掌握數(shù)學(xué)美的規(guī)律課件

數(shù)學(xué)美學(xué)欣賞建德電大

徐軍數(shù)學(xué)美學(xué)欣賞數(shù)學(xué)美學(xué)教育研究一、數(shù)學(xué)與美學(xué)二、數(shù)學(xué)美的簡潔性三、數(shù)學(xué)美的和諧性四、數(shù)學(xué)美的奇異性五、美的扭曲六、數(shù)學(xué)美學(xué)教育研究的意義數(shù)學(xué)美學(xué)教育研究一、數(shù)學(xué)與美學(xué)二、數(shù)學(xué)美的簡潔性三、數(shù)學(xué)美的“美學(xué)”其英文為Aesthetic，希臘文原義是“感性、感受”。這種解釋特別適合數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)中的美是靠體會出來的，是一種感受，是在實(shí)踐的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。不懂?dāng)?shù)學(xué)的人他會說數(shù)學(xué)美嗎？肯定不會，他看到的都是些雜亂無章的符號，繁瑣冗長的計(jì)算和復(fù)雜圖形的描繪。美是使人心情愉悅的，而美又是難以捉摸，微妙即逝的；美是世界上最有力量的東西，數(shù)學(xué)美便是如此。大數(shù)學(xué)家克萊因曾說過“音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科技可以改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)卻能提供以上一切?！睌?shù)學(xué)的美不知使多少有識之士孜孜不倦，苦心孤詣地為她獻(xiàn)身?！懊缹W(xué)”其英文為Aesthetic，希臘文原義是“感性、感受當(dāng)代美學(xué)家們認(rèn)為,美應(yīng)包含下列各項(xiàng):美審美對象審美性質(zhì)審美本質(zhì)自然美社會美科學(xué)美藝術(shù)美當(dāng)代美學(xué)家們認(rèn)為,美應(yīng)包含下列各項(xiàng):美審美對象審美性質(zhì)審美本數(shù)學(xué)，其英文是mathematics，這是一個復(fù)數(shù)名詞，“數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學(xué)科更高的地位?！弊怨乓詠?，多數(shù)人把數(shù)學(xué)看成是一種知識體系，是經(jīng)過嚴(yán)密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識總和，它既反映了人們對“現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”的認(rèn)識，又反映了人們對“可能的量的關(guān)系和形式”的認(rèn)識。數(shù)學(xué)既可以來自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象，也可以來自人類思維的能動創(chuàng)造。從學(xué)科分類來看，數(shù)學(xué)是理論自然科學(xué)中的重要分支——素有“科學(xué)之王”之美譽(yù)；從數(shù)學(xué)的起源來看，她是對客觀事物的一種量的抽象——從客觀存在的有限性演變?yōu)檎J(rèn)識領(lǐng)域的無限性；從人文環(huán)境來看，數(shù)學(xué)有著無與倫比的美學(xué)情趣——古希臘有一句名言：“哪里有數(shù)，哪里就有美”。

數(shù)學(xué)，其英文是mathematics，這是一個復(fù)數(shù)名詞，“數(shù)面對以上種種美譽(yù)，那數(shù)學(xué)為何如此美麗？又該怎樣從美學(xué)的角度，來觀察、分析、理解、并感受數(shù)學(xué)的魅力？”

事實(shí)上，數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的————從數(shù)學(xué)的外在形象上觀賞：她有體系之美、概念之美、公式之美；從數(shù)學(xué)的思維方式上分析：她有簡約之美、無限之美、抽象之美、類比之美；從美學(xué)原理上探討：她有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。

