靜電學(xué)計(jì)算題

建立以0點(diǎn)為原點(diǎn)的平面坐標(biāo)系其中"廣0dE建立以0點(diǎn)為原點(diǎn)的平面坐標(biāo)系其中"廣0dEx4?！闞o產(chǎn)XdB八人J6cos6=4兀￡R0■n-6n4n&R—6 0靜電學(xué)計(jì)算題127、一個(gè)半徑為R的均勻帶電圓弧，弧心角為a=60°，電荷線密度為入求環(huán)心0處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì).則dE=言-4脆R20兀4兀￡R124?！闞12sn6128、將一無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線彎成圖示形狀，設(shè)電荷均勻分布，電荷線密度為人，四分之一圓弧AB的半徑為R，試求圓心0點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).取電量元dq取電量元dq=%Rd6，其電場(chǎng)強(qiáng)度元為dE=dE=人Rd64nsR20建立如圖所示的坐標(biāo)系’因?yàn)镋y=o建立如圖所示的坐標(biāo)系’因?yàn)镋y=odEXdO 八 cos64nsR0弭入d6 "2故E=—J4 cos6= n4nsR 4nsR129、帶電細(xì)線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度為人=扁sin。，式中扁為一常數(shù)，。為半徑R與乂軸所成的夾角，如圖所示.試求環(huán)心。處的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì).dE Xdl 入sin中d中4nsR2 4nsR0 0dE/dEcosp 考慮到電荷分布的對(duì)稱性 Ex=0dE=dEsinp e=jdEsin?」兀氣加抑何=方向沿>軸負(fù)向y y 0 4nsR 8sR130、真空中兩條無(wú)限長(zhǎng)直的相互平行的均勻帶電線，相距為,、電荷線密度均為久。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求（1）兩線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（2）單位長(zhǎng)度帶電線所受的電場(chǎng)力。入r-2x在兩線外電場(chǎng)強(qiáng)度為:入入r-2x在兩線外電場(chǎng)強(qiáng)度為:入r+2x———i)￡x(r+x)單位長(zhǎng)度帶電線所受的電場(chǎng)力F=（說(shuō)明力的方向）設(shè)場(chǎng)點(diǎn)距帶電線面，則在兩線內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)崢E=云e/；131、一無(wú)限長(zhǎng)直均勻帶電線，單位長(zhǎng)度的帶電量為人，求在帶電線同側(cè)與該帶電線距離分別為R1,R2的兩點(diǎn)A、B之間的電勢(shì)差。（A、B與帶電線共面）。解：因?yàn)閳?chǎng)強(qiáng)分布E=久，所以u(píng)=jEdr=“圣匚=上ln鳥(niǎo)_2花0r r2兀％r2兀％R1132、面積為S的平行板電容器，兩板間距為也求：（1）插入厚度為d/3，相對(duì)介電常數(shù)為r的電介質(zhì)，其電容量變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？（2）插入厚度為d/3的導(dǎo)電板，其電容量又變?yōu)樵瓉?lái)的多少倍？解：（1）真空電容器c=￡/，內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)E=Q，電介質(zhì)內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)廠 _Q則c=Q=3￡則c=Q=3￡0￡rS=3￡rcU 2d￡+d1+2￡ 0插入電介質(zhì)兩極電勢(shì)差u=Q.2d+-^.d￡S3 ￡￡S30 0r（2）插入厚度為g■的導(dǎo)電板，可看成是兩個(gè)電容的串聯(lián)，則c=c=3￡點(diǎn)，得c=cCi3 1 2d c1+c2133、三平行金屬板A.B、和C，面積都是200cm2,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示。若A板帶正電3.0X10-7C，略去邊緣效應(yīng)，求B板和C板上感應(yīng)電荷。若以地的電勢(shì)為零，求A板電勢(shì)。(1) uc=UB，解：如題圖示,令5左側(cè)面電荷面密度加1(1) uc=UB，即…Eacdac=EabdAB；，，￡r==、=2，

