新版高一數學必修第一冊第四章全部課件

新版高一數學必修第一冊

第四章全部課件人教2019A版必修第一冊4.1.1n次方根與分數指數冪第四章

指數函數與對數函數1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性質．(重點)2.能利用根式的性質對根式進行運算．(重點、難點、易錯點)學習目標3.理解分數指數冪的含義，掌握根式與分數指數冪的互化．(重點、難點)溫故知新合作探究歸納總結跟蹤訓練合作探究歸納總結跟蹤訓練(1)觀察以下式子,并總結出規(guī)律:(a>0)結論:當根式的被開方數的指數能被根指數整除時,根式可以表示為分數指數冪的形式.合作探究(2)利用(1)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?類比總結:當根式的被開方數的指數不能被根指數整除時,根式可以寫成分數指數冪的形式.(3)你能用方根的意義解釋(2)的式子嗎?43的5次方根是75的3次方根是a2的3次方根是a9的7次方根是結果表明:方根的結果與分數指數冪是相通的.綜上,我們得到正數的正分數指數冪的意義.3.規(guī)定0的正分數指數冪為0,0的負分數指數冪沒有意義.1.正數的正分數指數冪的意義：2.正數的負分數指數冪的意義：概念解析自主小測1.用根式表示下列各式:(a＞0)

2.用分數指數冪表示下列各式：跟蹤訓練歸納總結當堂達標1、n次方根和根式的概念。2、3、當n為奇數時，a的n次方根是。當n為偶數時，正數a的n次方根是負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是0當n是奇數時，當n是偶數時，課堂小結28-11月-234.分數指數概念(a＞0,m,n∈N*,n＞1)5.有理指數冪運算性質(3)0的正分數指數冪為0,0的負分數指數冪沒有意義.人教2019版必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.1.1

n次方根與分數指數冪課程目標

1.理解n次方根、根式的概念與分數指數冪的概念;2.掌握分數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值；3.掌握分數指數冪的運算性質。數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：n次方根、根式的概念與分數指數冪的概念；2.邏輯推理：分數指數冪和根式之間的互化；3.數學運算：利用分數指數冪的運算性質化簡求值；4.數學建模：通過與初中所學的知識進行類比，得出分數指數冪的概念，和指數冪的性質。

自主預習，回答問題閱讀課本104-106頁，思考并完成以下問題(1)n次方根是怎樣定義的？(2)根式的定義是什么？它有哪些性質？(3)有理數指數冪的含義是什么？怎樣理解分數指數冪？(4)根式與分數指數冪的互化遵循哪些規(guī)律？(5)如何利用分數指數冪的運算性質進行化簡？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。題型分析舉一反三題型一根式的化簡(求值)例1求下列各式的值解：

=-8=|-10|=10==解題方法（根式求值）

(2)在對根式進行化簡時,若被開方數中含有字母參數,則要注意字母參數的取值范圍,即確定

中a的正負,再結合n的奇偶性給出正確結果.題型二分數指數冪的簡單計算問題；.例2：求值。解：解題方法（分數指數冪的運算技巧）1.對于既含有分數指數冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分數指數冪的形式,以便于計算.如果根式中的根指數不同,也應化成分數指數冪的形式.2.對于計算題的結果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結果不能同時含有根號和分數指數,也不能既含有分母又含有負指數.1.計算題型三根式與分數指數冪的互化例3.用分數指數冪的形式表或下列各式（a＞0）

；.解：；.解題方法（根式與分數指數冪的互化）（1）根指數化為分數指數的分母，被開方數(式)的指數化為分數指數的分子．（2）在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性質解題．答案：C題型四利用分數指數冪的運算性質化簡求值例4.

解題方法（利用指數冪的運算性質化簡求值的方法）(1)進行指數冪的運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數，同時兼顧運算的順序．(2)在明確根指數的奇偶(或具體次數)時，若能明確被開方數的符號，則可以對根式進行化簡運算．(3)對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式表示．人教2019版必修第一冊4.1.2無理數指數冪及其運算性質第四章指數函數與對數函數課程目標

1.理解無理數指數冪的概念;2.掌握實數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值；3.掌握實數指數冪的運算性質；4.能利用已知條件求值.數學學科素養(yǎng)

1.數學抽象：無理數指數冪的概念；2.邏輯推理：實數指數冪和根式之間的互化；3.數學運算：利用實數指數冪的運算性質化簡求值；4.數據分析：分析已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；5.數學建模：通過與有理數指數冪性質進行類比，得出無理數指數冪的概念和性質。自主預習，回答問題閱讀課本107-108頁，思考并完成以下問題(1)無理數指數冪的含義是什么？(2)如何利用實數指數冪的運算性質進行化簡？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。1.計算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的結果為

(

)A.15 B.17C.35 D.37答案:B解析:由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4.答案:[2,4)∪(4,+∞)題型分析舉一反三題型一指數冪的運算性質化簡求值解題方法（利用指數冪的運算性質化簡求值的方法）(1)進行指數冪的運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數冪，化小數為分數，同時兼顧運算的順序．(2)在明確根指數的奇偶(或具體次數)時，若能明確被開方數的符號，則可以對根式進行化簡運算．(3)對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式表示．