此外，數(shù)學(xué)還有著完美的符號語言、特有的抽象藝術(shù)、嚴(yán)密的邏輯體系、永恒的創(chuàng)新動力等特點(diǎn)。面對以上種種美譽(yù)，那數(shù)學(xué)為何如此美麗？又該怎樣從美學(xué)的角度，數(shù)學(xué)美的特征是什么?概括起來講有簡潔性、和諧性和奇異性.具體地有:數(shù)學(xué)美簡潔性奇異性和諧性符號美抽象美統(tǒng)一美和諧美對稱美形式美奇異美有限美神秘美(朦朧美)常數(shù)美扭曲的美數(shù)學(xué)美的特征是什么?概括起來講有簡潔性、和諧性和奇異性.具體有位學(xué)者曾說過“若要把感性的人變成理性的人，唯一的路徑是使他成為審美的人”。青少年階段，世界觀、人生觀初步形成，自我約束和控制意識不強(qiáng)，存在許多不穩(wěn)定的因素，尤其需要用美的規(guī)律來改造他們的主觀世界。數(shù)學(xué)美的概念提出以后，國內(nèi)的相關(guān)文章層出不窮，但多數(shù)文章只停留在對數(shù)學(xué)美的描述上，卻忽視了對美學(xué)對象的教育，導(dǎo)致現(xiàn)在有許多中學(xué)生還不知道什么是“數(shù)學(xué)美”，因此在課堂上展現(xiàn)數(shù)學(xué)美是何等重要。在教學(xué)中教師應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)中的美的內(nèi)容、形式，運(yùn)用美的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)美的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。有位學(xué)者曾說過“若要把感性的人變成理性的人，唯一的路徑是使他數(shù)學(xué)美的簡潔性華羅庚教授說過：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之迷、日用之繁、……無不可用數(shù)學(xué)表述。著名科學(xué)家伽利略也碩果：“數(shù)學(xué)是上帝用來數(shù)學(xué)宇宙的文字”。數(shù)學(xué)之所以用途之廣，系由其自身的特點(diǎn)決定。簡潔本身就是一種美，而數(shù)學(xué)的首要特點(diǎn)在于它的簡潔數(shù)學(xué)家L.J.。莫德爾說：在數(shù)學(xué)里美的各個屬性中，首先要推崇的大概是簡單性了。數(shù)學(xué)美的簡潔性華羅庚教授說過：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、數(shù)學(xué)的簡潔性在人們生活中屢見不鮮：錢幣只須有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元……就是以可簡單的制服任何數(shù)目的款項(xiàng)；簡單的這樣一個圖形：以代表世上一切方形的物體，它給人們簡潔、大方，但它并不僅是為了簡潔而簡潔，還極大地給人以方便，給人以聯(lián)想；又正如沒有人愿把一億寫成l00000000，而要寫成l08，把千萬分之一寫成1/100000000，而是樂于寫成10-7更沒有多少人身上帶著幾萬元甚至幾百萬的鈔票在大街上走來走去，而是帶著一張銀行卡，只需記著由0，1，2，……9中幾個數(shù)字組成密碼就可敲定，就這么幾個數(shù)字，就這么簡單。化繁為簡，化難為簡，力求簡潔、直觀。數(shù)學(xué)不僅僅是在運(yùn)算上，論證也更是如此。數(shù)學(xué)的公式與公理就是簡潔美的最佳證據(jù)之一。數(shù)學(xué)的簡潔性在人們生活中屢見不鮮：錢幣只須有一分、二分、五分?jǐn)?shù)學(xué)的簡潔性系指其抽象性、概括性和同意性，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)具有抽象性和同意性，因而其形式應(yīng)當(dāng)是簡單的。實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡單性（抽象、統(tǒng)一）的重要手段是使用了數(shù)學(xué)符號。1。符號美符號就是某種事物的代號，人們總是探索喲內(nèi)個簡單的記號去表現(xiàn)復(fù)雜的事物，符號也正是這樣產(chǎn)生的。符號對與數(shù)學(xué)的發(fā)展來將更是極為重要的，它可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象與約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，這在事實(shí)上增加了人們的思維能力。數(shù)是科學(xué)的語言，符號則是記錄、表達(dá)這些語言的文字。正如沒有文字，語言也難以發(fā)展一樣。幾乎每一個數(shù)學(xué)分支都是靠一中符號語言而生存，數(shù)學(xué)符號是貫穿于數(shù)學(xué)全部的支柱。數(shù)學(xué)的簡潔性系指其抽象性、概括性和同意性，正是因?yàn)閿?shù)學(xué)具有抽數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生（發(fā)明）、使用和流傳（傳播）卻經(jīng)歷了一個十分漫長的過程。這個過程的始終貫穿著自然、和諧與美。如古代的埃及、巴比倫、阿拉伯和我國的各種記數(shù)方法的演變。著名的“六人相識問題”（它是拉姆賽定理的特例）：任何6個人中必可從中找出3個人，使得他們要么彼此都相識，要么彼此都不相識。把“人”用“點(diǎn)”表示，人與人的“關(guān)系”用“紅、藍(lán)兩色線”表示：紅線表示他們彼此相識，藍(lán)線表示他們彼此不相識。這樣六個人A、B、C、D、E、F中的某個人比如A，他與其他5位的關(guān)系由于只用兩種顏色表示，其中必有一種顏色的線不少于3條，無妨設(shè)AB、AC、AD三條，且他們?yōu)榧t色（圖中用實(shí)線表示）。把這個抽象的問題演化成“點(diǎn)”與“染色直線”，從而巧妙地解答它，這不能說是“符號”的一大功勞。ABCDEF數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生（發(fā)明）、使用和流傳（傳播）卻經(jīng)歷了一個十分漫接下去考慮B、C、D三點(diǎn)間的連線，若它們?nèi)珵樘m色（圖中用虛線表示），那好，B，C，D三點(diǎn)為所求（它們代表的三個人彼此都不相識）；若三點(diǎn)間連線至少有一條為紅色，設(shè)它為BC，這時(shí)A，B，C三點(diǎn)為所求（它們代表的三個人彼此都相識）。其實(shí)我們還可以有進(jìn)一步的結(jié)論：上述（彼此都相識或都不相識的）“三人組”六個人中至少存在兩組。上面的事實(shí)，再次證明了數(shù)學(xué)符號的威力，沒有它至少問題的敘述會變得復(fù)雜而困難。ABCDABCD接下去考慮B、C、D三點(diǎn)間的連線，若它們?nèi)珵樘m色（圖中用虛線又關(guān)于“∏”