氣 Eabdac得°=qA,°=~^~a。而q=-°S=-2q=-2x10-7C。q=~°S=TxUC2 3S 1 3S c13a B2(2)UA=EcdAc=^TdAc=2.3x103V0

134、計(jì)算如圖所示長(zhǎng)和寬均遠(yuǎn)大于間距的平行板電容器的電容.134與132題重復(fù)，建議更改為下題134、圖示一球形電容器，在外球殼的半徑b及內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢(shì)差U維持恒定的條件下，內(nèi)球半徑a為多大時(shí)才能使內(nèi)球表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度最?。壳筮@個(gè)最小電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.解：E= 4nsr2U=jbE?dr=a\ba4旋r204ns0abU=jbE?dr=a\ba4旋r204ns0ab八4nsUabQ—~b—arUab所以E— (b一a)r2要使內(nèi)球表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度最小必須滿足一—0

da此時(shí)E=4U

b135、圖示為一個(gè)均勻帶電的球殼，其電荷體密度為p,球殼內(nèi)表面半徑為R1無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，求空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì).解：空腔內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E]=0rYRt帶電球殼上的一點(diǎn)4/ 。、p兀(r3—R3)3' /p(r3—R3)E= 2 4兀8r20 T38r20R1YrYR2外表面半徑為R2.設(shè)帶電球殼外部空間“E4P一兀(R3—R3)3 4兀8r20p(R3—R3)2 138r2

03—R3) pdr=?(R2—R2)28 2 10則空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電勢(shì)u=&.drJE?dr3—R3) pdr=?(R2—R2)28 2 101 2 r1 0 2 0136、一電量為q的點(diǎn)電荷位于導(dǎo)體球殼中心，殼的內(nèi)外半徑分別為R1、R2.求球殼內(nèi)外和球殼上場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布并畫(huà)出E⑴和W）曲線.

當(dāng)r>R2時(shí):137、半徑為人〔的導(dǎo)體球，被一與其同心的導(dǎo)體球殼包圍著，其內(nèi)外半徑分別為R2、R3，使內(nèi)球帶電量q,球殼帶電量Q,試求：1）電勢(shì)分布的表示式；2）用導(dǎo)體連接球和球殼后的電勢(shì)分布；3）外球殼接地后的電勢(shì)分布。137與142題重復(fù)，建議更改為138、如圖所示，在半經(jīng)分別為R1^R2的兩個(gè)同心球面上，分別均勻地分布著電荷Q和-Q,求兩球面間的電勢(shì)差。139、一半徑為R的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為e求：球心0處的電場(chǎng)強(qiáng)度。將半球面看做無(wú)數(shù)帶電圓環(huán)組成，每個(gè)圓環(huán)對(duì)場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生dE,則E=jEscos0=Ej?sin0cos0d0=^-"匕" ％0 %運(yùn)用高斯定理，得rYR140、半徑為R的球體內(nèi)，分布著電荷體密度p=kr，式中r是徑向距離，k運(yùn)用高斯定理，得rYRrARErARE=-kR338r0380141、在半徑為人〔的金屬球之外包有一層均勻介質(zhì)層（見(jiàn)圖），外半徑為R2。設(shè)電介質(zhì)的相對(duì)電容率為8r，金屬球的電荷量為Q。求：（1）介質(zhì)層內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)分布；（2）介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)分布；（3）金屬球的電勢(shì)。解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理J解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理Jd.d,=Z(1) 介質(zhì)內(nèi)(R1VrVR「場(chǎng)強(qiáng)：d=Qre= Qr ;4nr3內(nèi)4n88r3介質(zhì)外(rVR「場(chǎng)強(qiáng)： d=Qr君=Qr4nr3'外4n8r3o(2)介質(zhì)外(r>R)電勢(shì)U=”E.dr=_Q_，介質(zhì)內(nèi)(RVrVR)電勢(shì)2 廣外4兀80r 1 2U="E.dr+"E.dr =q(1_1)+Q=Q仁+^^^r內(nèi) r外 4兀88rR 4兀8R 4n88rR(3)金屬球的電勢(shì) °r2 °2 °r2

