雙弦張弦索網(wǎng)曲面形狀的有限元分析

雙弦張弦索網(wǎng)曲面形狀的有限元分析

預(yù)測矩陣結(jié)構(gòu)是一種應(yīng)用高效預(yù)測技術(shù)形成的大范圍預(yù)測結(jié)構(gòu)。該結(jié)構(gòu)具有廣闊的輪廓和較高的節(jié)省木材質(zhì)量。2008年，國家體育屋頂結(jié)構(gòu)采用了14.5m的雙向結(jié)構(gòu)。雙排間距結(jié)構(gòu)已成為中國世界上最大的雙向結(jié)構(gòu)。在雙排結(jié)構(gòu)中，對彈簧橫截面的尋找是雙排結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的中心問題。過去建設(shè)的張弦結(jié)構(gòu)多為單向受力，如國內(nèi)已經(jīng)建成的浦東機(jī)場航站樓水平投影跨度82.6m、廣州會展中心跨度126.6m、哈爾濱會展中心跨度128m、深圳會展中心跨度126m、日本1994年建成的北九州穴生穹頂跨度61.8m，這些結(jié)構(gòu)都是采用多榀結(jié)構(gòu)尺寸相同的張弦梁或張弦桁架平行布置形成屋面結(jié)構(gòu)。單向張弦結(jié)構(gòu)下弦多按拋物線布置，可以提供基本均勻的向上的平衡荷載，使得上弦的桁架或梁受力均勻，選擇合適的拉力大小和曲線形式可以保證在勻布荷載下上弦結(jié)構(gòu)基本不產(chǎn)生彎曲。雙向張弦結(jié)構(gòu)的下弦位于一個(gè)曲面上，兩個(gè)方向的索均產(chǎn)生向上的平衡荷載，兩個(gè)方向索通過撐桿將平衡荷載傳至上弦結(jié)構(gòu)，如何確定下弦索所在的曲面，使得雙向張弦結(jié)構(gòu)下弦對上弦的平衡荷載保持均勻或保證與設(shè)計(jì)的節(jié)點(diǎn)荷載基本相同，進(jìn)而使上弦彎矩最小，是雙向張弦結(jié)構(gòu)下弦索曲面找形的目標(biāo)。過去的找形研究都是研究撐桿高度確定后預(yù)應(yīng)力作用下張弦梁的變形，確定張弦梁的零應(yīng)力狀態(tài)，沒有去尋找下弦的最佳形狀，本文提出了一種根據(jù)平衡荷載大小和索拉力大小來建立有限元方程并計(jì)算下弦拉索曲面最佳形狀的方法，通過一個(gè)單向彎曲屋面和一個(gè)雙向彎曲屋面的算例驗(yàn)證了提出的有限元找形方法的正確性，用通用有限元軟件ADINA計(jì)算分析了找形得到的雙向張弦結(jié)構(gòu)在規(guī)定荷載下的內(nèi)力和變形：上弦彎曲和豎向變形幾乎是0，完全達(dá)到了找形的目標(biāo)，同時(shí)也給出了服役過程中荷載變化時(shí)的找形方法。該方法計(jì)算簡單、誤差較小，可以為雙向張弦結(jié)構(gòu)下弦索網(wǎng)曲面找形提供借鑒。1下弦索體系內(nèi)的平衡荷載設(shè)雙向張弦結(jié)構(gòu)的平面投影坐標(biāo)為x-y平面，x向索在y向單位寬度內(nèi)的面積為Ax,y向索在x向單位寬度內(nèi)的面積為Ay，索的彈性模量為E，見圖1。分別為索在x方向和y方向的單位寬度的拉力，分別可以隨y和x變化，下弦索網(wǎng)曲面可以用z(x,y)來表示，那么：x方向索產(chǎn)生的平衡荷載為：y方向索產(chǎn)生的平衡荷載為：為了保證雙向張弦結(jié)構(gòu)在豎向荷載下上弦壓彎構(gòu)件具有較小的彎矩，上弦拱(如果上弦為曲面)的作用抵消的豎向荷載與下弦索網(wǎng)雙向索產(chǎn)生的平衡荷載之和應(yīng)該與外荷載一致。