3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（十大考點）（原卷版）

雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程；3.會判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系；4.能運用直線與雙曲線的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題.一、雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形性質(zhì)焦點焦距范圍,或或?qū)ΨQ性關(guān)于坐標(biāo)軸、原點對稱頂點軸長實軸長2a,虛軸長2b離心率漸近線二、等軸雙曲線實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線,它有以下性質(zhì)：(1)方程形式為；(2)漸近線方程為,它們互相垂直；(3)離心率三、直線與雙曲線的位置關(guān)系一般地,設(shè)直線方程為,雙曲線方程為,將代入,消去y并化簡,得.①當(dāng),即時,直線與漸近線平行,則直線與雙曲線只有一個公共點；②當(dāng),即時,判別式直線與雙曲線相交,有兩個公共點；判別式直線與雙曲線相切,有且只有一個公共點；判別式直線與雙曲線相離,沒有公共點．考點01由雙曲線方程得到幾何性質(zhì)1．雙曲線的實軸長是虛軸長的3倍，則m的值為（

）A．9 B．－9 C． D．2．已知F為雙曲線C：的一個焦點，則點F到C的一條漸近線的距離為（

）A． B．3 C．2 D．13．設(shè)雙曲線(，)的虛半軸長為1，半焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線，則下列選項中不正確的是（

）A．的焦點坐標(biāo)為 B．的頂點坐標(biāo)為C．的離心率為 D．的虛軸長為5．已知雙曲線與，下列說法正確的是（）A．兩個雙曲線有公共頂點B．兩個雙曲線有公共焦點C．兩個雙曲線有公共漸近線D．兩個雙曲線的離心率相等6．求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點的坐標(biāo)、離心率和漸近線方程，并畫出雙曲線的草圖：(1)；(2)．考點02由幾何性質(zhì)得到雙曲線方程7．已知雙曲線的一條漸近線斜率為，實軸長為4，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為4，實軸長為6，則的方程為（

）A． B．C． D．9．已知雙曲線過點，且與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線的方程為.10．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)經(jīng)過、兩點．(2)過點，且與橢圓有相同焦點雙曲線方程.11．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓有公共焦點，且過點；(2)焦點在軸上，焦距為，漸近線斜率為；(3)離心率，且經(jīng)過點；(4)經(jīng)過點，且一條漸近線的方程為．12．（1）求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①頂點在軸上，兩頂點間的距離是8，；②漸近線方程是，虛軸長為4.（2）斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于、兩點．求線段的長．13．求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)雙曲線C的漸近線方程為，焦點在y軸上，兩頂點之間的距離為4；(2)雙曲線E與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點.考點03求雙曲線的離心率14．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過斜率為的直線與的右支交于點，若線段與軸的交點恰為的中點，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．315．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點為，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線與另一漸近線交于點，若是的中點，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．316．已知坐標(biāo)平面中，點為雙曲線的右焦點，點在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點，且為的中點，點為的外心，若、、三點共線，則雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．517．設(shè)是雙曲線的左?右焦點，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．18．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點，坐標(biāo)原點為，若，則該雙曲線的離心率為.19．已知雙曲線，直線與雙曲線C交于M，N兩點，直線與雙曲線C交于P，Q兩點，若，則雙曲線C的離心率等于．20．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過雙曲線上一點向軸作垂線，垂足為，若且與垂直，則雙曲線的離心率為.考點04求雙曲線離心率的取值范圍21．雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．22．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為右支上一點，與的左支交于點.若，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．已知雙曲線的右焦點為，點坐標(biāo)為，點為雙曲線左支上的動點，且的周長不小于18，則雙曲線的離心率的取值范圍為.24．設(shè)點F為雙曲線的左焦點，經(jīng)過原點O且斜率的直線與雙曲線C交于A?B兩點，AF的中點為P，BF的中點為Q.若，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是.25．曲線且過定點，點在橢圓上，設(shè)橢圓的左右焦點為，若，則該橢圓的離心率取值范圍是．26．已知雙曲線，點B的坐標(biāo)為，若C上的任意一點P都滿足，則C的離心率取值范圍是．27．已知斜率為2的直線l過雙曲線（）的右焦點，若直線l與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．若直線l與雙曲線的一支相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．考點05雙曲線的漸近線問題28．已知雙曲線虛軸的一個頂點為D，分別是C的左，右焦點，直線與C交于A，B兩點．若的重心在以為直徑的圓上，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．29．已知分別為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．30．過原點的直線l與雙曲線E：交于A，B兩點（點A在第一象限），交x軸于C點，直線BC交雙曲線于點D，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．31．已知為雙曲線：的右焦點，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．32．（多選）已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以的長軸為直徑的圓相交于兩點，若恰好將線段三等分，則（

