函數綜合題(共1小題)

13.(2021?揚州)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=/+6加c的圖象與x軸交于點4(-1,0)、B

(3,0),與y軸交于點C

(1)b--2,c--3；

(2)若點〃在該二次函數的圖象上，且叢磔=2叢械■,求點〃的坐標；

(3)若點〃是該二次函數圖象上位于x軸上方的一點，且治伊=叢,“直接寫出點〃的坐標.

第20頁共48頁

【解答】解：⑴?.?點/和點6在二次函數尸)+灰+c圖象上,

則，°=l-b+c,解得:戶=-2,

I0=9+3b+cIc=-3

故答案為：-2,-3；

(2)連接比；由題意可得：

/(-1,0),B(3,0),C(0,-3),尸V-2x-3,

,=

5A/fJa-^-x4X3=6，

,：Sa耶產2S&ABC，設點DCm,m-2m-3),

&RxIyu\=2X6,即2X4X|ni-2?-3=2X6,

22

解得：m=l-fVlOsK1-V7O.代入y=V-2x-3,

可得：y值都為6,

(3)設夕(〃，--2〃-3),

第21頁共48頁

?.?點戶在拋物線位于X軸上方的部分，

：.n<-1或〃>3,

當點尸在點1左側時，即〃<-1,

可知點C到的距離小于點6到的距離,

:*SHAKVSAAPB,不成“；

當點夕在點8右側時,即〃>3,

?.?△加七和△/陽都以力。為底，若要面積相等，

則點6和點。至U42的距離相等，即比〃仍

設直線6c的解析式為尸k/p,

則（O=3k+p,解得：==1,

[-3=pIp=-3

則設直線的解析式為尸x+q,將點1（-1,0）代入，

則-l+g=0,解得：g=l,

則直線月夕的解析式為尸戶1,將P",n-2/7-3）代入,

即n-In-3=加1,

解得：〃=4或〃=-1（舍），

n-2/2-3=5,

點一的坐標為（4,5）.

一十一.三角形綜合題（共1小題）

14.（2019?揚州）如圖，平面內的兩條直線人心，點46在直線九上，點。、〃在直線4上，過人6

兩點分別作直線4的垂線，垂足分別為4,B、,我們把線段4A叫做線段16在直線4上的正投影，其

第22頁共48頁

長度可記作九械⑺或7(AB，1/,特別地線段4C在直線人上的正投影就是線段4。

請依據上述定義解決如下問題：

(1)如圖1,在銳角△加。中，48=5,7\#,柳=3,則T<-2；

(2)如圖2,在中，ZJCB=90°,幽=4,九陽詢=9,求△/(及7的面積；

(3)如圖3,在鈍角△/如中，/4=60°,點〃在48邊上，/4。=90°,7\他心=2,7(陽例=6,求

【解答】解：(1)如圖1中，作CHLAB.

*T(AC,AB)=3，

:.AH=3,

?；A8=5,

:.BH=5-3=2,

??T(舐期=BH=2,

故答案為2.

(2)如圖2中，作CHLAB于IL

第23頁共48頁

B

圖2

e?,T(AC,=4，T(ffc,AB)=9，

：.AH=4fBH=9,

VAACB=ZCHA=ZCHB=90°,

.,.ZJ+ZJffl=90°,/ACm/BCH=9G,

：./A=/BCH,

:.△ACHS^CBH,

?CH=AH

??麗CH，

?CH_4

??,

9CH

:.CH=6,

：.8,、=工?力，?勿=JLX13X6=39.

22

(3)如圖3中，悴CH工AD千H,BKLCD于K.

：.AC=2f

VZJ=60°,

:?NADC=/BDK=3G°,

：.CD=MAC=2M，力。=2HC=4,AH=LAC=1,DH=ADAH=',

2

,**Tme,AB>=6,CH_LAB,

第24頁共48頁

:?BH=6,

：.DB=BH-DH=3,

在Rl△胸中，VZ^=90°,BD=3,N做仁=30°,

：.DK=BD*cos^Q0=百氏

2

：.CK-CD^DK~2

22

=

:.T{BC.an6X=—..

2

一十二.平行四邊形的性質(共2小題)

15.(2020?揚州)如圖，口力靦的對角線勿相交于點0,過點。作加分別交4?、DC于點、E、F,

連接4尺CE.

(1)若OE=3,求)的長；

2

(2)判斷四邊形力直尸的形狀，并說明理由.

