四川省成都市四七九名校2023屆高三全真模擬考試（一）文科數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁(yè)四川省成都市四七九名校2023屆高三全真模擬考試（一）文科數(shù)學(xué)試題（含解析）2023屆全國(guó)高考全真模擬

文科數(shù)學(xué)

本試卷分選擇題和非選擇題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．

注意事項(xiàng)：

1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上．

2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．

3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫在答題卡規(guī)定的位置上．

4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．

5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）

A．B．C．D．

2．已知全集，集合，，則（）

A．B．C．D．

3．某市質(zhì)量檢測(cè)部門從本轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個(gè)地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機(jī)抽取8家企業(yè)，根據(jù)食品安全管理考核指標(biāo)對(duì)抽到的企業(yè)進(jìn)行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如下的莖葉圖，且甲、乙兩個(gè)地區(qū)考核得分的極差相等，則乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為（）

A．84B．85C．86D．87

4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）

A．B．C．D．

5．在中，，，則（）

A．B．C．D．

6．已知定義在R上的奇函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）

A．3B．―3C．1D．―1

7．某程度研發(fā)員開(kāi)發(fā)的小程序在發(fā)布時(shí)已有1000名初始用戶，經(jīng)過(guò)t天后，用戶人數(shù)，其中k和m均為常數(shù)，已知小程序發(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有4000名用戶，則用戶超過(guò)2萬(wàn)名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（）

A．20B．21C．22D．23

8．已知a，b是空間中兩條互相垂直的異面直線，給出以下四個(gè)命題：①存在平面，使得且；②存在平面和，使得，且；③存在平面，使得且；④存在平面和，使得，且．則所有正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A．4B．3C．2D．1

9．已知五個(gè)矩形的長(zhǎng)，，，，成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬分別為，，，，，且每個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬之比都相等．若，則（）

A．384B．336C．288D．224

10．已知點(diǎn)是拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，點(diǎn)，且，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（）

A．6B．8C．10D．12

11．已知函數(shù)在和上均為增函數(shù)，且，則的最小值是（）

A．2B．1C．―1D．―2

12．在三棱錐中，平面VAC，，，，點(diǎn)F為棱AV上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作三棱錐的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得最大值時(shí)，（）

A．B．C．D．

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13．已知圓C：與圓：相內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____．

14．已知體積為的球O與正方體的每一個(gè)面都相切，則該正方體的表面積為_(kāi)_____．

15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______．

16．已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)是______．

三、解答題（本大題共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．

（一）必考題：60分．

17．（12分）

某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）整理后得到如下表格：

課余學(xué)習(xí)時(shí)間

人數(shù)510254020

（1）估計(jì)這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)；

（2）根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在和，這兩組中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率．

18．（12分）

如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．

（1）求證：B，D，E，四點(diǎn)共面；

（2）求四棱錐的體積．

19．（12分）

記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．

（1）求證：，，是等差數(shù)列；

（2）求的最大值．

20．（12分）

已知橢圓：（）與橢圓：（）的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．

（1）求實(shí)數(shù)a和b的值；

（2）若梯形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓上，，，直線BC與直線AD相交于點(diǎn)P．且點(diǎn)P在橢圓上，證明直線CD恒過(guò)定點(diǎn)．

21．（12分）

已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a的值（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；

（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（二）選考題：10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的標(biāo)號(hào)涂黑．

22．［選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線l與曲線相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線l與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值．

23．［選修4―5：不等式選講］（10分）

已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（2），恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

文科數(shù)學(xué)·全真模擬

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)及解析

1．A解析：因?yàn)?，所以?/p>

2．C解析：因?yàn)槿?，集合，，所以，則．

3．B因?yàn)榧?、乙兩個(gè)地區(qū)考核得分的極差相等，所以，則乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為．

4．B解析：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，，所以根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，．又，則，所以的面積為．

