江蘇省七校（基地學(xué)校）聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題(含答案)

江蘇省七校聯(lián)考2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期階段測(cè)試高二數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(▲)A． B． C． D．2．曲線在點(diǎn)處的切線方程為(▲)A．B．C．D．3．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則(▲)A． B．3 C．6 D．94．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，則等于(▲)A．1008 B．1009 C．1010 D．10115．設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則(▲)A．B．C．D．6．現(xiàn)定義離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為，若以原點(diǎn)為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則(▲)A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(▲)A． B． C． D．8．如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，A、B、C、D是它們的公共點(diǎn)，且都在圓上，直線與x軸交于點(diǎn)P，直線與雙曲線交于點(diǎn)，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為(▲)A．2B．C．D．4二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）9．已知函數(shù)，則(▲)A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則10．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，關(guān)于數(shù)列，下列命題中正確的是(▲)A．若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列B．若（A，B為常數(shù)），則是等差數(shù)列C．若，則是等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列11．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為.已知，直線的斜率為，則(▲)A． B．C．雙曲線的方程為 D．12．在平面直角坐標(biāo)系中，在圓上運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(▲)A．點(diǎn)到直線的距離最大值是B．的最小值為C．的最小值為10D．過(guò)直線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線過(guò)定點(diǎn)三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上。）13．等差數(shù)列中，，，則滿足不等式的正整數(shù)的最大值是▲.14．已知直線是拋物線的準(zhǔn)線，拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，若為上一點(diǎn)，與的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，在中，，則的值為▲.15．已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的最小值為▲.16．如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，，虛軸兩端點(diǎn)為，，兩焦點(diǎn)為，，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為,則菱形的面積與矩形的面積的比值▲.四、解答題（本題共6小題，共70分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17．（本題滿分10分）已知圓的圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)（1）求圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程.18．（本題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（本題滿分12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；20．（本題滿分12分）從①，，成等差數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答下列問(wèn)題.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，且▲.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.21．（本題滿分12分）函數(shù)．(1)求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，離心率為，其左右焦點(diǎn)分別為，．(1)若點(diǎn)P與，的距離之比為，求直線被點(diǎn)P所在的曲線截得的弦長(zhǎng)；(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，Q為上異于，的任意一點(diǎn)，直線，分別與橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，N，求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)．江蘇省七校聯(lián)考2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期階段測(cè)試(參考答案)題號(hào)12345678答案CCBDBADB題號(hào)9101112答案ACBCACDBCD題號(hào)13141516答案591.化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為2.，，故，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.3.設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，由題，則，所以，所以.4.解：由題意可得，當(dāng)時(shí)，，，兩式作差可得，即，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列任意連續(xù)兩項(xiàng)之和為1，又因?yàn)?，所以?.由已知，，則．設(shè)，則．因?yàn)椋瑒t．又，則，即，從而．當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即6.依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點(diǎn)所在直線方程為，解得，因?yàn)?，所?.數(shù)列滿足，①當(dāng)時(shí)，，②①②得，，故，則，則，由于恒成立，故，整理得：，因隨的增加而減小，所以當(dāng)時(shí)，最大，且為，即.8.設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由，，所以，所以橢圓方程可化為，由，兩式相減得，，則，根據(jù)對(duì)稱性可知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱.則，直線的方程為.將代入得，由，解得或，而，，所以，所以，所以雙曲線方程可化為，由消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，解得，所以，所以.9.因?yàn)?，，所以，令，即；令，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故C正確；因?yàn)椋瘮?shù)大致圖象如圖，要使方程在區(qū)間上有兩解，則，故D錯(cuò)誤.10.對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)椋?，可知?shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知時(shí)，符合上式，綜上所述：，可得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知時(shí)，符合上式，綜上所述：，可得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，取，則，此時(shí)顯然，，不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.11.因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，所以，所以，故正確；設(shè)，因?yàn)榍?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，解得，所以，則離心率，故錯(cuò)誤，所以雙曲線方程為：，故正確，，故正確.12.由圓的方程可知：圓心，半徑，由可知：直線的方程為，即，對(duì)于選項(xiàng)A：圓心到直線的距離為：，所以點(diǎn)到直線的距離最大值是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由在上，所以可設(shè)，所以，，所以，所以，其中，故當(dāng)時(shí)，的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，設(shè)存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)均有，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)可得①又因?yàn)?，即②。②代入①化?jiǎn)可得，即，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)在線段上時(shí)，，所以，所以的最小值為10，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，連接，如圖所示：由直線與圓相切的性質(zhì)可知：，所以在以為直徑的圓上，其圓心為的中點(diǎn)，設(shè)為，設(shè)，所以，，半徑為，所以所在圓的方程為：，整理得，將圓與圓的方程聯(lián)立，作差得直線的方程，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，代入直線的方程得，整理得，所以解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)13.由得，即，又，解得.14.因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，所以，，因?yàn)樵谥?，，所以由正弦定理可得?因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn)，所以可設(shè)為由此可得，平方化簡(jiǎn)可得：，即，可得,.15.令，則，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，原條件等價(jià)于方程有實(shí)根，令，則，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為.16.因?yàn)橐詾橹睆降膱A內(nèi)切于菱形，可得點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)樘撦S的兩端點(diǎn)為，所以，在中，由三角形的面積公式值，即，因?yàn)?，可得，即，又因?yàn)?，解得，設(shè)，可得，所以，在中，可得，所以，菱形的面積，所以.17解：（1）圓的圓心在直線上，設(shè)所求圓心坐標(biāo)為∵過(guò)點(diǎn)，解得∴所求圓的方程為（2）直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且被圓截得的弦長(zhǎng)為2①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，滿足條件；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由于直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故圓心到直線的距離為故由點(diǎn)到直線的距離公式得：解得，所以直線l的方程為。綜上所述，則直線l的方程為或18.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，或（舍）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，兩式相減得，整理得。為正項(xiàng)數(shù)列，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為1.（2），。兩式相減得；.19.解：（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，若和時(shí)，；若時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.20.解：（1）由，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.選①，由，，成等差數(shù)列，可得，即，解得，所以.選②，由，，成等比數(shù)列，得，即，解得，所以.選③，由，得，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，記前項(xiàng)和中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，則.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，記前項(xiàng)和中的偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，故.21.解（1）由題可得令，得；令，得，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和．（2）由，得，即．設(shè)，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，，所以．所以即在上單調(diào)遞增，則．若，則，所以h(x)在上單調(diào)遞增．所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合題意．若a＞2，則，必存在正實(shí)數(shù)，滿足：當(dāng)時(shí)，，h(x)單調(diào)遞減，此時(shí)h(x)＜h(