(1)解：（1）原式=題型二條件求值(1)a+a-1;

(2)a2+a-2;

(3)a2-a-2.分析:解答本題可從整體上尋求各式與條件

的聯(lián)系,進而整體代入求值.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,兩邊平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)設y=a2-a-2,兩邊平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.解題方法（已知某些代數式的值,求另外代數式的值）已知某些代數式的值,求另外代數式的值是代數式求值中的常見題型.解答這類題目時,可先分析條件式與所求式的區(qū)別與聯(lián)系,有時通過化簡變形把已知條件整體代入,有時需要根據已知條件求出某些字母參數的值再代入.另外還要注意隱含條件的挖掘與應用.人教2019A版必修第一冊4.1.2無理指數冪及其運算第四章

指數函數與對數函數1.理解分數指數冪的概念，掌握分數指數冪的運算法則，會根據根式和分數指數冪的關系和分數指數冪的運算法則進行計算分數指數冪；2.了解可以由有理數指數冪無限逼近無理數指數冪。3.體會指數冪的運算法則有有理數的范圍推廣到實數的范圍。學習目標溫故知新小試牛刀

無理數指數冪無理數指數冪：一般地，無理數指數冪aα(a>0，α是無理數)是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪觀察下表：的是否表示一個確定的實數？

無理數指數冪：一般地，無理數指數冪aα(a>0，α是無理數)是一個確定的實數．有理數指數冪的運算性質同樣適用于無理數指數冪．探究新知的過剩近似值的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752……的近似值的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562……

由上可以看出：可以由的不足近似值和過剩近似值進行無限逼近。2.指數冪的運算法則是：指數冪的運算法則典例解析歸納總結跟蹤訓練例2、化簡求值：典例解析歸納總結跟蹤訓練典例解析母題探究：1.在本例條件不變的條件下，求a－a－1的值．2．在本例條件不變的條件下，求a2－a－2的值．歸納總結當堂達標28-11月-231.分數指數概念(a＞0,m,n∈N*,n＞1)2.指數冪運算性質(3)0的正分數指數冪為0,0的負分數指數冪沒有意義.課堂小結人教A版必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.2.1指數函數的概念課程目標

1、通過實際問題了解指數函數的實際背景；2、理解指數函數的概念和意義.數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：指數函數的概念；2.邏輯推理：用待定系數法求函數解析式及解析值；3.數學運算：利用指數函數的概念求參數；4.數學建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的思想總結指數函數概念.

自主預習，回答問題閱讀課本111-113頁，思考并完成以下問題1.指數函數的概念是什么？2.指數函數解析式的特征？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。知識清單2.函數y=(a-2)ax是指數函數,則(

)A.a=1或a=3 B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1題型一判斷函數是否為指數函數

（1）（2）

（3）（4）例1判斷下列函數是否為指數函數題型分析舉一反三答案：由指數函數的定義易知（1）（2）（3）不是指數函數，（4）是指數函數.解題方法（判斷一個函數是否為指數函數）

(1)需判斷其解析式是否符合y＝(a>0，且a≠1)這一結構特征．(2)看是否具備指數函數解析式具有的三個特征．只要有一個特征不具備，則該函數不是指數函數．

1.判斷下列函數是否為指數函數(1)(2)

(3)(4)(>1,且)

答案：由指數函數的定義易知（1）（2）（3）不是指數函數，（4）是指數函數.題型二指數函數的概念例2（1）已知指數函數（＞0且≠1）的圖象過點（3，π），求(2)已知函數y=(a2-3a+3)ax是指數函數,求a的值.解：（1）將點（3，π），代入得到，即解得：，于是所以

解題方法（利用指數函數定義求參數）

1.已知指數函數圖象經過點P(-1,3),則f(3)=

.

2.已知函數f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x為指數函數,則a=

.

解析:(1)設指數函數為f(x)=ax(a>0且a≠1),由題意得a-1=3,

(2)函數f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指數函數,

人教2019A版必修第一冊4.2.1指數函數的概念第四章

指數函數與對數函數1.理解指數函數的概念與意義，掌握指數函數的定義

域、值域的求法．(重點)2.理解指數函數增長變化迅速的特點(難點)學習目標問題探究對于冪

，我們已經把指數的范圍拓展到了實數．上一章學習了函數的概念和基本性質，通過對冪函數的研究，進一步了解了研究一類函數的過程和方法．下面繼續(xù)研究其他類型的基本初等函數．

問題１隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數不斷增加，Ａ，Ｂ兩地景區(qū)自2011年起采取了不同的應對措施，Ａ地提高了景區(qū)門票價格，而Ｂ地則取消了景區(qū)門票．問題探究下表給出了Ａ，Ｂ兩地景區(qū)2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現了怎樣的變化規(guī)律？為了有利于觀察規(guī)律，根據表，分別畫出Ａ，Ｂ兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖問題探究觀察圖象和表格，可以發(fā)現，Ａ地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長），年增加量大致相等（約為１０萬次）；Ｂ地景區(qū)的游客人次則是非線性增長，年增加量越來越大，但從圖象和年增加量都難以看出變化規(guī)律．問題探究我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的．能否通過對Ｂ地景區(qū)每年的游客人次做其他運算發(fā)現游客人次的變化規(guī)律呢？請你試一試．從2002年起，將Ｂ地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

