2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)新高考一輪復(fù)習(xí)專題空間幾何中的平行和垂直強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練含解析

Page1空間幾何中的平行和垂直學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則(

)A.平面平面 B.平面平面

C.平面平面 D.平面平面如圖所示，在三棱錐中，且，，，則下列命題不正確的是(

)

A.平面平面PBC

B.平面平面ABC

C.平面平面PBC

D.平面平面ABC如圖，已知點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AD上一動(dòng)點(diǎn)端點(diǎn)除外，現(xiàn)將沿BE所在直線翻折成，并連接，，記二面角的大小為，則(

)A.存在，使得平面 B.存在，使得平面

C.存在，使得平面 D.存在，使得平面二、多選題（本大題共1小題，共5.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）如圖，在直角梯形ABCD中，，，且E為CD的中點(diǎn)，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將三角形ADE沿AE折起，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.不論D折至何位置不在平面ABC內(nèi)，都有平面DEC

B.不論D折至何位置不在平面ABC內(nèi)，都有

C.不論D折至何位置不在平面ABC內(nèi)，都有

D.在折起過(guò)程中，一定存在某個(gè)位置，使三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）如圖，四棱臺(tái)的底面為菱形，P、Q分別為，的中點(diǎn).若平面BPQD，則此棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)的比值為__________.

如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面EFG，則線段長(zhǎng)度的最小值是__________.

正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則AE長(zhǎng)度的最小值為__________.

如圖，在三棱錐中，能證明的條件是__________.①，；②，；③平面平面PAC，；④，四、解答題（本大題共8小題，共96.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）本小題分如圖，在四面體ABCD中，與AC，BD都平行的截面與AB，BC，CD，DA分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，

求證：四邊形EFGH為平行四邊形;

若，求證：四邊形EFGH的周長(zhǎng)為定值.

本小題分

如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，且垂直于底面ABC，，E，F(xiàn)分別是，BC的中點(diǎn)．

求證：直線平面；在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面平面ABC，并給出證明．本小題分如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，過(guò)點(diǎn)A的平面與棱PB，PC，PD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處求證：平面平面PBC；若平面AEFG，求的值；直線AE是否可能與平面PCD平行？證明你的結(jié)論.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面ABE，，，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．

求證：平面BDF；

求證：平面平面本小題分如圖，在三棱錐中，為正三角形，O為的重心，，，求證：平面平面ABC；在棱BC上是否存在點(diǎn)D，使得直線平面若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．本小題分如圖，四棱錐的底面ABCD為菱形，，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點(diǎn)．求證：平面PBC；求證：平面平面本小題分如圖所示，在中，，分別以邊AB和BC為一邊向外側(cè)作矩形ABDE和菱形如圖，滿足，再將其沿AB，BC折起使得BD與BG重合，連結(jié)如圖判斷圖2中的A，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？并說(shuō)明理由；圖2中，，，設(shè)M是線段FC上一點(diǎn)，連結(jié)EM與判斷平面EDM與平面BCFD是否垂直？并求三棱柱的側(cè)面積.本小題分如圖所示，已知長(zhǎng)方體，點(diǎn)為的中點(diǎn)．求證：平面若，在線段上是否存在點(diǎn)E使得？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了面面垂直的判斷，面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)：在正方體中，因?yàn)镋F分別為AB，BC的中點(diǎn)，易知

，從而平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?/p>

所以A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫嫫矫?，由上述過(guò)程易知平面平面

不成立;

對(duì)于C選項(xiàng)的直線與直線必相交，故平面面有公共

點(diǎn)，從而C的錯(cuò)誤;

對(duì)于D選項(xiàng)：連接AC，，，易知平面平面，

又因?yàn)槠矫媾c平面有公共點(diǎn)，故平面與平面

不平行，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查空間中線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是垂直的判定和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于中檔題．

由線面垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的性質(zhì)和判定，對(duì)選項(xiàng)一一判斷，即可得到結(jié)論．

【解答】

解：由，，，

即，可得，又，

，，所以平面ABC，

平面PAB，所以平面平面ABC，故B正確；

平面PAC，所以平面平面ABC，故D正確；

由平面ABC，可得，而，，所以，

又，，所以，即，

由平面ABC，可得，，

則平面PAB，又平面PBC，所以平面平面PAB，故A正確；

若平面平面PBC，過(guò)A作，垂足為H，，可得平面PBC，

則，又，，所以平面PAC，則，與矛盾，故C錯(cuò)誤．

故選

3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查二面角的有關(guān)問(wèn)題，折疊問(wèn)題，涉及線面垂直的判定，屬于中檔題．