由于下弦索并非理想曲線，而是在撐桿處發(fā)生轉(zhuǎn)折的多段折線，下弦索網(wǎng)的平衡荷載是由撐桿處集中力體現(xiàn)的，如果上弦結(jié)構(gòu)的荷載都作用在撐桿處，各個(gè)撐桿處索網(wǎng)的平衡荷載與外荷載在節(jié)點(diǎn)處的集中力相等，那么上弦為平面的張弦結(jié)構(gòu)將處于雙向受壓狀態(tài)而無彎矩。為了計(jì)算方便，將下弦索按連續(xù)變化的曲面z(x,y)表示，假設(shè)雙向索需要平衡的荷載為q(x,y)，根據(jù)式(1)、式(2)有：和邊界條件：偏微分方程(3)只有在一些特殊的邊界條件下才會有解析解，因此很難求得適合邊界條件式(4)的偏微分方程(3)的解析解，特別是當(dāng)索力雙向不等，甚至分別隨y和x發(fā)生變化時(shí)更是不能取得解析解。2下弦索結(jié)構(gòu)最優(yōu)設(shè)計(jì)單向張弦梁下弦通常為拋物線，拋物線可以得到勻布的平衡荷載，使得張弦梁受力較為均勻。如果雙向張弦結(jié)構(gòu)下弦索所在的曲面用拋物面：拋物面x方向索產(chǎn)生的平衡荷載為：y方向索產(chǎn)生的平衡荷載為：雙向平衡荷載為：從式(8)可以看出，如果選取下弦索曲面為二次拋物面，平衡荷載大小均與計(jì)算點(diǎn)的位置和索拉力有關(guān)。越靠近矩形的中心，平衡荷載越大，以正方形為例，如圖1所示，假設(shè)兩個(gè)方向的索張拉力相同，按雙向拋物面計(jì)算的各撐桿處平衡荷載大小如表1所示。二次拋物面要保持平衡荷載相同，索拉力必定不同，根據(jù)式(6)―式(8)有：從上面分析可以看出，雙向張弦結(jié)構(gòu)要保證較好的受力性能，采用拋物面存在一定的不足：張拉力相同時(shí)平衡荷載相差較大，最小平衡荷載為最大值的44%；平衡荷載相同時(shí)越靠外的索拉力反倒越大，相差2倍多，與越靠跨中受力越大相矛盾。為此，應(yīng)該尋找一種可以根據(jù)平衡荷載大小確定下弦拉索形狀的計(jì)算方法，使雙向張弦結(jié)構(gòu)在外荷載和預(yù)應(yīng)力作用下上弦受到的彎曲最小，減小上弦的受力，減小上弦構(gòu)件尺寸，從而達(dá)到優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低造價(jià)的目的。3構(gòu)下弦找形優(yōu)化索網(wǎng)的找形已經(jīng)較為成熟，有力密度法、動力松弛法和支座位移法等，但是索網(wǎng)的找形是找到索網(wǎng)無外荷載時(shí)的自平衡位置，而雙向張弦結(jié)構(gòu)下弦找形是一個(gè)優(yōu)化的過程，找到一種最佳受力形狀，也就是能保持上弦彎曲較小，從而達(dá)到最大限度減小上弦斷面的目的。偏微分方程(3)和邊界條件(4)解析解很難得到，可以用數(shù)值方法進(jìn)行求解，但是求解方法較為復(fù)雜，本文將根據(jù)下弦索網(wǎng)的平面布置網(wǎng)格，推導(dǎo)出有限元分析的剛度矩陣、荷載向量，并用FORTRAN語言編制了有限元程序，找到較為理想的下弦索曲面形狀，確定出各撐桿的高度。3.1單元剛度的確定單元都是受拉桿單元，只有軸向拉力，單元e的節(jié)點(diǎn)為i和j，軸向拉力iT-j的水平分量為Hi-j，見圖2，保持Hi-j為設(shè)計(jì)拉力值，大小不變，找形后節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)為(xi,yi,zi)，節(jié)點(diǎn)j的坐標(biāo)為(xj,yj,zj)，由于節(jié)點(diǎn)的水平投影位置已經(jīng)在設(shè)計(jì)時(shí)固定，因此只需要確定節(jié)點(diǎn)豎向位置和豎向剛度，單元e的長度的水平投影為單元e的i節(jié)點(diǎn)在i產(chǎn)生的豎向分力為：得到單元e在i節(jié)點(diǎn)的剛度：單元剛度矩陣為：其中：Hi-j是單元的拉力的水平分量；iL-j是單元的水平面投影長度。