結果表明，Ｂ地景區(qū)的游客人次的年增長率都約為1.11-1＝0.11，是一個常數．做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增長率．增加量、增長率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個很重要的量．問題探究１年后，游客人次是２００１年的1.111倍；２年后，游客人次是２００１年的1.112倍；３年后，游客人次是２００１年的1.113倍；……x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍．如果設經過x年后的游客人次為２００１年的y倍，那么y＝

1.11x（x∈[０，＋∞））．①這是一個函數，其中指數x是自變量．像這樣，增長率為常數的變化方式，我們稱為指數增長．因此，Ｂ地景區(qū)的游客人次近似于指數增長．顯然，從２００１年開始，Ｂ地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：問題２當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？設死亡生物體內碳14含量的年衰減率為狆，如果把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位，那么問題探究

概念解析概念解析概念辨析分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，應先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；

典例解析

跟蹤訓練歸納總結例２（1）在問題１中，如果平均每位游客出游一次可給當地帶來1000元門票之外的收入，Ａ地景區(qū)的門票價格為150元，比較這15年間Ａ，Ｂ兩地旅游收入變化情況．解：（１）設經過x年，游客給Ａ，Ｂ兩地帶來的收入分別為f（x）和g（x），則f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用計算工具可得，當x=0時，f（０）－g（０）＝412000．當x≈10.22時，f（10.22）≈g（10.22）．結合圖可知：當x＜10.22時，f（x）＞g（x），當x＞10.22時，f（x）＜g（x）．當x＝14時，f（14）－g（14）≈347303．典例解析這說明，在2001年，游客給Ａ地帶來的收入比Ｂ地多412000萬元；隨后10年，雖然f（x）＞g（x），但g（x）的增長速度大于f（x）；根據上述數據，并考慮到實際情況，在2011年2月某個時刻就有f（x）＝g（x），這時游客給Ａ地帶來的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客給Ｂ地帶來的收入超過了Ａ地；由于g（x）增長得越來越快，在2015年，Ｂ地的收入已經比Ａ地多347303萬元了．當堂達標2.下列圖象中，有可能表示指數函數的是（）．1、指數函數概念

函數y=ax(a

0，且a

1)叫做指數函數，其中x是自變量.函數的定義域是R.課堂小結人教2019A版必修第一冊4.2.2指數函數的圖像和性質第四章

指數函數與對數函數

1.理解指數函數的概念和意義，會畫指數函數的圖像。

2.探索并理解指數函數的單調性和特殊點。

3.理解指數函數的圖像與性質，能運用指數函數的圖像

和性質解決有關數學問題。

學習目標你能說說研究函數的一般步驟和方法嗎？創(chuàng)設問題情境我們可以類比研究冪函數性質的過程和方法，進一步研究首先畫出指數函數的圖象，然后借助圖象研究指數函數的性質．用描點法作函數1.列表x…-3-2-10123…y=2x…1/81/41/21248…y=3x…1/271/91/313927…問題探究2.描點3.連線xy123-1-2-3039152127問題探究用描點法作函數1.列表x…-3-2-10123…y=2-x…84211/21/41/8…y=3-x…279311/31/91/27…問題探究思考：若不用描點法，這兩個函數的圖象又該如何作出呢？2.描點3.連線y=1xy123-1-2-301357927問題探究

這四個圖像有何特點?特點：y=ax（a>1）與y=ax（0<a<1）關于y軸對稱.問題探究問題1：圖象分別在哪幾個象限？答：四個圖象都在第＿＿＿＿象限Ⅰ、Ⅱ問題2：圖象的上升、下降與底數a有聯(lián)系嗎？答：當底數a＿＿時圖象上升；

當底數a______時圖象下降．>11>a>0問題探究問題3：圖象有哪些特殊的點？答：四個圖象都經過點＿＿＿＿．（0，1）問題4：圖象定義域和值域范圍？答：定義域為＿＿．值域為＿＿＿＿．R(0,+∞)問題探究a>10<a<1

圖象(0,1)y=1yxy=ax(a>1)xyy=ax(0<a<1)

性質定義域

:R

值域

:(0,+∞)必過點：(0,1)

x>0,y>1;x<0,0<y<1在R

上是增函數x<0,y>1;x>0,0<y<1

在R

上是減函數歸納總結例3：說出下列各題中兩個值的大?。航猓孩佟吆瘮祔=1.7x在R上是增函數，(1)1.72.5__1.73(3)1.70.5__0.82.5(2)0.8—1__0.8--2∴1.72.5<1.73又∵

