第三章3.13.1.2第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)課件高中數(shù)學人教A版選擇性

第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)第三章

橢圓的簡單幾何性質(zhì)本資料分享自千人教師QQ群323031380期待你的加入與分享1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，了解橢圓標準方程中a，b，c的幾何意義.2.會用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題.學習目標與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等.導語隨堂演練課時對點練一、橢圓的幾何性質(zhì)二、由橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程三、求橢圓的離心率內(nèi)容索引一、橢圓的幾何性質(zhì)問題1

觀察橢圓

(a>b>0)的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？提示范圍：－a≤x≤a，－b≤y≤b；對稱性：對稱軸為x軸，y軸，對稱中心為原點；頂點：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形

標準方程____________________________________范圍________________________________________－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a知識梳理頂點____________________________________________________________________________________軸長短軸長＝

，長軸長＝____焦點焦距對稱性對稱軸：

對稱中心：_____A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2ax軸、y軸原點注意點：(1)橢圓的焦點一定在它的長軸上.(2)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點.(3)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點，最大值為a＋c，最小值為a－c.問題2

觀察圖，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同，扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎？這個定量對橢圓的形狀有何影響？如圖所示，則0<e<1，e越大，∠BF2O越小，橢圓越扁；e越小，∠BF2O越大，橢圓越接近于圓.橢圓的離心率：e＝

∈(0,1).注意點：知識梳理(2)離心率的范圍為(0,1).(3)e越大，橢圓越扁；e越小，橢圓越圓.反思感悟用標準方程研究幾何性質(zhì)的步驟(1)將橢圓方程化為標準形式.(2)確定焦點位置.(焦點位置不確定的要分類討論)(3)求出a，b，c.(4)寫出橢圓的幾何性質(zhì).跟蹤訓練1

已知橢圓C1：

設橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等，且橢圓C2的焦點在y軸上.(1)求橢圓C1的長半軸長、短半軸長、焦點坐標及離心率；(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其幾何性質(zhì).①范圍：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②對稱性：對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點；③頂點：長軸端點(0,10)，(0，－10)，短軸端點(－8,0)，(8,0)；④焦點：(0,6)，(0，－6)，焦距為12；二、由橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程例2

求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6；如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，由題意，得a＝3，由題意，得b＝3，反思感悟利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程的步驟(1)確定焦點位置.(2)設出相應橢圓的標準方程.(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù).(4)寫出橢圓的標準方程.跟蹤訓練2

(1)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，一個焦點的坐標是(3,0)，則橢圓的標準方程為______________.因為橢圓的焦點在x軸上，所以點A不是長軸的端點(是短軸的端點).所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，三、求橢圓的離心率解析方法一由題意可設|PF2|＝m，延伸探究1.若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的離心率.解在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，設|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，2.若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“C上存在點P，使∠F1PF2為鈍角”，求C的離心率的取值范圍.解由題意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，反思感悟求橢圓離心率及取值范圍的兩種方法(2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.跟蹤訓練3

(1)某月球探測器發(fā)射后順利進入了以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，近月點與月球表面的距離為100km，遠月點與月球表面的距離為400km.已知月球的直徑約為3476km，則該橢圓形軌道的離心率約為√設A為近月點，B為遠月點，F(xiàn)為月球的球心，則|AF|＝100＋1738＝1838(km)，|BF|＝400＋1738＝2138(km)，故2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988.又a＋c＝2138，所以c＝2138－1988＝150，√則由橢圓的定義，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周長為20，可得4a＝20，即a＝5.過點F1作直線與橢圓相交，當直線垂直于x軸時，弦長最短，令x＝－c，代入橢圓的方程，1.知識清單：(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì).(2)由橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程.(3)求橢圓的離心率.2.方法歸納：分類討論、方程法(不等式法).3.常見誤區(qū)：忽略橢圓離心率的范圍0＜e＜1及長軸長與a的關(guān)系.課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結(jié)論正確的是√1234√2.已知橢圓的離心率為

焦點是(－3,0)和(3,0)，則該橢圓的方程為√1234則a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，3.若橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成一個正三角形，則該橢圓的離心率為√1234解析不妨設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點.依題意可知，△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，解析∵橢圓的一個焦點坐標為(0,1)，∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，1234則m>1，∴m＝2，課時對點練√基礎鞏固12345678910111213141516√解析當0<m<2時，焦點在x軸上，此時a2＝2，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝2－m，12345678910111213141516當m>2時，焦點在y軸上，此時a2＝m，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝m－2，2.(多選)已知橢圓C：16x2＋25y2＝400，則關(guān)于橢圓C下列敘述正確的是A.橢圓C的長軸長為10B.橢圓C的兩個焦點分別為(0，－3)和(0,3)C.橢圓C的離心率等于D.若過橢圓C的焦點且與長軸垂直的直線l與橢圓C交于P，Q，則|PQ|＝12345678910111213141516√√√則a＝5，b＝4，∴c＝3.長軸長為2a＝10，A正確；兩焦點為(3,0)，(－3,0)，B錯誤；12345678910111213141516將x＝3代入橢圓方程得16×32＋25y2＝400，A.有相等的焦距，相同的焦點B.有相等的焦距，不同的焦點C.有不等的焦距，不同的焦點D.以上都不對√但焦點所在的坐標軸不同.123456789101112131415164.橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為√因為焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的2倍，12345678910111213141516√123456789101112131415166.(多選)某顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點A(離地心最近的一點)距地面mkm，遠地點B(離地心最遠的一點)距地面nkm，并且F，A，B三點在同一直線上，地球半徑約為Rkm，設該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，則√12345678910111213141516√√解析∵地球的中心是橢圓的一個焦點，12345678910111213141516由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正確；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，7.已知橢圓的短半軸長為1，離心率0<e≤

則長軸長的取值范圍為_____.(2,4]12345678910111213141516則1<a≤2，∴2<2a≤4，即長軸長的取值范圍是(2,4].12345678910111213141516解由F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|，12345678910111213141516整理得a2＝3c2.10.如圖，已知橢圓

(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；12345678910111213141516解若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.解由題意知A(0，b)，F(xiàn)2(1,0)，12345678910111213141516解得a2＝3，又c2＝1，所以b2＝2，11.(多選)阿基米德是古希臘數(shù)學家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積.據(jù)此得某橢圓面積為

且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標準方程可以為√12345678910111213141516綜合運用√又a2＝b2＋c2，12345678910111213141516√解析由題意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，12345678910111213141516∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，又e<1，解析如圖，切線PA，PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，1234567891011121314151614.如圖，把橢圓

的長軸AB八等分，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|的值為_____.解析設橢圓的另一個焦點為F′，由橢圓的幾何性質(zhì)可知|P1F|＝|P7F′|，∴|P1F|＋|P7F|＝|P7F′|＋|P7F|＝2a，同理可得|P2F|＋|P6F|＝|P3F|＋|P5F|＝2|P4F|＝2a，又a＝4，故|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|＝7a＝28.123456789101112131415162815.橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計)，在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是√拓廣探究12345678910111213141516解析當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，1234567891011121314151616.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：