【解答】解：(1)?.?四邊形力頷是平行四邊形,

：.AB//CD,AO=CO,

：.AFCO=AEAO,

又,:AAOE=ACOF,

：./\AOI^/\COF(ASA),

：.OE=OF=3,

2

:.EF=2OE=0,

(2)四邊形/f以獷是菱形，

理由：庫△3E

:.AE=CF,

第25頁共48頁

又,：AEHCF、

四邊形4戊/是平行四邊形,

又?：EF1AC,

四邊形力比尸是菱形.

16.(2019?揚州)如圖，在平行四邊形4?(力中，AE平分NDAB,已知以=6,BE=8,庾=10.

(1)求證：NBEC=9Q°；

(2)求cosZ.DAE.

【解答】(1)證明：；四邊形/時是平行四邊形，

：.DC=AB,AD=BC,DC//AB,

；.NDEA=NEAB,

?.?/i1平分/加8,

:.NDAE=NEAB,

：.ADAE=ADEA

：.AD=DE=\Q,

.\BC=10,AB=CD=DE+CE=\6,

'：出應2=6-82=100=〃，

...△&F是直角三角形，NM?=90°；

(2)解：,：AB//CD,

:.NABE=NBEC=9Q°,

:AE=22

'VAB+BE=V162+82=8遙’

第26頁共48頁

，cos/%￡=cos/必8=速=」^=22區(qū).

AE8V55

一十三.平行四邊形的判定與性質（共1小題）

17.（2021?揚州）如圖，在△49C中，N掰。的角平分線交比'于點〃，DE//AB,DF//AC.

（1）試判斷四邊形47族的形狀，并說明理由；

（2）若N為仁90°,且4）=2a，求四邊形/儂的面積.

'：DE//AB,DF//AC,

四邊形48坦是平行四邊形，

?.3。平分/胡G

：.AFAD=AEAD,

'：DE//AB,

：.AEDA=AFAD,

：.AEDA=AEAD,

：.AE=DE,

???平行四邊形"Z應是菱形；

（2）VZBAC=W°,

.?.四邊形加怩是正方形，

'.'AD=2y[2>

：.AF=DF=DE=AE=^O-=2,

V2

，四邊形4汽厲的面積為2X2=4.

一十四.四邊形綜合題（共2小題）

18.（2020?揚州）如圖1,已知點。在四邊形46位的邊四上，a0A=0B=0C=0A2,0C平分人BOD,與

第27頁共48頁

做交于點G,然分別與必如交于點樂F.

(1)求證：OC//AD-,

(2)如圖2,若DE=DF,求處的值；

AF

(3)當四邊形4成》的周長取最大值時，求些的值.

DF

：./OAD=/ADO,

,：0C平分乙BOD,

：.ADOC=ZCOB,

又ADOC+ZCOB^=ZOAl^ZADO,

：.ZADO=ZDOC,

：.C0//AD-,

(2)解：如圖1,

AZJZW=90°,

設/加G=a,貝IJ/D=N〃4G=a.

'：OA=OD,DA//OC,

第28頁共48頁

：./0DA=/0AD=2a,

：.4DFE=3Q,

,:DF=DE,

：?4DEF=4DFE=3a,

A4a=90°,

???a=22.5°,

：.ZDAO=45Q,

???△?!如和△力做為等腰直角三角形,

:.AD=?A0,

?但班，

AOv

?：DE=DF,

:./DFE=/DEF,

*：2DFE=/AFO,

:./AFO=/AED,

又N力龐=N力帆=90°,

.??△/!龐s△力陽

，運a地.

AFAOv

(3)解:如圖2,

U：OD=OB,4BOC=4DOC,

：.l\BOC^/\DOC(S4S),

:?BC=CD,

第29頁共48頁

設BC=CD=x,CG=m,則06=2-m,

?：o百-O4=BE-ah

.*.4-（2-42=x-m,

解得：/7?=—2,

4XY

.?.QG=2

4

'：OD=OB,4D0G=/B0G,

為3的中點,

又為四的中點，

."片206=4-工2,

2x

二四邊形4〃力的周長為2冊砂■仍=2廿4-工4=--1.（_）2+10,

x〃AX2+2A+8=x2

；-A<0,

2

；.x=2時，四邊形5的周長有最大值為10.

：.BC=2,

二△8Q7為等邊三角形，

:.NBOC=6Q°,

'：OC//AD,

：.ZDAO=ZCOB=QOQ,

：.4ADF=4DOC=60°,/%f=30°,

90°