天津南開中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末達標檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

天津南開中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末達標檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在平面幾何中,將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓,稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓,銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若,,,則的最小覆蓋圓的半徑為()A. B.C. D.2.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則()A. B.C. D.3.已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩漸近線方程為,若雙曲線上有一點,使,則雙曲線的焦點()A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時在軸上 D.當(dāng)時在軸上4.已知等比數(shù)列滿足,,則數(shù)列前6項的和()A.510 B.126C.256 D.5125.圓的圓心坐標與半徑分別是()A. B.C. D.6.如圖,已知正方體,點P是棱中點,設(shè)直線為a,直線為b.對于下列兩個命題:①過點P有且只有一條直線l與a、b都相交;②過點P有且只有兩條直線l與a、b都成角.以下判斷正確的是()A.①為真命題,②為真命題 B.①為真命題,②為假命題C.①為假命題,②為真命題 D.①為假命題,②為假命題7.一質(zhì)點的運動方程為(位移單位:m,時間單位:s),則該質(zhì)點在時的瞬時速度為()A.4 B.12C.15 D.218.已知方程表示焦點在軸上的橢圓,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.9.若函數(shù),(其中,)的最小正周期是,且,則()A. B.C. D.10.已知圓過點,,且圓心在軸上,則圓的方程是()A. B.C. D.11.為迎接2022年冬奧會,某校在體育冰球課上加強冰球射門訓(xùn)練,現(xiàn)從甲、乙兩隊中各選出5名球員,并分別將他們依次編號為1,2,3,4,5進行射門訓(xùn)練,他們的進球次數(shù)如折線圖所示,則在這次訓(xùn)練中以下說法正確的是()A.甲隊球員進球的中位數(shù)比乙隊大 B.乙隊球員進球的中位數(shù)比甲隊大C.乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定 D.甲隊球員進球數(shù)的極差比乙隊小12.已知,,2成等差數(shù)列,則在平面直角坐標系中,點M(x,y)的軌跡為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,且,則_____________14.若圓心坐標為圓被直線截得的弦長為,則圓的半徑為______.15.狄利克雷是十九世紀德國杰出的數(shù)學(xué)家,對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若,根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求___________.16.直線l過拋物線的焦點F,且l與該拋物線交于不同的兩點,.若,則弦AB的長是____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊為a,b,c,其中,,且(1)求角B的值;(2)若,判斷△ABC的形狀18.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的極值19.(12分)已知等比數(shù)列滿足(1)求的通項公式;(2)記的前n項和為,證明:,,成等差數(shù)列20.(12分)一位父親在孩子出生后,每月給小孩測量一次身高,得到前7個月的數(shù)據(jù)如下表所示.月齡1234567身高(單位:厘米)52566063656870(1)求小孩前7個月的平均身高;(2)求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程(計算結(jié)果精確到整數(shù)部分);(3)利用(2)的結(jié)論預(yù)測一下8個月的時候小孩的身高參考公式:21.(12分)如圖,在空間四邊形中,分別是的中點,分別是上的點,滿足.(1)求證:四點共面;(2)設(shè)與交于點,求證:三點共線.22.(10分)已知雙曲線的左,右焦點為,離心率為.(1)求雙曲線C的漸近線方程;(2)過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點,若,求k的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】,,,為銳角三角形,的外接圓就是它的最小覆蓋圓,設(shè)外接圓方程為,則解得的最小覆蓋圓方程為,即,的最小覆蓋圓的半徑為.故選:C2、B【解析】求出,代值計算可得的值.【詳解】因為,則,因此,.故選:B.3、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程,利用題設(shè)不等式,令二者平方,整理求得的,進而可判斷出焦點的位置【詳解】漸近線方程為,,平方,兩邊除,,,雙曲線的焦點在軸上.故選B.【點睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程,考查對雙曲線標準方程的理解與運用,求解時要注意焦點落在軸或軸的特點,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力4、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題設(shè)條件,求得,再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,,可得,解得,所以數(shù)列前6項的和.故選:B.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,以及等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式,準確計算是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力.5、C【解析】將圓的一般方程化為標準方程,即可得答案.