等腰三角形的判定導學案

等腰三角形的判定導學案教學目標：1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并會運用其進行簡單的證明．3．了解等腰三角形的尺規(guī)作圖.教學重、難點：理解和運用等腰三角形的判定定理教學過程：一、問題導入：問題等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？性質(zhì)定理的條件是：一個三角形中有兩條邊相等．結(jié)論：這兩條邊所對的角相等．二、課本精講：思考性質(zhì)定理證明方法是什么？作頂角的平分線或底邊上的高或底邊的中線，將一個三角形的問題轉(zhuǎn)化為兩個全等三角形來證明兩個角相等．問題一個三角形滿足什么條件是等腰三角形？思考1如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊有什么關(guān)系？這兩個角所對的邊相等．思考2這個命題的題設(shè)和結(jié)論又分別是什么呢？如何證明這個命題？題設(shè)：一個三角形有兩個角相等．結(jié)論：這兩個角所對的邊相等．問題類比等腰三角形性質(zhì)定理的證明方法，你能選擇一種來證明這個命題嗎？已知：如圖，在△ABC

中，∠B

=∠C.求證：AB=AC．教師：你還有其他證明方法嗎？

思考能作底邊BC

上的中線嗎？

等腰三角形的判定方法：

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．符號語言：∵在△ABC

中，∠B

=∠C，∴AB

=AC．思考與等腰三角形性質(zhì)進行比較看有什么區(qū)別？例1求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形.已知：∠CAE

是△ABC

的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB

=AC.例2已知等腰三角形底邊長為a

，底邊上的高的長為h

，求作這個等腰三角形.作法：（1）作線段AB

=a；（2）作線段AB

的垂直平分線MN，與AB

相交于點D；（3）在MN上取一點C，使DC

=h；（4）連接AC，BC，則△ABC

就是所求作的等腰三角形.三、鞏固提高：教科書79頁練習1、2、3、4四、課堂小結(jié)：（1）本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？（3）結(jié)合本節(jié)課的學習，談談等腰三角形性質(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系．五、課后作業(yè)：教科書習題13.3第2、5題．

課后反思：

等腰三角形的判定導學案（2課時，單元-課時教學設(shè)計）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

等腰三角形的性質(zhì)和判定.

本單元教學需兩課時，第1課時主要學習等腰三角形的性質(zhì)，第2課時重點研究等腰三角形的判定。

2.內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容的本質(zhì)

本節(jié)課的內(nèi)容是人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊第十三章第三節(jié)“等腰三角形”，是在學生學習了三角形的相關(guān)知識（根據(jù)邊的位置關(guān)系特殊化研究過直角三角形）、全等三角形和軸對稱知識的基礎(chǔ)上進一步研究的另一類特殊三角形.類比直角三角形，通過三角形邊的大小關(guān)系特殊化引入等腰三角形這一類圖形，它的研究再一次呈現(xiàn)圖形特例研究的典范，為后續(xù)學習平行四邊形等內(nèi)容提供了“一般觀念”的示范作用.對于直角三角形是按照“定義—性質(zhì)—判定”的思路進行研究的.等腰三角形亦是如此.采用“屬+種差”的方式加以定義，定義中反映了兩邊相等這一等腰三角形的充要條件，它反映了其基本要素（邊）大小的特殊關(guān)系.等腰三角形的性質(zhì)反映了其基本要素（角），以及相關(guān)要素(三線)之間特殊的不變關(guān)系.因為等腰三角形是反映空間對稱性最基本的平面封閉圖形，所以也用到了軸對稱的思想.

（2）內(nèi)容蘊含的數(shù)學思想方法

本單元教材中用軸對稱思想研究等腰三角形的性質(zhì)，即通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)等腰三角形的軸對稱性，進一步發(fā)現(xiàn)角和“三線”的性質(zhì).在軸對稱性直觀感知經(jīng)驗的支撐下想到證明性質(zhì)中作輔助線的方法，在證明等腰三角形性質(zhì)猜想的基礎(chǔ)上，進一步證明了它是軸對稱圖形.等腰三角形的判定則是尋找能推出兩邊相等的最少充分條件.類比直角三角形中兩銳角關(guān)系的研究，通過交換性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論提出判定的猜想，再進行演繹推理證明猜想.在研究過程中用到了推理的思想，具體體現(xiàn)在類比、歸納和演繹思想上.