沿所在直線翻折成，然后利用已知條件進(jìn)行推理證明結(jié)論.【解答】解：過(guò)A作于F，交DC于G，當(dāng)折疊時(shí)，的投影在FG上，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，

，

，故A和B錯(cuò)誤；

假設(shè)存在，使得平面

則

過(guò)E作于M，連接

則易知

所以

易知，

，

所以

又

所以三角形≌

所以可得

又

所以

又

，，平面，

所以平面

由前述A可知不可能成立，

不可能存在，使得面，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?/p>

所以只要，即即可

而可取，故D正確．

故選：

4.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．

由題意，根據(jù)線面平行，線面垂直的判定與性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，如圖，連接AC，

由題意，四邊形ABCE是矩形，則N是AC的中點(diǎn)，又M是AD的中點(diǎn)，，

又因?yàn)槠矫鍰EC，平面DEC，由線面平行的判定定理可得平面DEC，

故A正確；

對(duì)于B，取AE的中點(diǎn)F，連接MF，NF，

由題意，，，而，

，，

又，平面MNF，平面MNF，

平面MNF，又平面MNF，

，故B正確；

對(duì)于C，，，

不平行MN，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，在折起過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，

，，平面ADE，平面ADE，

平面ADE，

又平面ADE，

，故D正確．

故選

5.【答案】

【解析】【分析】本題考查線面平行的性質(zhì)定理，棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，相似比的求法，屬于中檔題.【解答】解：連接AC，，則，即A，C，，四點(diǎn)共面，設(shè)平面與PQ和DB分別交于M，N點(diǎn)，連接MN，如圖所示：

若平面BPQD，則，則為平行四邊形，即，

即，，即棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)的比值為

6.【答案】

【解析】【分析】本題考查了線面平行，面面平行的判定定理，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．

連接，AC，，根據(jù)題意可證平面，平面，繼而得證平面平面EFG，即可知點(diǎn)P在直線AC上，求出，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，進(jìn)而求解.【解答】解：如圖，連接，AC，，

因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)，

所以，

又平面，平面，

則平面

因?yàn)椋?/p>

所以同理得平面，

又，EF、平面EFG，

得平面平面

因?yàn)橹本€平面EFG，

所以點(diǎn)P在直線AC上．

在中，，，，

，

故當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最小，最小值為

故答案為

7.【答案】

【解析】【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離的最大值的求法，解題的關(guān)鍵是求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．

根據(jù)所給的條件，分析出動(dòng)點(diǎn)E的軌跡，再利用圖形的幾何意義即可求解．【解答】解：在正方體中，連結(jié)交于點(diǎn)O，

則，而平面，又平面，

所以，如圖所示，

所以平面，連結(jié)OE，

在中，，而，則，

所以點(diǎn)E在平面內(nèi)的以O(shè)為圓心，為半徑的矩形內(nèi)的半圓上，

而點(diǎn)A及半圓弧在半圓O的直徑的同側(cè)，且點(diǎn)A在半圓弧外，

則有

故答案為：

8.【答案】①③④

【解析】【分析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．

分別根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)逐一判斷.【解答】解：對(duì)于①，，，，PB、平面PBC，則平面PBC，

又平面PBC，

，合題意；

對(duì)于②，，，不能證明，不合題意；

對(duì)于③，平面平面APC，平面平面，，平面PBC，

平面PAC，又平面PAC，，合題意；

對(duì)于④，取BC的中點(diǎn)D，連接AD、PD，，D為BC的中點(diǎn)，故，同理可得，因?yàn)?，AD、平面PAD，平面PAD，平面PAD，，合題意.故答案為①③④.

9.【答案】證明：平面EFGH，平面平面，且平面ACD，

同理可證，，，，四邊形EFGH為平行四邊形.

設(shè)，，

，，即，

同理可得，

平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)，為定值.

【解析】本題考查線面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，

10.【答案】解：連接，

側(cè)面是菱形，E是的中點(diǎn)，

是的中點(diǎn)，

又F是BC的中點(diǎn)，

，

平面，平面

直線平面；

時(shí)，平面平面ABC，

證明：當(dāng)時(shí)，

連接EG，，

，

是直角三角形，且，即，

側(cè)面底面ABC，側(cè)面底面，側(cè)面，

平面ABC，

平面EFG，

平面平面

【解析】本題主要考查線面平行的判定及面面垂直的判定，屬于立體幾何的一般題目，需要借助線面垂直及面面垂直的性質(zhì)及判定定理證明面面垂直.