2.5

<

3

，典例解析②∵函數y=0.8x在R上是減函數，∴0.8—1<0.8—2又∵

-1>-2，(2)0.8—1__0.8--2∴1.70.5>0.82.5

③∵1.70.5>1.70=1=0.80>0.82.5

，(3)1.70.5__0.82.5歸納總結例４如圖，某城市人口呈指數增長．（１）根據圖象，估計該城市人口每翻一番所需的時間（倍增期）；（２）該城市人口從80萬人開始，經過20年會增長到多少萬人？分析：（1）因為該城市人口呈指數增長，而同一指數函數的倍增期是相同的，所以可以從圖象中選取適當的點計算倍增期．（2）要計算20年后的人口數，關鍵是要找到20年與倍增期的數量關系．典例解析解：（1）觀察圖，發(fā)現該城市人口經過20年約為10萬人，經過40年約為20萬人，即由10萬人口增加到20萬人口所用的時間約為20年，所以該城市人口每翻一番所需的時間約為20年．（２）因為倍增期為20年，所以每經過20年，人口將翻一番．因此，從80萬人開始，經過20年，該城市人口大約會增長到160萬人．當堂達標1、指數函數的圖像及其性質；2、指數比較大小的方法；

①、構造函數法：要點是利用函數的單調性，數的特征是同底不同指（包括可以化為同底的）。或畫圖像直接描點觀察法。②、搭橋比較法：用別的數如0或1做橋。數的特征是不同底不同指。課堂小結人教A版必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.2.2指數函數的圖像和性質課程目標

1、掌握指數函數的圖象和性質，培養(yǎng)學生實際應用函數的能力；2、通過觀察圖象，分析、歸納、總結指數函數的性質；3、在指數函數的學習過程中,體驗數學的科學價值并養(yǎng)成勇于探索的良好習慣.數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：指數函數的圖像與性質；2.邏輯推理：圖像平移問題；3.數學運算：求函數的定義域與值域；4.數據分析：利用指數函數的性質比較兩個函數值的大?。?.數學建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數形結合思想總結指數函數性質.

自主預習，回答問題閱讀課本116-117頁，思考并完成以下問題1.結合指數函數的圖象，可歸納出指數函數具有哪些性質？2.指數函數的圖象過哪個定點？如何求指數型函數的定義域和值域問題？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。知識清單題型分析舉一反三題型一指數函數的圖象問題

解題方法（指數函數的圖像問題）

1.指數函數在同一平面直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系:在y軸右側,圖象從上到下相應的底數由大變小;在y軸左側,圖象從上到下相應的底數由小變大.無論指數函數的底數a如何變化,指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與直線x=1相交于點(1,a),因此,直線x=1與各圖象交點的縱坐標即為底數,由此可得底數的大小.2.因為函數y=ax的圖象恒過點(0,1),所以對于函數f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(m,k+b).3.指數函數y=ax與y=

(a>0,且a≠1)的圖象關于y軸對稱.4.處理函數圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點;二是利用圖象的變換;三是利用函數的奇偶性與單調性.

1、如圖是指數函數:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關系是(

)A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c2、已知函數f(x)=ax+1+3的圖象一定過點P,則點P的坐標是

.

3、函數y=

的圖象有什么特征?你能根據圖象指出其值域和單調區(qū)間嗎?1、解析:(方法一)①②中函數的底數小于1且大于0,在y軸右邊,底數越小,圖象向下越靠近x軸,故有b<a,③④中函數的底數大于1,在y軸右邊,底數越大,圖象向上越靠近y軸,故有d<c.故選B.(方法二)作直線x=1,與函數①,②,③,④的圖象分別交于A,B,C,D四點,將x=1代入各個函數可得函數值等于底數值,所以交點的縱坐標越大,則對應函數的底數越大.由圖可知b<a<1<d<c.故選B.答案:B2、解析:∵當x+1=0,即x=-1時,f(x)=a0+3=4恒成立,故函數f(x)=ax+1+3恒過(-1,4)點.答案:(-1,4)所以原函數的圖象關于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調遞增區(qū)間是(-∞,0],單調遞減區(qū)間是(0,+∞).題型二指數函數的性質及其應用例4.比較下列各題中兩個值的大小:（1）(2)(3)解：(1)(單調性法)由于1.73與1.72.5的底數是1.7,故構造函數y=1.7x,而函數y=1.7x在R上是增函數.又2.5<3,∴1.72.5<1.73.(2)(單調性法)由于的底數是0.8,故構造函數y=0.8x,而函數y=0.8x在R上是減函數.又,∴.（3）(中間量法)由指數函數的性質,知0.93.1<0.90=1,1.73.1>1.70=1,則.題點二：指數函數的定義域與值域問題例5求下列函數的定義域與值域解:(1)∵由x-4≠0,得x≠4,

解題方法（指數函數的性質及其應用）

1.函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的定義域、值域:(1)定義域的求法.函數y=af(x)的定義域與y=f(x)的定義域相同.(2)函數y=af(x)的值域的求法如下.①換元,令t=f(x);②求t=f(x)的定義域x∈D;③求t=f(x)的值域t∈M;④利用y=at的單調性求y=at(t∈M)的值域.2.比較冪的大小的常用方法:

1、比較下面兩個數的大小:(a-1)1.3與(a-1)2.4(a>1,且a≠2).2、比較下列各題中兩個值的大小:①2.53,2.55.7;③2.3-0.28,0.67-3.1.1、解:因為a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,則y=(a-1)x是減函數,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故當a>2時,(a-1)1.3<(a-1)2.4;當1<a<2時,(a-1)1.3>(a-1)2.4.2.①(單調性法)由于2.53與2.55.7的底數是2.5,故構造函數y=2.5x,而函數y=2.5x在R上是增函數.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.③(中間量法)由指數函數的性質,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.人教2019A版必修第一冊4.2.2指數函數的圖像和性質第四章

指數函數與對數函數1.理解對數的概念，掌握對數的性質，能進行簡單的對數計算．(重點、難點)2.理解指數式與對數式的等價關系，會進行對數式與指數式的互化．(重點)3.理解常用對數、自然對數的概念及記法．學習目標

在4.2.1的問題1中，通過指數冪運算，我們能從y＝1.11x中求出經過4年后Ｂ地景區(qū)的游客人次為2001年的倍數y．反之，如果要求經過多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么該如何解決？上述問題實際上就是從2=1.11x，3=1.11x，

4=1.11x，…中分別求出x，即已知底數和冪的值，求指數．這是本節(jié)要學習的對數．創(chuàng)設問題情境對數

對數的創(chuàng)始人是蘇格蘭數學家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。他發(fā)明了供天文計算作參考的對數，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數定律說明書》，公布了他的發(fā)明。恩格斯把對數的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分的建立并稱為17世紀數學的三大成就。

對數的發(fā)明對數的概念10對數的性質概念辨析典例解析歸納總結跟蹤訓練典例解析歸納總結問題探究思路探究：(1)利用對數恒等式alogaN＝N求解；(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．歸納總結當堂達標課堂小結人教A版必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.3.1對數的概念課程目標

1、理解對數的概念以及對數的基本性質；2、掌握對數式與指數式的相互轉化.數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：對數的概念；2.邏輯推理：推導對數性質；3.數學運算：用對數的基本性質與對數恒等式求值；4.數學建模：通過與指數式的比較，引出對數定義與性質.

自主預習，回答問題閱讀課本122-123頁，思考并完成以下問題1.對數的定義是什么？底數和真數又分別是什么？2.什么是常用對數和自然對數？3.如何進行對數式和指數式的互化？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。知識清單題型一對數式與指數式的互化

例1將下列指數式與對數式互化:題型分析舉一反三分析:利用當a>0,且a≠1時,logaN=b?ab=N進行互化.解題方法（對數式與指數式的互化）

1.logaN=b與ab=N(a>0,且a≠1)是等價的,表示a,b,N三者之間的同一種關系.如下圖:2.根據這個關系式可以將指數式與對數式互化:將指數式化為對數式,只需將冪作為真數,指數作為對數,底數不變;而將對數式化為指數式,只需將對數式的真數作為冪,對數作為指數,底數不變.

1.將下列指數式與對數式互化:

(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).題型二利用對數式與指數式的關系求值例2求下列各式中x的值:

(1)4x=5·3x;

(2)log7(x+2)=2;分析:利用指數式與對數式之間的關系求解.(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.(3)∵ln

e2=x,∴ex=e2,∴x=2.(5)∵lg

0.01=x,∴10x=0.01=10-2,∴x=-2.

解題方法（利用對數式與指數式的關系求值）

指數式ax=N與對數式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三個量a,x,N之間的同一種關系,因而已知其中兩個時,可以通過對數式與指數式的相互轉化求出第三個.

1.求下列各式中的x值:

(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.題型三利用對數的基本性質與對數恒等式求值例3

求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;分析:利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及對數恒等式求值.解:(1)∵ln(log2x)=0,∴l(xiāng)og2x=1,∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴l(xiāng)g

x=2,∴x=102=100.解題方法（利用對數的基本性質與對數恒等式求值）

1.在對數的運算中,常用對數的基本性質:(1)負數和零沒有對數;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)進行對數的化簡與求值.2.對指數中含有對數值的式子進行化簡、求值時,應充分考慮對數恒等式的應用.對數恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)的結構形式:(1)指數中含有對數式;(2)它們是同底的;(3)其值為對數的真數.

1.求下列各式中x的值:

解:(1)∵ln(lg

x)=1,∴l(xiāng)g

x=e,∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴l(xiāng)og5x=1,∴x=5.人教2019A版必修第一冊4.3.2對數的運算第四章

指數函數與對數函數學習目標溫故知新在引入對數之后，自然應研究對數的運算性質．你認為可以怎樣研究？提出問題

我們知道了對數與指數間的關系，能否利用指數冪運算性質得出相應的對數運算性質呢？1.對數的運算性質探究一：化為對數式，它們之間有何關系？結合指數的運算性質能否將化為對數式？將指數式問題探究試一試:由得：由得從而得出探究二：結合前面的推導，由指數式又能得到什么樣的結論？試一試:由得問題探究又能得到什么樣的結論？試一試:由得探究三：結合前面的推導，由指數式問題探究對數的運算法則思考辨析典例解析跟蹤訓練歸納總結探究四：結合對數的定義，你能推導出對數的換底公式嗎?(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)問題探究數學史上，人們經過大量的努力，制作了常用對數表和自然對數表，只有通過查表就能求出任意正數的常用對數或自然對數?，F在，利用計算器，也可以直接求出任意正數的常用對數或自然對數。這樣，如果能將其他底的對數轉換為以10或e為底的對數，就能方便地求出這些對數。換底公式證明：設由對數的定義可以得：即證得這個公式叫做換底公式，一般取常用對數進行換底問題探究