3.2屋頂平衡荷載對于上弦為平面的雙向張弦梁，下弦要平衡的荷載就是張弦結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力。當(dāng)建筑設(shè)計(jì)上弦為曲面時(shí)，索拉力會使上弦的拱形梁承受壓力，屋面產(chǎn)生向上的平衡荷載，節(jié)點(diǎn)i對應(yīng)的上弦節(jié)點(diǎn)為iu，上弦、下弦水平分力是自平衡的，根據(jù)水平分力大小確定上弦節(jié)點(diǎn)iu的平衡荷載：其中：ziu為節(jié)點(diǎn)i對應(yīng)的上弦節(jié)點(diǎn)豎向坐標(biāo)；ziku為與上弦節(jié)點(diǎn)iu相連接的節(jié)點(diǎn)ku豎向坐標(biāo)；n為與節(jié)點(diǎn)iu相連的上弦節(jié)點(diǎn)數(shù)，一般n=4，見圖3。下弦需要平衡的節(jié)點(diǎn)荷載為：如果上弦為平面，則有Fi=Pi。3.3中間節(jié)點(diǎn)剛度的確定開始輸入的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)要保證其x,y與雙向張弦結(jié)構(gòu)的撐桿投影位置一致。由于開始設(shè)計(jì)時(shí)撐桿位置已經(jīng)由建筑和初步設(shè)計(jì)確定，上弦、下弦的交叉點(diǎn)在水平面內(nèi)的位置已經(jīng)固定，即各個(gè)節(jié)點(diǎn)的平面坐標(biāo)(x0,i,y0,i)已經(jīng)確定，有了平面坐標(biāo)就可以根據(jù)式(10)計(jì)算中間節(jié)點(diǎn)的剛度。張弦結(jié)構(gòu)下弦索在邊界上的節(jié)點(diǎn)位置zi是由建筑造型在計(jì)算前確定的，因此索邊界固定節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)已知：3.4節(jié)點(diǎn)荷載向量根據(jù)式(10)、式(12)和式(13)可以得到有限元方程：其中：剛度矩陣[K]由各個(gè)單元通過式(10)組成；節(jié)點(diǎn)荷載向量{F}由各節(jié)點(diǎn)的綜合荷載式(12)形成，對于邊節(jié)點(diǎn)，荷載值未知而位移值可以通過邊界條件式(13)取得。根據(jù)式(14)就可以很容易的求解出找形完成后各節(jié)點(diǎn)的豎向變形{w}，也就是各節(jié)點(diǎn)的豎向坐標(biāo){z}。3.5調(diào)整索拉張拉力第一步：初步確定張拉力H,1i-j，根據(jù)屋面形狀由式(12)確定下弦要平衡的節(jié)點(diǎn)力1F，計(jì)算出各個(gè)點(diǎn)豎向坐標(biāo){1w}。第二步：根據(jù)控制點(diǎn)坐標(biāo)和設(shè)計(jì)矢高，調(diào)整索拉力，重新找形就可以達(dá)到滿足建筑要求高度的形狀和張拉力。一般建筑設(shè)計(jì)已經(jīng)確定了控制點(diǎn)的坐標(biāo)，如果建筑已經(jīng)確定了某控制點(diǎn)ku上弦坐標(biāo)為對應(yīng)的下弦節(jié)點(diǎn)kd的豎向坐標(biāo)為那么，調(diào)整索的張拉力為其中Z,1kd為第一次找形計(jì)算出的控制點(diǎn)下弦豎向坐標(biāo)。根據(jù)新的張拉力按式(12)重新計(jì)算下弦節(jié)點(diǎn)要平衡的荷載F2，按新的張拉力和節(jié)點(diǎn)平衡荷載計(jì)算出的形狀就是理想的上弦無彎矩、無豎向變形的下弦索網(wǎng)形狀{2w}。