，《九章算術(shù)》如斯說：“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”；面對“√2”這一差點(diǎn)被無理的行為淹沒的無理數(shù)，我們一直難以忘懷那位因發(fā)現(xiàn)“邊長為1的正方形，其對角線長不能表示成整數(shù)之比”這一“數(shù)學(xué)悖論”而被拋進(jìn)大海的希帕索斯（公元前五世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員）。還有sin?、∞等等，一個又一個數(shù)的語言，無不將數(shù)的完美與精致表現(xiàn)得淋漓盡致。又比如：函數(shù)y=f(x)這一簡單的表達(dá)式把兩個變量X和Y的關(guān)系通過對應(yīng)規(guī)則F并且用等號連接在一起，深刻地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的符號美和簡單美。又關(guān)于“∏”，《九章算術(shù)》如斯說：“割之彌細(xì)，所失彌小，2。抽象美數(shù)學(xué)的簡潔性在很大的程度上源自數(shù)學(xué)的抽象性，換句話說：數(shù)學(xué)概念正是從眾多事物共同屬性中抽象出來的。而對日益擴(kuò)展的數(shù)學(xué)知識總體進(jìn)行簡化、廓清和統(tǒng)一化時(shí)，抽象更是必不可少的?！俺橄蟆毕抵覆荒芫唧w體驗(yàn)到的，這兒我們所談的抽象有兩種含義：（1）我們不容易想象（或意想不到）的；（2）我們無法體驗(yàn)到（或與現(xiàn)實(shí)較脫節(jié)）的。對于前者，這也是用數(shù)學(xué)去“證明”某些難以理解的事實(shí)的最好工具；對于后者，說明數(shù)學(xué)本身具有的特征與魅力。2。抽象美數(shù)學(xué)的簡潔性在很大的程度上源自數(shù)學(xué)的對于前者，我們看下例：下圖中有一個大的半圓，在其直徑上又并列著三個小半圓，請問大的半圓周長與三個小半圓周長之和誰大？d1d2d3d乍看上去，似難判斷，具體一推算便十分清楚了：設(shè)大圓直徑為d，三個小半圓直徑分別為d1,d2，d3。因d1+d2+d3=d,有∏（d1+d2+d3）=∏d，即∏d1+∏d2+∏d3=∏d此即說大半圓周長為三個小半圓周長之和。對于前者，我們看下例：下圖中有一個大的半圓，在其直徑上又并列又比如提到原子，人們都會覺得它小，從數(shù)據(jù)上講它的直徑約為10-10m