由此可得，大約經過7年，B地景區(qū)的游客人次就達到2001年的2倍，類似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年數。2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，它所釋放出來的能量是2008年5月12日我國汶川發(fā)生里氏8.0級地震的多少倍（精確到1）？例3.盡管目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震M之間的關系為典例解析解:設里氏9.0級和里氏8.0級地震的能量分別為E1和E2設里利用計算工具可得，雖然里氏9.0級和里氏8.0級地震僅相差1級，但前者釋放出的能量卻是后者的約32倍。跟蹤訓練跟蹤訓練歸納總結當堂達標1.對數的運算法則。2.利用定義及指數運算證明對數的運算法則。3.對數運算法則的應用。4.換底公式的證明及應用。課堂小結積、商、冪的對數運算法則：如果a>0，a

1，M>0，N>0,那么：(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;人教A版必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.3.2對數的運算課程目標

1、通過具體實例引入，推導對數的運算性質；2、熟練掌握對數的運算性質，學會化簡，計算.數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：對數的運算性質；2.邏輯推理：換底公式的推導；3.數學運算：對數運算性質的應用；4.數學建模：在熟悉的實際情景中，模仿學過的數學建模過程解決問題.

自主預習，回答問題閱讀課本124-125頁，思考并完成以下問題1.對數具有哪三條運算性質？2.換底公式是如何表述的？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。知識清單題型分析舉一反三題型一對數運算性質的應用(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.解題方法（對數運算性質的應用）

1.對于底數相同的對數式的化簡、求值,常用的方法是:(1)“收”,將同底的兩個對數的和(差)收成積(商)的對數;(2)“拆”,將積(商)的對數拆成對數的和(差).2.對數式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應用公式的習慣.lg

2+lg

5=1在計算對數值時會經常用到,同時注意各部分變形要化到最簡形式.

1.

計算下列各式的值:

題型二換底公式的應用例2

計算下列各式的值:解題方法（換底公式的應用）

1.換底公式的本質是化異底為同底,主要用途是將一般對數化為常用對數或自然對數,解決一般對數的求值問題.2.利用換底公式計算、化簡、求值的一般思路:

1.化簡:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).題型三對數的綜合應用解:(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,(2)設3x=4y=6z=m,則x=log3m,y=log4m,z=log6m.解題方法（對數的綜合應用）

對數概念的實質是給出了指數式與對數式之間的關系,因此如果遇到條件中涉及指數冪的連等式時,常引入輔助變量,利用指數與對數間相互轉化的關系,簡化求解過程.

解:因為3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,

人教2019A版必修第一冊4.4.1對數函數的概念第四章

指數函數與對數函數學習目標1.理解對數函數的概念，2.會求對數函數的定義域．(重點、難點)問題1當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？設死亡生物體內碳14含量的年衰減率為p，如果把剛死亡的生物體內碳14含量看成1個單位，那么問題探究

在上述問題中，我們用指數函數模型研究了呈指數增長或衰減變化規(guī)律的問題．對這樣的問題，在引入對數后，我們還可以從另外的角度，對其蘊含的規(guī)律作進一步的研究．

在問題中，我們已經研究了死亡生物體內碳14的含量y隨死亡時間x的變化而衰減的規(guī)律．反過來，已知死亡生物體內碳14的含量，如何得知它死亡了多長時間呢？進一步地，死亡時間x是碳14的含量y的函數嗎？問題探究

問題探究

概念構建

對數函數的概念

函數y＝lo____x(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，＋∞)．概念解析典例解析歸納總結跟蹤訓練典例解析歸納總結跟蹤訓練例3

假設某地初始物價為１，每年以５％的增長率遞增，經過y年后的物價為x．（１）該地的物價經過幾年后會翻一番？（２）填寫下表，并根據表中的數據，說明該地物價的變化規(guī)律．

由表中的數據可以發(fā)現，該地區(qū)的物價隨時間的增長而增長，但大約每增加１倍所需要的時間在逐漸縮?。斕眠_標1.對數函數的概念及與指數函數的關系。2.對數函數的定義域。3.對數的應用。課堂小結人教2019版必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.4.1對數函數的概念課程目標

1、通過實際問題了解對數函數的實際背景；2、掌握對數函數的概念,并會判斷一些函數是否是對數函數.數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：對數函數的概念；2.邏輯推理：用待定系數法求函數解析式及解析值；3.數學運算：利用對數函數的概念求參數；4.數學建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的思想總結對數函數概念.