根據(jù)三角形中位線可得，即可證明直線平面；

先借助面面垂直證明平面ABC，證明平面平面

11.【答案】

解：證明：在四棱錐中，底面ABCD為正方形，PA丄底面ABCD，面ABCD，

，，又因?yàn)?，PA，面PAB，面PAB，

面PBC，平面PAB丄平面

解：若PC丄平面AEFG，平面AEFG，則有PC丄AF，

又因?yàn)椋瑸镻C中點(diǎn)，

，

解：直線AE是不可能與平面PCD平行．

假設(shè)面PCD，因?yàn)?，面PCD，面PCD，

所以面PCD，且，AE，面PAB，面面PDC，與面PAB與面PDC相交矛盾．假設(shè)不成立，直線AE是不可能與平面PCD平行．

【解析】本題考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系，屬于中檔題．

在四棱錐中，可得面PAB，即平面PAB丄平面

若PC丄平面AEFG，則有PC丄AF，又因?yàn)椋碏為PC中點(diǎn)，可得，假設(shè)面PCD，又因?yàn)槊鍼CD，可得面面PDC，與已知矛盾．

12.【答案】證明：

設(shè)AC交BD于G點(diǎn)，則G是AC的中點(diǎn)，連接FG，是EC中點(diǎn).

在中，，平面BFD，平面BFD，平面平面平面ABE，，平面平面，平面ABCD，平面ABE，又平面ABE，，又，，BC，平面BCE，

平面平面BCE，，在中，為CE的中點(diǎn)，，，AE，平面ACE，

平面ACE，又平面BDF，

得平面平面

【解析】本題考查面面垂直的判定，線面平行的判定，涉及到線面垂直的判定及性質(zhì)定理及面面垂直的性質(zhì)定理，屬于中檔題.

根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面ABE，結(jié)合線面垂直的判定及性質(zhì)定理證明，再由面面垂直的判定定理證明即可.

13.【答案】證明：設(shè)，則，

在中，由余弦定理，得，

因?yàn)椋?/p>

所以，

又，，，

所以平面

因?yàn)槠矫鍭BC，

所以平面平面ABC，

解：方法取PA的中點(diǎn)E，連接BE，CE，則點(diǎn)O在BE上，

在平面BCE內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作CE平行線交BC于點(diǎn)D，

平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，

因?yàn)镺為的重心，所以BO：：1，又BD：：

所以，

所以在棱BC上存在點(diǎn)D，使得直線平面

且此時(shí)

方法

過(guò)O作，交AB于點(diǎn)E，過(guò)E作交BC于點(diǎn)D，連接OD，則平面PAC

證明如下：平面PAC，

平面PAC，所以平面PAC，同理，平面PAC

因?yàn)?，OE，平面所以平面平面PAC，

因?yàn)槠矫鍻DE，所以平面PAC，連接BO并延長(zhǎng)交PA于F，

因?yàn)镺為的重心，所以

所以

所以在棱BC上存在點(diǎn)D，使得平面

且此時(shí)

【解析】本題考查了面面垂直的判定和線面平行的判定和性質(zhì)，是一般題.

由已知證得平面PAB，再根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；

方法一，根據(jù)線面平行的判定可以得出平面PAC，再根據(jù)O為的重心，又BD：：OE，可得；

方法二：根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面PAC，然后再證明平面PAC，以下同方法一.

14.【答案】解：

取PC中點(diǎn)為G，連接FG，BG，

在中，F(xiàn)是PD中點(diǎn)，G是PC中點(diǎn)，

，且，

又底面ABCD是菱形，

，

是AB中點(diǎn)，

，且，

，且，

四邊形BEFG是平行四邊形，

，

又平面PBC，平面PBC，

平面

設(shè)，則O是BD中點(diǎn)，

底面ABCD是菱形，

，

又，O是BD中點(diǎn)，

，

又，AC，平面PAC，

平面

又平面PBD，

所以平面平面

【解析】本題主要考查了線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．

取PC中點(diǎn)為G，可得四邊形BEFG是平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可證明平面

利用線面垂直的判定定理得平面

15.【答案】解：圖2中的A，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，證明如下：

，，又因?yàn)镈，G重合，，

故A，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面;

因?yàn)?，且，BD，平面BCFD，則平面BCFD，

又，則平面

因?yàn)镸是線段FC上一點(diǎn)，則E，D，M三點(diǎn)共面，

又面EDM，所以面面

又平面BCFD，平面BCFD，，

當(dāng)時(shí)，由于，ED，平面EDM，故平面EDM，

又平面EDM，則

在菱形BDFC中，，，則，

又，則

故三棱柱的側(cè)面積為

【解析】本題主要考查了空間中的共面問(wèn)題，面面垂直的判定，求棱柱的側(cè)面積，屬于中檔題.

由已知可證，可得A，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面;

先證明平面BCFD可得面面BCFD，由三棱柱側(cè)面