空間兩條直線的位置關(guān)系

2.1.2空間中兩直線的位置關(guān)系

同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？相交直線平行直線相交直線〔有一個公共點〕平行直線〔無公共點〕aboab復(fù)習(xí)引入兩條筆直的路相交ABCD兩路相交立交橋立交橋中,兩條路線AB,CD既不平行，又不相交要用數(shù)學(xué)的眼光看世界在如下圖的正方體的棱所在的直線中，你能找出一對既不相交也不平行的嗎？很顯然，由初中學(xué)習(xí)的平面幾何拓展到高中學(xué)習(xí)的立體幾何，兩條直線出現(xiàn)了第3種位置關(guān)系-------既不平行也不相交，你能畫出它們的圖像嗎？直觀圖的畫法αab直觀圖的畫法觀圖的畫法分別在兩個相交平面內(nèi)畫異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線abaabb畫法：(利用平面作為襯托)異面直線

兩直線異面的判別二:兩條直線不同在任何一個平面內(nèi).1.異面直線的定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線〔skewlines〕。兩直線異面的判別一:

兩條直線

既不相交、又不平行.注11、相交2、平行ml只有一個公共點沒有公共點在同一平面空間中兩直線的三種位置關(guān)系3、異面mPl沒有公共點不同在任一平面mlP按平面根本性質(zhì)分共面相交直線平行直線

不共面異面直線

有一個公共點:

按公共點個數(shù)分相交直線無公共點平行直線異面直線空間中直線與直線之間的位置關(guān)系發(fā)揮你的想象力:練習(xí)1：下列說法是否正確（1）,則與是異面直線（2）不同在平面內(nèi)，則與是異面直線其中表示直線，表示平面。a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

abab

不同在平面內(nèi)答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。

練習(xí)判斷以下各命題的正誤：1．沒有公共點的兩條直線是異面直線．×練習(xí)判斷以下各命題的正誤：2．平面內(nèi)一點與平面外一點的連線，和平面內(nèi)的直線一定是異面直線．×練習(xí)判斷以下各命題的正誤：3．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．×練習(xí)判斷以下各命題的正誤：4．在空間既不平行也不相交的直線是異面直線．√練習(xí)判斷以下各命題的正誤：5．和同一直線都是異面直線的兩條直線是異面直線．×練習(xí)判斷以下各命題的正誤：×6．不在平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．練習(xí)判斷以下各命題的正誤：7．不可能在同一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．√練習(xí)提升“a，b是異面直線〞是指

①

a∩b=Φ,且a不平行于b；②

a平面，b平面且a∩b=Φ③

a

平面，b

平面

④

不存在平面，能使a

且b

成立1、上述結(jié)論中，正確的選項是 〔

〕〔A〕①②〔B〕①③〔C〕①④〔D〕③④2、長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有 〔

〕

〔A〕2對〔B〕3對 〔C〕6對 〔D〕12對CC3、兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，那么直線a，b的位置關(guān)系是〔

〕〔A〕一定是異面直線〔B〕一定是相交直線〔C〕可能是平行直線 〔D〕可能是異面直線，也可能是相交直線 4、一條直線和兩條異面直線中的一條平行,那么它和另一條的位置關(guān)系是(

)〔A〕平行〔B〕相交〔C〕異面〔D〕相交或異面DD探究以下圖是一個正方體的展開圖，如果將它復(fù)原為正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在的直線是異面直線的有對．DBACEFHG3直線EF和直線HG直線AB和直線HG直線AB和直線CD3.異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯開程度,如圖.在空間,如下圖,正方體ABCD－EFGH中,異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO(2)問題提出(1)復(fù)習(xí)回憶(3)解決問題異面直線所成角的定義:如圖,兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b那么把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).abb′a′O思想方法:平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:

這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b注2a

″(4)理論支持abced㈠：我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察:將一張紙如圖進行折疊,那么各折痕及邊a,b,c,d,e,…之間有何關(guān)系？a∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行．———平行線的傳遞性推廣：在空間平行于一條直線的所有直線都互相平行．㈡：在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補〞．空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？定理〔等角定理〕：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．觀察:如下圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC與∠A1D1C1,∠ADC與∠A1B1C1兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?答:從圖中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD思考:

這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),解答：如圖設(shè)a′與b′相交所成的角為∠1,a

″與b所成的角為∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:這個角的大小與O點的位置無關(guān).

在求作異面直線所成的角時,O點常選在其中的一條直線上

(如線段的端點,線段的中點等)注3aα三、異面直線所成角的定義：1.直線a、b是異面直線。經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a1∥a，b1∥b。我們把直線a1和b1所成的銳角〔或直角〕叫做異面直線a和b所成的角。ba1b1Ob

aαOθ為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上。2.異面直線a和b所成的角的范圍：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

相交垂直（有垂足）垂直異面垂直（無垂足）OααO因此，異面直線所成角的范圍是〔0，]3、特例：以下圖長方體中平行相交異面點擊旋轉(zhuǎn)長方體②

BD和FH是

直線①

EC和BH是

直線③BH和DC是

直線BACDEFHG(2).與棱AB所在直線異面的棱共有

條?4分別是：CG、HD、GF、HE(1)說出以下各對線段的位置關(guān)系?例1典型例題例2.如圖，在正方體中，〔1〕哪些棱所在的直線與直線BA1成異面直線？〔2〕求直線BA1和CC1所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1解：〔1〕與直線BA1成異面直線有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D（2）∵B1B∥C1C∴∠A1B1B是異面直線BA1和CC1所成的角易求得所成的角為典型例題典型例題例2如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．BCADEFHG所以，且證明：連接BD，因為EH是的中位線，同理，且因為，且所以四邊形EFGH是平行四邊形．ABGFHEDC例3.如圖，正方體ABCD-EFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心，求(1)BE與CG所成的角？(2)FO與BD所成的角？

解:

(1)如圖:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，

又

BEF中∠EBF=45，所以BE與CG所成的角是45ooO連接HA、AF，依題意知O為AH中點,∴∠HFO=30o(2)連接FH，所以FO與BD所成的夾角是30o∴四邊形BFHD為平行四邊形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=那么AH=HF=FA∴△AFH為等邊△求異面直線所成的角的步驟是:一作(找)：作〔或找〕平行線二證：證明所作的角為所求的異面直線所成的角。三求：在一恰當(dāng)?shù)娜切沃星蟪鼋?/p>

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其補角）為所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其補角）為所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o課堂練習(xí)1ABGFHEDC2如圖，正方體中，求A1B1與C1C所成的角AD與B1B所成的角A1D與BC1所成的角D1C與A1A所成的角A1D與AC所成的角ABCDA1B1C1D1課堂練習(xí)21.空間兩直線的位置關(guān)系：（1）從公共點的數(shù)目來看可分為：①有且只有一個公共點則兩直線相交兩平行直線