3.6最小荷載比較上述找形方法基于了給定不變的荷載，而結(jié)構(gòu)服役過程中荷載會發(fā)生變化，如何保證計(jì)算出的形狀在變化荷載下仍具有較好的效果。首先確定出每個(gè)節(jié)點(diǎn)的最小荷載和最大荷載，用最大荷載和最小荷載的平均值作為外荷載按上述方式進(jìn)行找形，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)在荷載平均值作用下?lián)隙群蜕舷覐澗鼗緸?，荷載取最小時(shí)相當(dāng)于在平均值上施加向上的荷載，荷載取最大時(shí)相當(dāng)于在平均值上施加向下的荷載，所附加的向上和向下的荷載大小是相同的。由于結(jié)構(gòu)在附加荷載下變形不大，可以忽略結(jié)構(gòu)的非線性，認(rèn)為上弦向上的彎曲程度和向下的彎曲程度是相同的，即彎矩大小相同，方向相反，變形也是大小相同方向相反，因此，保證了上弦在最小荷載和最大荷載間變化時(shí)彎矩絕對值的最小，結(jié)構(gòu)變形量最小，也就達(dá)到了結(jié)構(gòu)找形的目標(biāo)，該方法將在下面算例中驗(yàn)證。4張拉和驗(yàn)算初始應(yīng)變的影響下弦拉索初應(yīng)變確定方法：下弦拉索面積為dA,彈性模量Ed，每根索的拉力的水平分量為H，對應(yīng)的初應(yīng)變?yōu)椋河捎谙孪依魇乔€布置，每段索只在撐桿位置受豎向荷載，因此，一根索上每一段的水平分力是不變的，軸向拉力隨豎向角度不同而不同，因此，張拉和驗(yàn)算時(shí)的初始應(yīng)變應(yīng)該每段與拉力成正比而不同。這樣張拉控制和計(jì)算較為麻煩，為了簡化計(jì)算，可以將一根索按同一初應(yīng)變考慮，這樣會有足夠的精度，且計(jì)算方便，根據(jù)索長L和水平投影長度0L修正初應(yīng)變：另外，在張拉過程中，下弦有水平拉力H，同時(shí)上弦要受到軸向水平壓力H，產(chǎn)生壓縮，因此拉索的應(yīng)變還要再做修正：因此，計(jì)算和張拉控制初應(yīng)變?yōu)椋?計(jì)算雙向張弦拉索穩(wěn)定性雙向張弦梁如圖4，平面投影見圖5,48m×48m見方，上弦梁的網(wǎng)格6m×6m，上弦為200×400×14的方鋼管，撐桿φ120×6，索布置在上弦梁下，交叉點(diǎn)設(shè)撐桿，屋面荷載最小為1.25kN/m2，最大為1.75kN/m2，荷載平均為1.5kN/m2。用荷載的平均值進(jìn)行找形，荷載以節(jié)點(diǎn)力作用在交叉節(jié)點(diǎn)上，因此有iP=1.5×6×6=48.0kN。建筑要求上弦單向彎曲為拋物面，拋物面最高點(diǎn)z=2000mm，下弦最低點(diǎn)z=-3000mm，即最中間撐桿高為5000mm，下弦選用同一規(guī)格，具有相同水平拉力，確定該雙向張弦梁下弦拉索的曲面形狀，使上弦彎曲最小。先假設(shè)索拉力均為H=400kN，計(jì)算出各撐桿上弦平衡荷載：節(jié)點(diǎn)外荷載為48kN，下弦節(jié)點(diǎn)要平衡的荷載為48-16.667=31.333kN，計(jì)算得中心點(diǎn)Z=-1353.799，調(diào)整索拉力：上弦節(jié)點(diǎn)平衡的荷載為：下弦節(jié)點(diǎn)要平衡的荷載為48-11.1793=36.8207kN，重新進(jìn)行找形計(jì)算，結(jié)果見表2，中心點(diǎn)Z=-3000.041mm。x方向最外邊的索基本上是水平布置，為拱形上弦抵消水平分力。