自主預習，回答問題閱讀課本130-131頁，思考并完成以下問題1.對數函數的概念是什么？2.對數函數解析式的特征？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。知識清單題型一對數函數的概念

題型分析舉一反三例2

已知對數函數f(x)=(m2-3m+3)·logmx,則m=

.解析:由對數函數的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因為m>0,且m≠1,所以m=2.答案:2解題方法（判斷一個函數是對數函數的方法）

1.若函數f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是對數函數,則a=

.題型二對數函數的解析式①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.解:①由題意設f(x)=logax(a>0,且a≠1),解得a=16,故f(x)=log16x.②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.答案：①f(x)=log16x，②x=256解題方法（對數函數的解析式）

對數函數解析式中只有一個參數a,用待定系數法求對數函數解析式時只須一個條件即可求出.

1.點A(8,-3)和B(n,2)在同一個對數函數圖象上,則n=

.

解析:設對數函數為f(x)=logax(a>0,且a≠1).則由題意可得f(8)=-3,即loga8=-3,題型三對數函數型的定義域解題方法（求對數型函數定義域的原則）

(1)分母不能為0.(2)根指數為偶數時，被開方數非負．(3)對數的真數大于0，底數大于0且不為1.

人教2019A版必修第一冊4.4.2對數函數的圖像和性質第四章

指數函數與對數函數學習目標1.通過具體對數函數圖像，掌握對數函數的圖像和性質

特征，并能解決問題。2.知道同底的對數函數與指數函數互為反函數。我們該如何去研究對數函數的性質呢？提出問題列表x1/41/2124

2 1 0 -1 -2-2 -1 0 12

………………作圖步驟：1.列表2.描點3.連線問題1.畫出函數和的圖象。問題探究描點連線21-1-21240yx3y=log2xx1/41/2124-2 -1 0 12

2 1 0 -1 -2………………列表問題探究問題2：我們知道，底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關

于y軸對稱．對于底數互為倒數的兩個對數函數，

比如和，它們的圖象是否也有某種對稱關系呢？可否利用其中一個函數的圖象畫出另一個函數的圖象？描點連線21-1-21240yx3y=log1/2xy=log2xx1/41/2124………………-2 -1 0 12

2 1 0 -1 -2列表這兩個函數的圖象有什么關系呢？關于x軸對稱問題3：底數a（a＞０，且a≠１）的若干個不同的值，在同一直角坐標系內畫出相應的對數函數的圖象．觀察這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性？由此你能概括出對數函數

（a＞０，且a≠１）的值域和性質嗎？問題探究問題探究

y=logax（a>1）的圖象xo(1,0)x=1y=logx(a>1)ay問題探究

y=logax（0<a<1）的圖象xyx=1(1,0)y=logx(0<a<1)ao問題探究

a＞10＜a＜1圖象性質⑴定義域：⑵值域：⑶過特殊點：⑷單調性：⑷單調性：（0，+∞）R過點（1，0），即x=1時y=0在（0，+∞）上是增函數在（0，+∞）上是減函數xo(1,0)x=1yxyx=1(1,0)o當x>1時，y>0;當0<x<1時，y<0.當x>1時，y<0;當0<x<1時，y>0.對數函數的圖象和性質對數函數的性質的助記口訣:對數增減有思路,函數圖象看底數;底數只能大于0,等于1來也不行;底數若是大于1,圖象從下往上增;底數0到1之間,圖象從上往下減;無論函數增和減,圖象都過(1,0)點.記憶口訣

例1：比較下列各組中，兩個值的大?。海?）log23.4與log28.5；∴l(xiāng)og23.4<log28.5解（1）:用對數函數的單調性考察函數y=log2x,∵a=2>1,∴函數在區(qū)間（0，+∞）上是增函數；∵3.4<8.5例題解析

例1：比較下列各組中，兩個值的大?。海?）log0.31.8與log0.32.7解（2）：考察函數y=log0.3x,∵a=0.3<1,∴函數在區(qū)間（0，+∞）上是減函數；∵1.8<2.7∴l(xiāng)og0.31.8>log0.32.7例題解析

例1：比較下列各組中，兩個值的大?。?/p>

（3）loga

5.1與loga

5.9（a＞０，且a≠１）解（3）：考察函數loga5.1與loga5.9可看作函數y=logax的兩個函值

,對數函數的單調性取決于底數a是大于1還是小于1，因此需要對底數a進行討論當a

>1時,因為y=logax是增函數，且5.1

<5.9，所以loga5.1<

loga5.9；當0<a

<1時,因為y=logax是減函數，且5.1<5.9，所以loga5.1>

loga5.9；例題解析歸納總結：當底數相同,真數不同時,利用對數函數的增減性比較大小。注意:當底數不確定時,要對底數與1的大小進行分類討論。歸納總結練習1:比較下列各題中兩個值的大小:⑴log106

log108⑵log0.56

log0.54⑶log0.10.5

log0.10.6⑷log1.51.6

log1.51.4＜＜＞＞跟蹤訓練練習2：已知下列不等式，比較正數m，n的大?。?/p>

(1)log3m<log3n(2)log0.3m>log0.3n(3)logam<logan(0<a<1)(4)logam>logan(a>1)