U=“E-dr+"E-dr=JR —+卜Qd=Q（1+'『1）r內(nèi)r外 R4?！辍阹2R4兀￡r2 4兀88RR1 2 0r 2 0 0r1 2142、半徑為人〔的導(dǎo)體球，被一與其同心的導(dǎo)體球殼包圍著，其內(nèi)外半徑分別為R2、R3，使內(nèi)球帶電量q,球殼帶電量Q,試求：電勢(shì)分布的表示式；用導(dǎo)體連接球和球殼后的電勢(shì)分布；外球殼接地后的電勢(shì)分布。143、有兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)同心金屬圓筒，內(nèi)圓筒入的半徑為R1，外圓筒B的半徑為R2，在內(nèi)圓筒上每單位長(zhǎng)度有正電荷人，在外圓筒單位長(zhǎng)度上有等量的負(fù)電荷，試求兩圓筒間的電勢(shì)差Uar和電容C。AB解：兩金屬圓筒間場(chǎng)強(qiáng)分布E=二，則U=jR2-^dr=土lnR—2礎(chǔ)r AB R12?！?r 2兀￡0 R1。一一RC=之=2兀￡ln「U0R2穩(wěn)恒磁場(chǎng)計(jì)算題穩(wěn)恒磁學(xué)計(jì)算題144、如下圖所示，AB、CD為長(zhǎng)直導(dǎo)線BC為圓心在。點(diǎn)的一段圓弧形導(dǎo)線，其半徑為R.若通以電流［，求。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度. 144如下圖所示，ABCD為長(zhǎng)導(dǎo)線，8仁段為圓心在。點(diǎn)的一段圓弧形導(dǎo)線，其半徑為R若通以電流I，求（1）。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度?（2）若在。點(diǎn)放置一充分小平面單匝閉合線圈，面積為S，通以I/2的電流，計(jì)算該線圈所受的安培力和最大安培力矩。解：將載流導(dǎo)線分成三段，標(biāo)號(hào)如圖。則解：將載流導(dǎo)線分成三段，標(biāo)號(hào)如圖。則（1）B1=（1）B1=0（1分），向外。（2分）~0—，向外（2分）122R 24R向外分K1（sin1-sin蘭）=M

4s3R/2 2 4 12兀RB=B+B+B=-^X（2、；3+兀）（3分）1 2 3 24兀R

(2)F=0(1分)Mm廣蜻Q容+兀）（加145、如圖所示，一載流導(dǎo)線中間部分被彎成半圓弧狀，其圓心點(diǎn)為0,圓弧半徑為R。若導(dǎo)線的流過(guò)電流/，求圓心。處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。146、載流體如圖所示，求兩半圓的圓心點(diǎn)？處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。取定方向垂直紙面向里，根據(jù)畢奧薩法爾定律，有取定方向垂直紙面向里，根據(jù)畢奧薩法爾定律，有147、在真空中，有兩根互相平行的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線相距0.1m，通有方向相反的電流，I]=20A,I2=10A，如圖所示.試求空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，指明方向和磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置.148、圖中所示是一根很長(zhǎng)的長(zhǎng)直圓管形導(dǎo)體的橫截面，內(nèi)、外半徑分別為Q、b，導(dǎo)體內(nèi)載有沿軸線方向的電流I，電流均勻地分布在管的橫截面上?設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率R0,試計(jì)算導(dǎo)體空間各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。149、如圖所示，一根無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線，通有電流I，中部一段彎成圓弧形，求圖中。點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。150、一根同軸電纜由半徑為R1的長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)線和套在它外面的內(nèi)半徑為R2、外半徑為^3的同軸導(dǎo)體圓筒組成，如圖所示，傳導(dǎo)電流沿導(dǎo)線向上流去，由圓筒向下流回，在它們的截面上電流都是均勻分布的，求同軸電纜內(nèi)外各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。151、有電流Z的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線折成如圖的形狀，已知圓弧部分的半徑為R，試求導(dǎo)線在圓心。處的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B的大小和方向？152、長(zhǎng)直載流導(dǎo)線通以電流I，其旁置一長(zhǎng)為m、寬為n的導(dǎo)體矩形線圈。矩形線圈與載流導(dǎo)線共面，且其長(zhǎng)邊與載流導(dǎo)線平行（兩者相距為a），（1）求該線圈所包圍面積內(nèi)的磁通量；（2）若線圈中也通以電流I，求此載流線圈所受的合力。153、無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線七與直線電流&共面，幾何位置如圖所示.試求載流導(dǎo)線&受到電流七磁場(chǎng)的作用力.153如圖3-3，無(wú)限長(zhǎng)直線電流I與直線電流I共面，幾何位置如圖所示.試求直線電流I受到電流I磁場(chǎng)的作用力.1 2 2 1日I1 解：磁場(chǎng)分布B（尸）=布，電流兀受力dF=IdlB（r）=%Adl2nr i 2兀r而dl=dr/COS60=2dr則dF=IdlB（r）=Wrdr2 兀r結(jié)果bu11u11b結(jié)果F=JIdlB(r)=Jb0ftdr=0rTln(—)2 a兀r 兀a154、無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線七與直線電流&共面且垂直，幾何位置如圖所示.計(jì)算載流導(dǎo)線&受到電流七磁場(chǎng)的作用力和關(guān)于