）A． B． C． D．33．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線上的動點，，，點P到雙曲線的兩條漸近線的距離分別為，，則＝．34．設(shè)雙曲線的右焦點為，過點且垂直于軸的直線與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的漸近線方程為.考點06直線與雙曲線的位置關(guān)系35．直線與雙曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)．36．若直線與單位圓（圓心在原點）和曲線均相切，則直線的一個方程可以是37．已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的交點分別在兩支上，求的范圍．38．已知直線與雙曲線，若直線與雙曲線左支交于兩點，求實數(shù)的取值范圍.39．討論直線與雙曲線的公共點的個數(shù)．40．已知雙曲線E的兩個焦點分別為，并且E經(jīng)過點.(1)求雙曲線E的方程；(2)過點的直線l與雙曲線E有且僅有一個公共點，求直線l的方程.考點07雙曲線的弦長問題41．已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點，與x軸交于點P，若，則點P的坐標(biāo)為.42．已知雙曲線離心率為，且過點，過雙曲線的右焦點且傾斜角為的直線交雙曲線于兩點，為坐標(biāo)原點，為左焦點.(1)寫出直線的方程；(2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)求的面積.43．已知雙曲線，焦點到漸近線的距離為，且離心率為．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于兩點，若，求的值．44．已知雙曲線的焦距為6，且虛軸長是實軸長的倍.(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點F且傾斜角為的直線l與雙曲線交于A，B兩點，求.45．已知雙曲線經(jīng)過點，且其兩條漸近線相互垂直．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的直線與雙曲線相交于不同的兩點，若的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．46．已知圓，圓，圓P與圓M，圓N都外切，圓P的圓心的軌跡記為Q．(1)求Q的方程；(2)若直線與Q交于A，B兩點，求．47．雙曲線的一條漸近線方程為，過焦點且垂直于軸的弦長為．(1)求雙曲線方程；(2)過雙曲線的下焦點作傾角為的直線交曲線于、，求的長．考點08雙曲線的中點弦問題48．直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，則直線的斜率為(

)A．3 B．6 C．8 D．1249．設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點，若線段AB的中點為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．50．過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．51．不與x軸重合的直線l過點N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點A、B關(guān)于l對稱，AB中點M的橫坐標(biāo)為．若，則C的離心率為．52．已知，直線相交于點M，且它們的斜率之積是3.(1)求點M的軌跡C的方程；(2)過點能否作一條直線m與軌跡C交于兩點P，Q，且點N是線段的中點？若能，求出直線m的方程；若不能，說明理由．53．已知雙曲線，過點作直線交雙曲線于，，若線段的中點在直線上，求直線的斜率．54．已知雙曲線的中心在原點，且它的一個焦點為，直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程．考點09雙曲線的實際應(yīng)用55．如圖，B地在A地的正東方向處，C地在B地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)．現(xiàn)要在曲線上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物．經(jīng)測算，從M到B、C兩地修建公路的費用分別是a萬元/、萬元/，那么修建這兩條公路的總費用最低是（