，這看上去很抽象，它到底有多??？如果作個比方：“一個原子與一滴水之比”，就如“一滴水與整個地球之比”一樣，你就會覺得形象了。如此的問題很多，如多米諾骨牌問題，蒼蠅的繁殖問題，象棋棋盤擺麥子問題等等都反映了數(shù)學(xué)中的抽象美。數(shù)學(xué)的抽象還在于：它不僅能描述現(xiàn)實(shí)生活中的某些必然事物，同時(shí)它還能描述某些偶然時(shí)間；它不僅能描寫某些精確現(xiàn)象，同時(shí)還能描述大量的模糊現(xiàn)象。又比如“N”表示自然數(shù)，它不是N個崗位，N只雞或N張照片……也不是哪一個具體的數(shù)，分不清是0？是1？或者說100？……“知道”中蘊(yùn)含著“不知道”，“具體”中充滿了“不具體”，它就是這樣一個抽象的數(shù)！

又比如提到原子，人們都會覺得它小，從數(shù)據(jù)上講它的直徑約為103。統(tǒng)一美“統(tǒng)一性”，表現(xiàn)為各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的調(diào)和一致，各種數(shù)學(xué)方法的融會貫通，各種數(shù)學(xué)分支之間的互相滲透和促進(jìn)，等等。萬能置換公式：

(u=)，臺勞公式這些公式使得各種形式達(dá)到了高度的統(tǒng)一簡化。

世界的統(tǒng)一性在于它的物質(zhì)性，宇宙的統(tǒng)一性表現(xiàn)為宇宙的統(tǒng)一美，因而能揭示宇宙統(tǒng)一的理論，即被稱為是美的科學(xué)理論。萬能計(jì)算公式V=（S+3。統(tǒng)一美“統(tǒng)一性”，表現(xiàn)為各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一為有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)一在實(shí)數(shù)內(nèi)，而復(fù)數(shù)又包含著實(shí)數(shù)與虛數(shù)。在這些數(shù)系之中，1是最簡單的數(shù)，但同時(shí)可以說一切又起源于1。由1演變?yōu)樗凶匀粩?shù)2，3，4…，后來又有它的相反數(shù)—1，—2，—3…，之后又加進(jìn)0，再就是兩個整數(shù)所表示的分?jǐn)?shù)，這樣就構(gòu)成有理數(shù)系，而南北朝時(shí)期，祖沖之就已經(jīng)在計(jì)算π的值，無理數(shù)也早就出現(xiàn)了。i在幾百年前就有，i可表示成0+1。i，而它正好有實(shí)數(shù)中具有代表性的數(shù)1和0來表示的。實(shí)數(shù)、虛數(shù)中的1，0，i都有其獨(dú)特的地位，超越無理數(shù)中，π和e又是相當(dāng)獨(dú)特的，這5個數(shù)1，0，i，π，e都融合在一個奇妙式子中，e…+1二0，這就是—種統(tǒng)一美。