5．D解析：．

6．C解析：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以．又因?yàn)榈闹芷跒?，所以．

7．C解析：由題意知，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樾〕绦虬l(fā)布經(jīng)過(guò)10天后有4000名用戶，所以，令，所以，故用戶超過(guò)2萬(wàn)名至少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為22．

8．A解析：借助于長(zhǎng)方體模型，構(gòu)造直線和平面，容易得出四個(gè)命題都是真命題．

9．B解析：由題意知，和是兩個(gè)等差數(shù)列，且是常值，因?yàn)椋?，所以，，則，，，故．

10．B．解析：因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線C：的焦點(diǎn)，所以，．又因?yàn)椋?，設(shè)，則，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為8．

11．D解析：因?yàn)?，又因?yàn)樵诤蜕暇鶠樵龊瘮?shù)，所以在和上恒成立，則，且，即令，，即作出可行域如圖所示（陰影部分）．

令，平移直線，當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最小值―2，即的最小值是―2．

12．B解析：根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作，交VC于點(diǎn)E；在平面VBC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作，交BC于點(diǎn)Q；在平面VAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作，交AB于點(diǎn)D，連接DQ，如圖所示．

因?yàn)?，則，設(shè)其相似比為k，即．又因?yàn)椋?，，由余弦定理得，，則，即．又平面VAC，所以，．又，則，．因?yàn)?，則，則，因?yàn)?，所以，即．又平面VAC，則，又，所以．因?yàn)榻孛嫫叫杏谥本€VB和AC，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理可得，四邊形EFDQ為截面圖形，且是一個(gè)矩形，，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，則，在中，．

13．0或2解析：由題意知，兩圓的圓心距等于兩圓半徑的差的絕對(duì)值，即或．

14．216解析：因?yàn)?，所以正方體的棱長(zhǎng)為6，則該正方體的表面積為．

15．解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，先顯然，因?yàn)?，，所以，即，解得所以?/p>

16．和和解析：因?yàn)?，令或或（舍去），又因?yàn)?，所以或或，故函?shù)的零點(diǎn)是和和．

17．解：（1）這100名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)為．

（2）由題意知，為課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取4人，分別記為，，，，從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取2人，分別記為，．

又因?yàn)閺倪@6人中隨機(jī)抽取2人，

所有的基本事件為，共15個(gè)基本事件，

其中“抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在”包含的基本事件為

，共6個(gè)基本事件，

所以抽到的2人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率為．

18．（1）證明：在三棱柱中，，，

因?yàn)椋?，即，，所以?/p>

則四邊形為平行四邊形，則．

又因?yàn)?，所以，故B，D，E，四點(diǎn)共面．

（2）解：連接，取AC的中點(diǎn)O，連接，BO，如圖所示．

在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，，，

所以為等邊三角形．

又O為AC的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，平面，所以平面ABC．

又，O為AC的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?，，所以，，?/p>

又因?yàn)?，?/p>

所以四棱錐的體積為．

19．（1）證明：因?yàn)?，所以?/p>

由正弦定理，得，

又由余弦定理，得，

則，即，所以，，是等差數(shù)列．

（2）解：由（1）得，

又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），

因?yàn)?，所以?/p>

則的最大值為．

20．（1）解：由題意知，，，

所以，．

（2）證明：設(shè)，，，則，

因?yàn)?，，所以A，B分別為PD，PC的中點(diǎn)，

則，，則

作差可得，．

因?yàn)?，所以，同理可得，?/p>

所以C，D都在直線上，即直線CD的方程為．

故直線CD恒過(guò)定點(diǎn)．

21．解：（1）因?yàn)椋?/p>

又，即，

令，則，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以有且僅有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根，

又，則，即，

令，則，

由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，，所以，

令，則．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

22．解：（1）曲線的普通方程為．

因?yàn)?，所以?/p>

則曲線的直角坐標(biāo)方程為．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)P在直線l上，

且點(diǎn)P為曲線：的圓心，所以．

因?yàn)橹本€l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（t為參數(shù)），

將