【詳解】由題可知,圓的標準方程為,所以圓心為,半徑為3,故選.6、A【解析】①由正方形的性質(zhì),可以延伸正方形,再利用兩條平行線確定一個平面即可;②一組鄰邊與對角面夾角相等,在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動,可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示,在側(cè)面正方形和再延伸一個正方形和,則平面和在同一個平面內(nèi),所以過點P,有且只有一條直線l,即與a、b相交,故①為真命題;取中點N,連PN,由于a、b為異面直線,a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面,平面,,所以平面,所以與與b的夾角都為.又因為平面,所以與與b的夾角都為,而,所以過點P,在平面內(nèi)存在一條直線,使得與與b的夾角都為,同理可得,過點P,在平面內(nèi)存在一條直線,使得與與的夾角都為;故②為真命題.故選:A7、B【解析】由瞬時變化率的定義,代入公式求解計算.【詳解】由題意,該質(zhì)點在時的瞬時速度為.故選:B8、D【解析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組,由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓,則,解得.故選:D.9、B【解析】利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值,由結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】由已知可得,且,因此,.故選:B.10、B【解析】根據(jù)圓心在軸上,設(shè)出圓的方程,把點,的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上,所以設(shè)圓的方程為,因為點,在圓上,所以,解得,所以圓的方程是.故選:B.11、C【解析】根據(jù)折線圖,求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差,即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖,甲隊數(shù)據(jù)從小到大排序為,乙隊數(shù)據(jù)從小到大排序為,所以甲乙兩隊的平均數(shù)都為5,甲、乙進球中位數(shù)相同都為5,A、B錯誤;甲隊方差為,乙隊方差為,即,故乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定,C正確.甲隊極差為6,乙隊極差為4,故甲隊極差比乙隊大,D錯誤.故選:C12、A【解析】已知,,2成等差數(shù)列,得到,化簡得到【詳解】已知,,2成等差數(shù)列,得到,化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數(shù)的運算以及化簡公式的應(yīng)用,也涉及到了軌跡的問題,求點的軌跡,通常是求誰設(shè)誰,再根據(jù)題干將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,從而列出方程,化簡即可.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】由共線向量得,解方程即可.【詳解】因為,所以,解得.故答案為:214、【解析】利用垂徑定理計算即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為,則,得.故答案為:.15、1【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式,先求出,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設(shè),,則.故答案:116、4【解析】由題意得,再結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】由題意得,由拋物線的定義知:,故答案為:4.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)等邊三角形【解析】(1)把化為,然后由正弦定理化邊為角,利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得;(2)由余弦定理及三角形面積公式可得,從而得出三角形為等邊三角形【小問1詳解】∵,∴由正弦定理得,∵,∴,∴,又,所以,可得;【小問2詳解】由(1)知余弦定理,①,②由①②可得:,又,所以,所以該三角形為等邊三角形18、(1)(2)極大值為12,極小值-15【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)利用導(dǎo)數(shù)求解極值即可.【小問1詳解】,,切點為,故切線方程為,即;【小問2詳解】令,得或列表:-12+0-0+單調(diào)遞增12單調(diào)遞減-15單調(diào)遞增函數(shù)的極大值為,函數(shù)的極小值為.19、(1)(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù),求得的值,即可求得數(shù)列的通項公式;(2)由等比數(shù)列的求和公式求得,得到,,化簡得到,即可求解【小問1詳解】解:設(shè)等比數(shù)列的公比為,因為,所以,解得,所以,所以數(shù)列的通項公式【小問2詳解】解:由(1)可得,,,所以,所以,即,,成等差數(shù)列20、(1)62;(2);(3)74.【解析】(1)直接利用平均數(shù)的計算公式即可求解;(2)套公式求出b、a,求出回歸方程;(3)把x=8代入回歸方程即可求出.【小問1詳解】小孩前7個月的平均身高為.【小問2詳解】(2)設(shè)回歸直線方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.,..計算結(jié)果精確到整數(shù)部分,所以,于是,所以身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程為.【小問3詳解】由(2)知,.當(dāng)x=8時,y=3×8+50=74,所以預(yù)測8個月的時候小孩的身高為74厘米.21、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【小問1詳解】連接AC,分別是的中點,.在中,,所以四點共面.【小問2詳解】,所以,又平面

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