）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元56．（多選）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點，經(jīng)點反射后，反射光線的反向延長線過；當(dāng)異于雙曲線頂點時，雙曲線在點處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時，C．當(dāng)過點時，光線由到再到所經(jīng)過的路程為13D．若點坐標(biāo)為，直線與相切，則57．如圖1，北京冬奧會火種臺以“承天載物”為設(shè)計理念，創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器一尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬物”，頂部舒展開闊，寓意迎接純潔的奧林匹克火種．如圖2，一種尊的外形近似為某雙曲線的一部分繞著虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，尊高63cm，上口直徑為40cm，底部直徑為26cm，最小直徑為24cm，則該雙曲線的漸近線與實軸所成銳角的正切值為．58．費馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點P為雙曲線（，為焦點）上一點，點P處的切線平分．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，l是點處的切線，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則．59．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，現(xiàn)要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運送到農(nóng)貿(mào)市場中去，已知，，，能否在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側(cè)的點沿道路運送蔬菜較近？如果能，說出這條界線是一條什么曲線，并求出該曲線的方程.60．如圖，發(fā)電廠的冷卻塔被設(shè)計成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀（雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面），可以加強對流，自然通風(fēng).已知某個冷卻塔的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m.試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求此雙曲線的方程.附：61．、、是我方三個炮兵陣地．在的正東，相距6千米；在的北偏西30°，相距4千米．為敵炮兵陣地．某時刻發(fā)現(xiàn)地某種信號，4秒后、兩地才同時發(fā)現(xiàn)這種信號（該信號的傳播速度為1千米/秒）．若從地炮擊地，求準(zhǔn)確炮擊的方位角．考點10雙曲線的綜合應(yīng)用62．已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當(dāng)l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.(1)求C的方程；(2)證明：為定值.63．已知雙曲線C:的左?右焦點分別為，，雙曲線C的右頂點A在圓O:上，且.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動直線與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M，N，求△OMN(O為坐標(biāo)原點）的面積．64．已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由65．已知雙曲線：經(jīng)過點，其中一條漸近線為.(1)求雙曲線的方程；(2)一條過雙曲線的右焦點且縱截距為的直線，交雙曲線于，兩點，求的值.66．已知雙曲線的兩條漸近線分別為，.(1)求雙曲線的離心率；(2)為坐標(biāo)原點，過雙曲線上一點作直線分別交直線，于，兩點（，分別在第一、第四象限），且，求的面積.67．已知圓，，動圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)直線過點，且與曲線交于兩點，滿足，求直線的方程．68．已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.(1)求C的方程；(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知頂點在軸上的雙曲線實軸長為，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點為（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線的左焦點為，過原點的直線與的右支交于點，若為等腰三角形，則點到軸的距離為（

）A． B． C．3 D．53．已知雙曲線的右焦點為為虛軸上端點，是中點，為坐標(biāo)原點，交雙曲線右支于，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．4．已知雙曲線C：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則C的方程為（

）A． B．C． D．5．（多選）已知雙曲線的焦距為4，兩條漸近線的夾角為，則下列說法正確的是（

）A．的離心率為 B．的標(biāo)準(zhǔn)方程為C．的漸近線方程為 D．直線經(jīng)過的一個焦點6．（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，過點可作直線與曲線交于，兩點，使，則曲線可以是（

）A． B．C． D．7．直線與雙曲線的左支交于不同兩點，則實數(shù)的取值范圍為．8．雙曲線，離心率為，焦點到漸近線距離為1，則雙曲線方程為．9．已知雙曲線，其一條漸近線被圓截得的弦長為，則該雙曲線的虛軸長為.10．求中心在原點，適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點在軸上，兩頂點間的距離是10，且經(jīng)過點；(2)一個焦點坐標(biāo)為，一條漸近線方程為．11．已知橢圓，左、右焦點分別為，過點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點．(1)求的長和的周長；(2)求的面積．12．已知橢圓的離心率為，長軸長為．(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓C的右焦點F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，求直線l的方程．能力提升練1．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，點C在x軸上，，平分，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線右支上非頂點的一點A關(guān)于原點的對稱點為為雙曲線的右焦點，若，設(shè)，且