（3）知識的上下位關(guān)系

學生學習本單元的知識基礎(chǔ)有：三角形和三角形全等的判定方法，軸對稱的圖形的性質(zhì)和線段垂直平分想的性質(zhì)．通過對等腰三角形的學習，可以獲得幾何圖形研究的一般步驟，一般思路和一般方法，對后續(xù)進一步研究其他類型的幾何圖形具有奠基作用.

（4）內(nèi)容的育人價值

在等腰三角形的性質(zhì)和判定學習過程中，讓學生經(jīng)歷初中幾何圖形研究的基本套路，體會幾何研究思想的一致性和方法的普適性.在應用等腰三角形性質(zhì)與判定知識解決求角度和證明線段相等的過程中，經(jīng)歷幾何圖形的觀察/實驗/探究/歸納/推理/證明的認識圖形的全過程，培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界．通過本單元基礎(chǔ)知識和基本技能的學習，讓學生積累幾何圖形學習基本經(jīng)驗，掌握幾何圖形學習基本方法，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

3．教學重點

探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理。二、目標與目標解析

1.單元目標

（1）了解等腰三角形的定義.

（2）探索并證明等腰三角形的性質(zhì).探索并掌握等腰三角形的判定。

（3）在經(jīng)理猜想-探究-證明-歸納等腰三角形的性質(zhì)和判定的過程中，體會推理的思想，具體體現(xiàn)在類比、歸納和演繹思想。

（4）進一步感受幾何知識內(nèi)在的系統(tǒng)性，初步體會幾何研究的一般思路與方法，為進一步學習其他幾何圖形積累經(jīng)驗.

2.目標解析

達成目標（1）的標志：能用文字語言、圖形語言、符號語言來描述等腰三角形的定義，知道等腰三角形的研究是以定義為出發(fā)點的.

達成目標（2）的標志：能根據(jù)等腰三角形的軸對稱性發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)，能利用全等證明這兩個性質(zhì)及軸對稱性，能用文字語言和符號語言準確表述性質(zhì)的含義.能交換性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論提出等腰三角形的判定猜想，能利用全等證明判定猜想，能用文字語言和符號語言準確表述判定定理的含義.

達成目標（3）的標志：能根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及其判定驚醒簡單的推理和應用。

達成目標（4）的標志：能根據(jù)等腰三角形的研究思路獨立探究等邊三角形的相關(guān)內(nèi)容。三、學生學情分析

1．問題診斷

等腰三角形對于初二的學生來說，是既熟悉又陌生的。在小學就已經(jīng)學習過等腰三角形的相關(guān)概念，能夠從展示的圖片中抽象出等腰三角形，回憶等腰三角形的概念，但對于它的性質(zhì)卻是陌生的。通過“生產(chǎn)工具”這一實例引入課題，讓學生產(chǎn)生新鮮感和陌生感，從而激發(fā)學生的探索欲望和學習興趣。

在性質(zhì)的學習過程中，學生通過折紙能直觀感受到兩底角的相等關(guān)系，但是完成證明有一定困難，主要表現(xiàn)在，添加輔助線的經(jīng)驗不足。學生剛進入初二，才學習了全等三角形，對幾何證明有一定認識，但對于輔助線的認識是有欠缺的。例如在證明“等邊對等角”時，學生認為這個結(jié)論很自然，對為什么要作底邊上的中線感到迷茫。通過實踐，特別是對折痕作用的分析，引導學生發(fā)現(xiàn)輔助線的添加方法，并理解其合理性，進而完成證明。

學生由于認知經(jīng)驗不足，對等腰三角形性質(zhì)2的理解容易出現(xiàn)錯誤，需要引導學生將性質(zhì)2分解為三個結(jié)論并逐一證明，以此加深學生對性質(zhì)2的理解。

2．教學難點

本單元的教學難點是：等腰三角形性質(zhì)證明時輔助線的添加，等腰三角形性質(zhì)與判定的區(qū)別。四、教學策略分析

按照“問題解決”為線索進行教學設(shè)計。引入“生產(chǎn)工具”，提出問題，引導學生深入思考。通過折紙、剪紙等活動，引導學生分析問題，讓學生在層層釋疑的過程和觀念中學習新知識，體會研究幾何問題的基本策略、基本方法和基本過程，進而解決問題，應用已有知識，完成證明，得到等腰三角形的性質(zhì)。最后，回到課前問題，加以解決，實現(xiàn)性質(zhì)的應用，同時讓學生感受到數(shù)學來源于生活，強化學生的應用意識。五、課時教學設(shè)計13.3.1等腰三角形（第1課時）

（一）課時教學內(nèi)容

利用軸對稱探索等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角、三線合一），并利用全等三角形的知識進行推理論證。（二）課時教學目標