m<n

m<n

m>nm>n跟蹤訓練例題解析～

因此，函數y=logax(a＞0,且a≠1)與指數函數y=ax互為反函數。已知函數y=2x（x∈R，y∈（0，+∞））可得到x=log2y

，對于任意一個y∈（0，+∞），通過式子x=log2y

，x在R中都有唯一確定的值和它對應。也就是說，可以把y作為自變量，x作為y的函數，這是我們就說x=log2y

（y∈（0，+∞））是函數y=2x

（

x∈R）

的反函數。

但習慣上，我們通常用x表示自變量，y表示函數。為此我們常常對調函數x=log2y

中的字母x，y，把它寫成y=log2x,這樣，對數函數y=log2x（x∈（0，+∞））是指數函數y=2x

（x∈R）的反函數。反函數圖象性

質

對數函數y=logax(a>0,a≠1)指數函數y=ax(a>0,a≠1)(4)a>1時,x<0,0<y<1;x>0,y>1

0<a<1時,x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)a>1時,0<x<1,y<0;x>1,y>0

0<a<1時,0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)a>1時,在R上是增函數；

0<a<1時,在R上是減函數(5)a>1時,在(0,+∞)是增函數；

0<a<1時,在(0,+∞)是減函數(3)過點(0,1),即x=0時,y=1(3)過點(1,0),即x=1時,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定義域：R(1)定義域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a>1)

y=ax

(0<a<1)xyo1y=logax(a>1)y=logax(0<a<1)xyo1指數函數、對數函數的圖象和性質當堂達標解析：C

[(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是減函數，y＝logax是增函數，故選C.]當堂達標3.已知f(x)＝loga|x|，滿足f(－5)＝1，試畫出函數f(x)的圖象.當堂達標當堂達標5.比較下列各組數中兩個值的大小:解:(1)∵log67＞log66＝1

log76＜log77＝1

∴l(xiāng)og67＞log76(2)∵log3π＞log31＝0log20.8＜log21＝0∴l(xiāng)og3π＞log20.8方法:當底數不同，真數不同時，

可考慮這些數與1或0的大小。當堂達標6:解不等式:解：原不等式可化為：當堂達標課堂小結3.思想方法類比：類比的思想方法；類比指數函數的研究方法；

數形結合思想方法是研究函數圖像和性質；人教A版必修第一冊第四章指數函數與對數函數4.4.2對數函數的圖像和性質課程目標

1、掌握對數函數的圖象和性質，培養(yǎng)學生實際應用函數的能力；2、通過觀察圖象，分析、歸納、總結對數函數的性質；3、在對數函數的學習過程中,體驗數學的科學價值并養(yǎng)成勇于探索的良好習慣.數學學科素養(yǎng)1.數學抽象：對數函數的圖像與性質；2.邏輯推理：圖像平移問題；3.數學運算：求函數的定義域與值域；4.數據分析：利用對數函數的性質比較兩個函數值的大小及解對數不等式；5.數學建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數形結合思想總結對數函數性質.

自主預習，回答問題閱讀課本132-133頁，思考并完成以下問題1.對數函數的圖象是什么，通過圖象可觀察到對數函數具有哪些性質？2.反函數的概念是什么？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。知識清單1.若函數y=logax的圖象如圖所示,則a的值可能是

(

)A.0.5 B.2 C.e D.π2.下列函數中,在區(qū)間(0,+∞)內不是增函數的是(

)A.y=5x B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=3.函數的f(x)=loga(x-2)-2x的圖象必經過定點

.

4.(1)函數f(x)=的反函數是

.

(2)函數g(x)=log8x的反函數是

.

解析:1.∵函數y=logax在(0,+∞)上單調遞減,∴0<a<1,只有選項A符合題意.3.由對數函數的性質可知,當x-2=1,即x=3時,y=-6,即函數恒過定點(3,-6).答案:1.A

2.D

3.(3,-6)4.題型分析舉一反三題型一對數函數的圖象

例1函數y=log2x,y=log5x,y=lgx的圖象如圖所示.(1)說明哪個函數對應于哪個圖象,并說明理由;(2)在如圖的平面直角坐標系中分別畫出(3)從(2)的圖中你發(fā)現了什么?解:(1)①對應函數y=lg

x,②對應函數y=log5x,③對應函數y=log2x.這是因為當底數全大于1時,在x=1的右側,底數越大的函數圖象越靠近x軸.解題方法（對數函數圖象的變化規(guī)律）

1.對于幾個底數都大于1的對數函數,底數越大,函數圖象向右的方向越接近x軸;對于幾個底數都大于0且小于1的對數函數,底數越大,函數圖象向右的方向越遠離x軸.以上規(guī)律可總結成x>1時“底大圖低”.實際上,作出直線y=1,它與各圖象交點的橫坐標即為各函數的底數的大小,如圖所示.

1、作出函數y=|lg(x-1)|的圖象,并根據圖象寫出函數的定義域、值域以及單調區(qū)間.解:先畫出函數y=lg

x的圖象(如圖①).再將該函數圖象向右平移1個單位長度得到函數y=lg(x-1)的圖象(如圖②).圖①

圖②

最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).圖③由圖易知其定義域為(1,+∞),值域為[0,+∞),單調遞減區(qū)間為(1,2],單調遞增區(qū)間為(2,+∞).題型二比較對