從上面可以看到，統(tǒng)一不僅是數(shù)學(xué)美的重要特征，同時(shí)它也是數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種反映。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一為有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)一在實(shí)數(shù)內(nèi)，而復(fù)數(shù)又?jǐn)?shù)學(xué)美的和諧性在數(shù)學(xué)中，畢達(dá)哥拉斯首先提出“美是和諧與比例”，“世界是嚴(yán)整的宇宙”，“整個天體就是和諧與數(shù)”。美與和諧是他們最求數(shù)學(xué)美（如果他們意識到了的話）的準(zhǔn)則，也是他們建立數(shù)學(xué)理論的依據(jù)。“對稱”最初源于幾何，但對稱也是一種和諧美。畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖所認(rèn)為的宇宙結(jié)構(gòu)最簡單的基元——正多面體是對稱的；他們喜歡的圖案五角星也是對稱的；圓也是一種對稱圖形（詩人坦丁曾感嘆到：圓是最美的圖形）；……形式美也是為數(shù)學(xué)家們所關(guān)注的，無論是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對與多角數(shù)的研究；還是數(shù)千年一直為人們所稱奇的“幻方”的制作，……都是人們對數(shù)學(xué)形式美的追求。數(shù)學(xué)美的和諧性在數(shù)學(xué)中，畢達(dá)哥拉斯首先提出“美是和諧與比例”1，和諧美美是和諧的。和諧性也是數(shù)學(xué)美的特征之一。和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)或形式結(jié)構(gòu)的無矛盾性。所謂“數(shù)學(xué)的和諧”不僅是宇宙的特點(diǎn)，原子的特點(diǎn)，也是生命的特點(diǎn)，人的特點(diǎn)（高爾泰語）。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)自然流露出它的和諧，為了追求嚴(yán)謹(jǐn)、追求和諧，數(shù)學(xué)家們一直在努力，以消除其中的不和諧東西——比如悖論，它是指一個自相矛盾、對廣泛認(rèn)同的見解的一個反例、一種誤解，或看似正確的錯誤命題及看似錯誤的正確命題。1，和諧美美是和諧的。和諧性也是數(shù)學(xué)美的特征之一。和諧即雅致和諧美看一看1、2、3、4、5、6、7這幾個數(shù)字，代表不同的音階，就能譜出優(yōu)美動人和諧的曲調(diào)，讓世人在音樂中陶醉。

再看看越來越復(fù)雜的數(shù)系吧，它們同樣是和諧的。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一為有理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)一在實(shí)數(shù)內(nèi)，而復(fù)數(shù)又包含著實(shí)數(shù)與虛數(shù)。在這些數(shù)系之中，1是最簡單的數(shù)，但同時(shí)可以說一切又起源于1。由1演變?yōu)樗凶匀粩?shù)2，3，4…，后來又有它的相反數(shù)—1，—2，—3…，之后又加進(jìn)0，再就是兩個整數(shù)所表示的分?jǐn)?shù)，這樣就構(gòu)成有理數(shù)系，而南北朝時(shí)期，祖沖之就已經(jīng)在計(jì)算π的值，無理數(shù)也早就出現(xiàn)了。i在幾百年前就有，i可表示成0+1。i，而它正好有實(shí)數(shù)中具有代表性的數(shù)1和0來表示的。實(shí)數(shù)、虛數(shù)中的1，0，i都有其獨(dú)特的地位，超越無理數(shù)中，π和e又是相當(dāng)獨(dú)特的，這5個數(shù)1，0，i，π，e都融合在一個奇妙式子中，e…+1二0，和諧美看一看1、2、3、4、5、6、7這幾個數(shù)字，代表不同的幾何中的和諧美也到處體現(xiàn)，它們也使人賞心悅目。簡單的點(diǎn)、線段、三角形、矩形、正方形，就能構(gòu)造出美麗的圖案，平面的，立體的，讓人美不勝收。再看一看黃金分割律這個奇妙的規(guī)律吧。符合這個分割律的物體和幾何圖形，無不使人們感到和諧與美。我們的人體本身就是黃金分割律的一個杰出的樣本，T型臺上邁著款款細(xì)步的女模，她們姣好的面容，魔鬼般的身材，無一不是黃金分割律的體現(xiàn)，樣本中之典型?，F(xiàn)實(shí)生活中讓人嘆為觀止的一些偉大、精彩的建筑杰作，正是由于它們高、寬、柱間距離比例符合著黃金分割律，而讓人欣賞、品味，影響甚深。