1．課時目標1．目標1）觀察歸納等腰三角形的性質(zhì)，體會歸納猜想思想和研究問題的基本策略。（2）推理論證等腰三角形的性質(zhì)，體會轉(zhuǎn)化、推理等研究幾何問題的基本方法。（3）會用性質(zhì)解決簡單的問題。2．目標解析達成目標（1）的標志是，能從動手操作的過程中概括出性質(zhì)，體會歸納猜想的基本策略。達成目標（2）的標志是，利用構(gòu)建全等三角形，推理證明（等邊對等角、三線合一）。達成目標（3）的標志是，會用性質(zhì)解決簡單的問題（三）課時教學重點本節(jié)課的教學重點：探索并證明等腰三角形的性質(zhì)。（四）課時教學難點本節(jié)課的教學難點：性質(zhì)1證明中輔助線的添加和對性質(zhì)2的理解。（五）教學過程設(shè)計1.引言問題1：通過類比角的研究過程，我們研究了三角形，我們研究了關(guān)于三角形的哪些知識呢？是按怎樣的路徑展開研究的？師生活動：前兩章我們一直在研究三角形的相關(guān)知識，我們研究過它的組成要素——邊、角，以及相關(guān)要素——高、中線、角平分線之間的關(guān)系，還研究了兩個三角形的特殊關(guān)系——全等.全等三角形的研究都是從性質(zhì)和判定兩個角度入手的.【設(shè)計意圖】教師引導學生回憶并歸納出研究一個幾何圖形的“一般套路”，確定研究路徑：定義、表示—性質(zhì)—特例.問題2：像研究直線的特殊位置關(guān)系“垂直”和“平行”一樣，三角形也有特殊的情況需要研究，是什么呢？師生活動：對幾何對象的研究按照從一般到特殊的思路進行，引導學生將三角形特殊化，歸納出通過邊的特殊化得到等腰三角形（特例是等邊三角形），通過一個內(nèi)角取特殊值得到直角三角形.接下來我們就來研究一類特殊的三角形——等腰三角形.【設(shè)計意圖】對于一類數(shù)學對象，“特殊化”是發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的重要方法，以三角形研究知識發(fā)展的邏輯及現(xiàn)實情境為線索，確定了研究對象——等腰三角形.2.自主探究、構(gòu)建新知問題3：你認為可以研究等腰三角形的哪些問題呢？按怎樣的路徑展開研究？師生活動：一起回憶幾何圖形的研究思路，等腰三角形是特殊的三角形，研究的內(nèi)容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性質(zhì)，以及“特例”的判定；從而構(gòu)建等腰三角形的研究路徑：定義—性質(zhì)—判定.教師介入：“本節(jié)課我們重點學習等腰三角形的性質(zhì)?！薄驹O(shè)計意圖】通過類比構(gòu)建等腰三角形的研究路徑，用相似的路徑研究不同的問題。追問：在前面的學習中我們已經(jīng)學習了等腰三角形，你能說出圖中等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角.師生活動：教師提出問題，學生回答，并互補充。【設(shè)計意圖】通過復習，使學生明確等腰三角形的相關(guān)概念。

3.操作實驗，觀察歸納問題4.探究如圖所示，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC

有什么特點？師生活動：教師引導學生進行操作，得出三角形是等腰三角形。問題5：等腰三角形的性質(zhì)是研究什么內(nèi)容？師生活動：師生共同歸納得出性質(zhì)是從定義出發(fā)，推出等腰三角形的組成要素——邊和角的關(guān)系，以及相關(guān)要素——高、中線、角平分線之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系.【設(shè)計意圖】“幾何要素之間確定的位置關(guān)系、大小關(guān)系就是幾何圖形的性質(zhì)”這個一般觀念，對于發(fā)現(xiàn)和提出性質(zhì)的猜想具有指導意義，使研究更具有方向性.問題6：從剪或折的過程中可以看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？由此你能得到什么結(jié)論？追問1.把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.追問2由這些重合的線段和角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.追問3最初各自所得三角形大小不同，形狀各異，小組比較一下，是否得出相同的結(jié)論。追問4.在練習本上任意畫一個等腰三角形，把它剪下來，折一折，上面得出的結(jié)論仍然成立嗎？