找形后用ADINA對雙向張弦結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算分析，計(jì)算結(jié)果見圖6―圖9，在上述形狀、節(jié)點(diǎn)力和預(yù)應(yīng)力下，上弦豎向最大位移為0.18mm；上弦彎矩-0.044kN·m―+0.021kN·m，幾乎為0；撐桿壓力36.816kN―36.828kN，與荷載36.821kN相比最大相差0.02%；索拉力水平分量268.208kN與理論的268.304kN相差0.04%，找形達(dá)到了很理想的效果。在服役過程中荷載減小(如風(fēng)吸)0.25kN/m2后為1.25kN/m2時(shí)，計(jì)算得上弦最大彎矩為10.64kN·m，見圖10，跨中反拱30.9mm；荷載增大0.25kN/m2后為1.75kN/m2時(shí)，計(jì)算得上弦最大彎矩為-10.67kN·m，見圖11，跨中撓度31.2mm；可見用最大荷載和最小荷載之間的均值來進(jìn)行找形，使雙向張弦梁在平均荷載作用下達(dá)到形狀最佳，當(dāng)荷載減小和增大相同的數(shù)量時(shí)，上弦向上彎曲和向下彎曲的彎矩大小和變形大小幾乎是相同的，保證了上弦彎矩絕對值的最小值，達(dá)到了使用中荷載發(fā)生變化時(shí)形狀的最佳。斜拉索受力分析上弦雙曲為雙向拋物面見圖12，周邊在一平面上，平面投影見圖5，拋物面最高點(diǎn)下弦最低點(diǎn)先假設(shè)索拉力均為H=400kN，計(jì)算出各撐桿上弦平衡荷載和下弦平衡荷載，其中下弦平衡荷載見表3。按H=400kN和下弦平衡荷載找形計(jì)算出中間最低點(diǎn)坐標(biāo)為：Z,1kd=-1353.691，根據(jù)公式調(diào)整索拉力為重新計(jì)算上弦和下弦的平衡荷載，其中下弦平衡荷載見表4，重新進(jìn)行找形計(jì)算得各點(diǎn)坐標(biāo)見表5，跨中節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為-2000.142mm，與理論值-2000mm相差僅0.14mm，不足0.01%。按算例1的構(gòu)件截面對找形后雙向張弦梁進(jìn)行計(jì)算受力分析，結(jié)果見圖13―圖16，上弦變形及彎曲很小，撐桿內(nèi)力基本與下弦要平衡的荷載相同，索拉力與設(shè)計(jì)拉力也基本一致。在服役過程中荷載減小(如風(fēng)吸)0.25kN/m2后為1.25kN/m2時(shí)，計(jì)算得上弦最大彎矩為12.72kN·m，見圖17，跨中反拱48.2mm；服役過程中荷載增大0.25kN/m2后為1.75kN/m2時(shí)，計(jì)算得上弦最大彎矩為-12.71kN·m，見圖18，跨中撓度48.5mm。當(dāng)荷載減小和增大相同的數(shù)量時(shí)，上弦向上彎曲和向下彎曲的彎矩大小和變形大小幾乎是相同的，保證了上弦彎矩絕對值的最小值，達(dá)到了使用中荷載發(fā)生變化時(shí)形狀的最佳。6有限元計(jì)算程序(1)本文給出了雙向張弦結(jié)構(gòu)下弦拉索平衡荷載與曲面形狀之間的關(guān)系，即滿足的微分方程。(2)對常見拋物面形狀，分析計(jì)算了存在的缺陷：索拉力相同時(shí)平衡荷載大小分布相差較大，平衡荷載相同時(shí)索拉力相差較大，且受力越小的部位索拉力越大，與結(jié)構(gòu)受力矛盾。(3)基于下弦節(jié)點(diǎn)的平衡荷載與索的平衡關(guān)系推導(dǎo)了索拉力的水平分量不變時(shí)的單元剛度和節(jié)點(diǎn)不平衡力，給出了有限元列式并編制了有限元計(jì)算程序。(4)在結(jié)構(gòu)服役過程中荷載發(fā)生變化，