幾何中的和諧美也到處體現(xiàn)，它們也使人賞心悅目。簡單的點(diǎn)、線段2，對稱美對稱美畢達(dá)哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形小最美的是圓形”。而圓和球形正是幾何中對稱美的杰出體現(xiàn)，圓是關(guān)于圓心對稱的，也是關(guān)于圓心的任一條直線對稱的。球形既是點(diǎn)對稱，又是線對稱，還是面對稱的。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對稱、線對稱、面對稱，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

對稱通常指圖形或物體對某個點(diǎn)、直線或平面而言，在大小形狀和排列上具有一一對應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)中，對稱的概念略有拓廣，這樣對稱美便成了數(shù)學(xué)美中的一個重要組成部分，同時(shí)也為人們研究數(shù)學(xué)提供了某些啟示。2，對稱美對稱美畢達(dá)哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是是不是只有幾何中才有對稱美呢?sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ就已經(jīng)體現(xiàn)出

對稱美。下列是對稱的楊輝三角。美嗎?當(dāng)然！

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新奇美平淡中見新奇、新奇中才有藝術(shù)。未曾料到才能引人人勝，峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明，也這正是數(shù)學(xué)的魅力、數(shù)學(xué)的美。無論代數(shù)中的某些“對稱”（如代數(shù)多項(xiàng)式中變動一些文字的排列），還是幾何中的“對稱”，人們總可以從中抽取某些本質(zhì)的共同的屬性，加以抽象，從而產(chǎn)生新的概念，比如“群”的概念產(chǎn)生正是如此。是不是只有幾何中才有對稱美呢?sin(α+β)=sinα·c3，形式美藝術(shù)家們追求的美中，形式是特別重要。比如藝術(shù)家注意到：泰山的雄偉、華山的險(xiǎn)峻、黃山的奇特、娥眉的修理、青海的幽深、滇池的開闊，藝術(shù)家們渲染他們的美時(shí)，常常運(yùn)用不同的形式。數(shù)學(xué)家們也十分注重?cái)?shù)學(xué)的形式美，盡管有時(shí)他們含義更加深邃，比如整齊簡練的數(shù)學(xué)方程可以看成一種形式美，這是與自然規(guī)律的外在表述有關(guān)的一種形式美。尋求一種最適合表現(xiàn)自然規(guī)律的方法是對科學(xué)理論形式美的追求。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人們非常注意數(shù)的形象美，他們把數(shù)按照可用石子擺成的形象分類，比如“三角數(shù)”：13610……n(n+1)/23，形式美藝術(shù)家們追求的美中，形式是特別重要。比如藝術(shù)家注意四角數(shù)（又稱正方形數(shù)）：14916……n2此外，他們還定義了“五角數(shù)”、“六角數(shù)”、……（它們統(tǒng)稱多角數(shù)）。畢氏學(xué)派及其崇拜者還研究了多角數(shù)的美妙性質(zhì)，比如他們發(fā)現(xiàn)：每個四角數(shù)是兩個相繼三角數(shù)之和：第n-1個三角數(shù)與第n個k角數(shù)之和為第n個k+1角數(shù)；爾后的數(shù)學(xué)家們，也一直注意著這種數(shù)學(xué)形式美，且從中有所發(fā)現(xiàn)。四角數(shù)（又稱正方形數(shù)）：14數(shù)學(xué)美的奇異性奇異性數(shù)學(xué)美的一個重要特性。奇異性包括兩個方面內(nèi)容：一是奇妙，二是變異。變異是指數(shù)學(xué)理論拓廣或統(tǒng)一性遭到破壞后，產(chǎn)生新方法、新思想、新概念、新理論的起點(diǎn)。變異有悖于人們的想象與期望，因此就更引起人們的關(guān)注與好奇。數(shù)學(xué)中許多新的分支的誕生，都是人們對于數(shù)學(xué)起義性探討的結(jié)果。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，往往正是數(shù)學(xué)自身的奇異性的魅力，吸引著數(shù)學(xué)家向更新、更深的層次探索，弄它個水落石出！弗朗西斯.哈奇遜指出：“凡是新的不平常的東西都能在想象中引起一種樂趣，因?yàn)檫@種東西令人的心靈感到一種過去從未有過的新的觀念┄”?！捌娈悺钡奶攸c(diǎn)是“新”，這種“新”當(dāng)然是美的，正如英國美學(xué)家哈奇遜所說“美在于獨(dú)特而令人驚訝?！睂ひ捚娈悓W(xué)生的獨(dú)創(chuàng)能力的培養(yǎng)有著巨大的作用，中國缺乏的就是“創(chuàng)新能力”，“四書五經(jīng)”，“之乎者也”已完全與新社會格格不入了。