師生活動：學生按照要求折紙，然后再剪圖放圖，比較圖，小組交流，概括結(jié)論。教師依據(jù)學生討論發(fā)言的情況,歸納等腰三角形中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論:①∠B=∠C→兩個底角相等.②BD=CD→AD為底邊BC上的中線.③∠BAD=∠CAD→AD為頂角∠BAC的平分線.∠ADB=∠ADC=90°→AD為底邊BC上的高.4.分類歸納，合情猜想，問題6：結(jié)合上述觀察得出的結(jié)論，從等腰三角形“角”的角度去思考，猜想一下，等腰三角形有什么性質(zhì)呢？師生活動：通過思考，得出猜想1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成:“等邊對等角”).問題7：結(jié)合上述觀察得出的結(jié)論，從等腰三角形的“相關(guān)要素——高、中線、角平分線之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系”的角度去思考，猜想一下，等腰三角形有什么性質(zhì)呢？師生活動：通過小組活動，從位置關(guān)系得出“等腰三角形的高、中線、角平分線”重合；從大小關(guān)系得出“等腰三角形的高、中線、角平分線”相等。最后，學生在教師引導下，歸納得出“猜想2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線,底邊上的高重合(簡記為：三線合一).”【設(shè)計意圖】：讓學生通過動手操作，猜測、驗證等腰三角形的性質(zhì)，加強學生的感性認識，體會由特殊到一般的數(shù)學思想。5.推理論證，演繹證明問題8、利用折紙的方法，我們發(fā)現(xiàn)并概括出等腰三角形的性質(zhì)1和性質(zhì)2．對于性質(zhì)1，你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結(jié)論嗎？（1）你能根據(jù)結(jié)論畫出圖形，寫出已知、求證嗎？（2）結(jié)合所畫的圖形，你認為證明兩個底角相等的思路是什么？（3）如何在一個等腰三角形中構(gòu)造出兩個全等三角形呢？從剪圖、折紙的過程中你能獲得什么啟發(fā)？師生活動：教師引導學生分析命題的已知和求證。并結(jié)合折疊的操作過程，得到啟發(fā)，可以利用三角形全等證明這些結(jié)論，得出結(jié)論，利用三角形的底邊BC的中線構(gòu)建全等形。學生口述證明過程，教師出示證明過程。追問１.我們通過折疊知道這條線既是中線，又是高線，角平分線，你能分別用這兩條輔助線來完成證明嗎？師生活動：兩名學生在黑板上用不同的方法板書，其它學生隨意選取一種證明。師指出，在不同的輔助線作法中，由輔助線帶來的條件是不同的。并給出性質(zhì)1的符號語言格式，歸納等腰三角形常用的輔助線作法。并強調(diào)又多了一個證明角相等的方法。

問題8、如何證明性質(zhì)2呢？師生活動：師引導學生說出性質(zhì)2的3種命題形式：（1）等腰三角形的頂角平分線，既是底邊上的中線，又是底邊上的高.（2）等腰三角形的底邊上的中線,既是頂角平分線，又是底邊上的高.

(3)等腰三角形的底邊上的高，既是頂角平分線，又底邊上的中線.師生活動：讓學生對等腰三角形的底邊上的中線,既是頂角平分線，又是底邊上的高進行說理證明。

教師給出三個命題的符號語言表達形式。

追問：在等腰三角形性質(zhì)的探索過程和證明過程中“折痕”“輔助線”發(fā)揮了非常重要的作用，由此，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形具有什么特征？

【設(shè)計意圖】：1規(guī)范學生的證明格式。2.體會一題多解帶來的體驗。例如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數(shù).解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等邊對等角).設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°于是在△ABC中,有∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.師生活動：師引導學生分析，1、圖中有哪幾個等腰三角形？2、有哪些相等的角？3、∠BDC與∠A有什么關(guān)系？4、設(shè)∠A為x,則∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC=2x得出題中的數(shù)量關(guān)系。一名學生在黑板上寫過程，其他學生在練習本上完成證明。10分【設(shè)計意圖】:1.體會角平分線性質(zhì)在解決實際問題中的作用，等腰三角形“等邊對等角”及“三線合一”性質(zhì)，可以實現(xiàn)由邊到角的轉(zhuǎn)化，從而可求出相應角的度數(shù).2.在解題過程中,體會從復雜圖形中分解出等腰三角形,用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題.4、運用等腰三角形的性質(zhì)，解決簡單問題練習1、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°,則∠B=

°2.等腰三角形的一個角是110°，它的底角的度數(shù)是（

）A．30°

B．35°

C．60°

D．85°3.等腰三角形的一個外角是100°，它的頂角的度數(shù)是（

）A．80°B．20°

C．20°或80°D．50°或80°綜合應用4．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AC=BD，求∠B的度