。點(diǎn)的力矩;試分析&施加到11上的作用力.解：在ab上取dr，它受力dF1ab向上，大小為dF=Idr。點(diǎn)的力矩;試分析&施加到11上的作用力.ddF對(duì)O點(diǎn)力矩dM=rxFdM方向垂直紙面向外，大小為dM=*=蚪dr兀bu11bu11M=JbdM=^2i2Jbdr=，^12(b-a)施加到I]上的作用力不等于11施加到72上的作用力。解： FB=IAIdxB方向垂直AB向左F=jCIdrxB方向垂直解： FB=IAIdxB方向垂直AB向左F=jCIdrxB方向垂直AC向下，大小為ACA2F=j*IdrU4=%44In5AC22nr 2兀d同理F方向垂直BC向上，大小F=jd+a[⑴異1BC BLd22兀rdl=dr

cos450F=jd+auoI2I1drBCa2兀rcos450uIId+a='()T「2In ■-2兀 d線圈平面與磁場(chǎng)方向平行.如圖所示，使線(3)從所在位置轉(zhuǎn)到線圈平面與磁場(chǎng)垂直時(shí)156、邊長(zhǎng)為Z=0.1m的正三角形線圈放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的均勻磁場(chǎng)中，圈通以電流7=10A，求：線圈每邊所受的安培力；對(duì)O。/軸的磁力矩大小;線圈平面與磁場(chǎng)方向平行.如圖所示，使線(3)從所在位置轉(zhuǎn)到線圈平面與磁場(chǎng)垂直時(shí)磁力所作的功.TOC\o"1-5"\h\z、解：(1)Fbc=IlxB=0r 、 rF=IlxB方向1紙面向外，大小為F=IlBsin1200=0.866Nr 、 rF=IlxB方向1紙面向里，大小F=IlBsin1200=0.866N一― ■,..... 一-⑵Pm=ISM=P^xB沿OO方向，大小為M=ISB=^~~~B=4.33x10-2 N*m(3)磁力功A=I(①2-也) ?.?①]=0 %=f12BAA=12B=4.33x10-2J157、一平面塑料圓盤，半徑為R，表面帶有面密度為^剩余電荷.假定圓盤繞其軸線AA'以角速度①(rad?s-】轉(zhuǎn)M_兀b?R4B動(dòng)，磁場(chǎng)B的方向垂直于轉(zhuǎn)軸AA'.試證磁場(chǎng)作用于圓盤的力矩的大小為=4 .（提示：將圓盤分成許多同心圓環(huán)來(lái)考慮.）—解：取圓環(huán)dS=2兀rdr，它等效電流dI=皿=4dq_^ES-grdrT2兀一2兀等效磁矩dP=nr2dI=兀們63dr