數(shù)學(xué)美的奇異性奇異性數(shù)學(xué)美的一個重要特性。奇異性包括兩個方面下面舉一例。

例：已知x,y,z都為正數(shù)，且滿足求的值分析：按正常的思路先把x,y,z的值先求出再計(jì)算是相當(dāng)困難的，可以把原方程視為

下面舉一例。例：已知x,y,z都為正數(shù)，且滿足求的值（1）式可看作x,為兩邊且夾角為150，第三邊為5的一個三角形。顯然∠ABD＝90的直角三角形從而又＋

，z為直角邊，斜邊為3的一個直角三角形。（2）式可看作以第三邊為4的一個三角形。由于3＋4＝5（3）式可看作以x，z為兩邊且夾角為120又根據(jù)上述3個三角形的邊角關(guān)系及其相關(guān)性。構(gòu)造三角形如圖（1）式可看作x,為兩邊且夾角為150，第三邊為5的一個三評價(jià)：此種解法的奇異特征在于依題設(shè)條件構(gòu)造出一個三角形從而把代數(shù)問題通過“奇異”的橋梁轉(zhuǎn)化為幾何問題，直觀易懂，達(dá)到簡化的效果。它讓學(xué)生得到創(chuàng)新的喜悅，同時(shí)也使思維經(jīng)濟(jì)化，把問題進(jìn)行抽象、轉(zhuǎn)換。人的潛能借助于抽象能得到最大限度的發(fā)揮。數(shù)學(xué)的模糊美在于它的即此即彼，因此便有廣闊的空間去想象。朦朧插上自由幻想的翅膀，便可飛翔在最優(yōu)的可能上，捕捉到美的方法，創(chuàng)造美的境界。羅素、康托憑著這份朦朧走出了世俗的框架，帶來了數(shù)學(xué)的再一次繁榮。在教學(xué)中教師應(yīng)用模糊美來激勵、鍛煉學(xué)生。其中“悖論”是模糊美的很大一個方面，“流水不腐，戶樞不蠹”，腦子是經(jīng)常要用的。悖論是一種迷人逗趣的邏輯游戲，是威嚴(yán)的數(shù)學(xué)中的點(diǎn)綴小花，它不僅為廣大數(shù)學(xué)家所重用，而且也常使許多文學(xué)家為之鋪紙潑墨。它對增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣是很有幫助的，教師在教授任務(wù)之余，給學(xué)生出點(diǎn)有關(guān)悖論的題目，動動學(xué)生的大腦，這對學(xué)生思維能力的提高是很有裨益的。

評價(jià)：此種解法的奇異特征在于依題設(shè)條件構(gòu)造出一個三角形從而把美的扭曲雕塑、繪畫是創(chuàng)造具體的或顯示的藝術(shù)形象以反映現(xiàn)實(shí)事物的藝術(shù)，而雕塑出的對象是真正占有空間位置的試題，這是任何別的藝術(shù)所不能及的?！皵啾叟瘛本S納斯的雕像，是古希臘藝術(shù)家的杰作，自從1820年從希臘彌羅島一座倒塌的神廟里發(fā)掘出來時(shí)，已經(jīng)殘缺，而且任何將雕像復(fù)原的方案（皆憑想象與推測），都未能被人們所接受時(shí)，而這殘缺的藝術(shù)佳作、希世珍品，不僅以其優(yōu)雅造型顯示女性的豐腴典雅、專注寧靜的美，也同時(shí)給人留下另一種美感——缺憾的美，這其實(shí)是美的一種扭曲?？档玛P(guān)于美的命題是：美并不等于完善！數(shù)學(xué)的美自然也不會完善，除了缺憾之外，還有一種扭曲的美——這往往是有悖于通常審美觀點(diǎn)的反態(tài)，比如在數(shù)學(xué)中規(guī)則的并不一定是最好的（當(dāng)然這僅僅是某個意義上講，比如從節(jié)省、最優(yōu)等意義上考慮）。美的扭曲雕塑、繪畫是創(chuàng)造具體的或顯示的藝術(shù)形象以反映現(xiàn)實(shí)事物數(shù)學(xué)美學(xué)教育研究的意義我國數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的審美能力，即能增進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的主觀感受能力?！睌?shù)學(xué)是人類文明的結(jié)晶，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)、圖形、布局和形式無不體現(xiàn)數(shù)學(xué)中美的因素。在筆者給剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生講到數(shù)學(xué)美的時(shí)候，絕大多數(shù)學(xué)生都不能把數(shù)學(xué)與美聯(lián)系在一起，這在一定程度上說明我們數(shù)學(xué)美育教學(xué)的欠缺。因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中充分挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)的美育功能，不僅可以使學(xué)生得到美的享受，還可以獲取知識，開發(fā)智力，促進(jìn)“德”、“智”的協(xié)調(diào)發(fā)展。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施美育應(yīng)體現(xiàn)以下幾個方面。

揭示數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵追求數(shù)學(xué)美的本質(zhì)掌握數(shù)學(xué)美的規(guī)律數(shù)學(xué)美學(xué)教育研究的意義我國數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的揭示數(shù)學(xué)美的內(nèi)涵

人們常說：“成功的教學(xué)給人以一種美的享受”。數(shù)學(xué)的教學(xué)過程不僅僅是學(xué)生個體的認(rèn)識過程和發(fā)展過程，而且是在教師指導(dǎo)下的一種特殊審美過程。因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)美的內(nèi)容通過教學(xué)過程的設(shè)計(jì)向?qū)W生揭示出來，從而使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的內(nèi)容是美的。事實(shí)上，數(shù)學(xué)中有大量的美學(xué)內(nèi)容，比如：函數(shù)y=f(x)這一簡單的表達(dá)式把兩個變量X和Y的關(guān)系通過對應(yīng)規(guī)則F并且用等號連接在一起，深刻地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的符號美和簡單美；圓錐曲線圖形的對稱、楊輝三角的對稱等反映了數(shù)學(xué)的對稱美；方程的曲線和曲線的方程的關(guān)系靜中有動，動中有靜，深刻地反映了數(shù)學(xué)的靜態(tài)美與動態(tài)美……在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要把數(shù)學(xué)中的這些美學(xué)本質(zhì)挖掘出來，揭示出來，通過數(shù)學(xué)教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生愛好數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)美的興趣。