m、 、 、受到磁力矩dM=dpxB，方向上紙面向內(nèi)，大小為dM=dPxB=兀3。r3drBM=jdM=nwoBjRr3dr=0158、在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，垂直于磁場(chǎng)方向的平面內(nèi)有一段載流彎曲導(dǎo)線，電流為I，如圖所示.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求其所受的安培力.159、如圖所示，在長(zhǎng)直導(dǎo)線內(nèi)通以電流I1=20A，在矩形線圈中通有電流I2=10A，兩者共面，且矩形線圈之縱邊與長(zhǎng)直導(dǎo)線平行.已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0cm，求：（1）長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)對(duì)矩形線圈每邊所作用的力；（2）矩形線圈所受合力和合力矩.電磁感應(yīng)計(jì)算題160、兩相互平行無(wú)限長(zhǎng)的直導(dǎo)線，流有大小和方向如圖所示的電流，金屬桿CD與兩導(dǎo)線保持共面，相對(duì)位置如圖。桿以速度。沿著平行于直載流導(dǎo)線的方向運(yùn)動(dòng)，求：桿中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，并判斷兩端哪端電勢(shì)較高？「八一一「「U3/u u2Iv ] 3uIaUIb解.e=JD(VxB)-dl=Ja—% + % dr="0In-^oInCDC a 2兀r 2兀(a+b+c—r) 2兀 a+c兀b+c161、如圖所示，AB、CD為兩均勻金屬棒，有效長(zhǎng)度均為1m，放在B=4T、方向垂直紙面向里的均勻磁場(chǎng)中.AB、CD可以在平行導(dǎo)軌上自由滑動(dòng).當(dāng)兩棒在導(dǎo)軌上分別以％=4m/s,々=2m/s的速度向右作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：ABCD導(dǎo)體框中，電動(dòng)勢(shì)的大小及感應(yīng)電流的方向.解：e=vBL=16(V)eba=v2BL=8(V)e=e+e=16—8=8(V) 方向順時(shí)針XXXXXXXX專XXXXXXXXXXXXXXX專XXXXXXXX—X*X1XXXXX162、如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線中通有電流1=0.3A，在與其相距6=0.6cm處放有一矩形線圈，共1000匝，設(shè)線圈長(zhǎng)l=3cm，寬a=3cm。不計(jì)線圈自感，若線圈以速度。=5m/s沿垂直于長(zhǎng)導(dǎo)線的方向向右運(yùn)動(dòng)，線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)多大？解：e=jVxb)dl=NvBl=Nvl~ode2=jVxB)dl=Nvl2"/弓)e=ef=NvlU。' a =1，25x10-5(V) 方向順時(shí)針1 2 2兀d(a+d)

163、真空中的兩條無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線平行放置，一載流導(dǎo)體環(huán)（半徑為R）與兩導(dǎo)線共面放置，如圖所示。（1）求。點(diǎn)之磁感應(yīng)強(qiáng)度（2）若圓環(huán)以勻速率。鉛直向上運(yùn)動(dòng)，求其上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。c日I日I解⑴B=2X況方R=茄方向垂直紙面向夕卜（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，因?yàn)榇磐坎蛔?，所以?0由于磁場(chǎng)分布規(guī)律B（r）=164、電流為/的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線旁有一弧形導(dǎo)線，圓心角為120O幾何尺寸及位置如圖所示。求當(dāng)圓弧形導(dǎo)線以速度。平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧形導(dǎo)線中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。由于磁場(chǎng)分布規(guī)律B（r）=解：構(gòu)造閉合回路ABCDA，依據(jù)電磁感應(yīng)定律，閉合回路動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為0,因而口I,口I 口/口Iv201，貝ijd8-v■^^―dr，得到8 =J^v20-dr=—ln(2.5)說(shuō)明電勢(shì)指向165、導(dǎo)線AB長(zhǎng)為Z，繞過(guò)。點(diǎn)的垂直軸以勻角速①轉(zhuǎn)動(dòng)，AO=l/3,磁感應(yīng)強(qiáng)度B