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浙江省舟山市普陀第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且,∠BAC=30°,定義f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分別是△MBC,△MCA,△MAB的面積,若f(M)=(,x,y),則的最小值是………………………(
)A、8
B、9 C、16
D、18參考答案:D2.設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增,,則是的(
)A.必要不充分條件
B.充分不必要條件C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:A3.執(zhí)行如下圖所示的程序框圖,如果輸入t[-2,2],則輸出的s屬于(
)A.[-6,-2] B.[-5,-1] C.[-4,5] D.[-3,6]參考答案:D4.若橢圓與雙曲線有相同焦點(diǎn),是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn),則的面積是(
)A.4
B.1
C.2
D.參考答案:B5.橢圓的焦距為(
) A6
B
C
4
D
5參考答案:B6.已知向量,則∠ABC=A.30° B.45° C.60° D.120°參考答案:A試題分析:由題意,得,所以,故選A.【考點(diǎn)】向量的夾角公式.【思維拓展】(1)平面向量與的數(shù)量積為,其中是與的夾角,要注意夾角的定義和它的取值范圍:;(2)由向量的數(shù)量積的性質(zhì)知,,,因此,利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長(zhǎng)度、角度、垂直等有關(guān)的問(wèn)題.7.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為(
)A. B.C. D.參考答案:C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo),由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程.【詳解】解:函數(shù)f(x)=cosx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=﹣sinx,即有在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為k=﹣sin0=0,切點(diǎn)為(0,1),則在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y﹣1=,即為y-1=0.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線的方程,注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的方程,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.△ABC中,,,則△ABC一定是(
)A
銳角三角形
B
鈍角三角形
C
等腰三角形
D
等邊三角形參考答案:D略9.在中,若,則的外接圓的半徑為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A10.已知函數(shù)對(duì)任意的滿足(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式成立的是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從集合{1,2,3,4,5}任取一元素a,從集合{1,2,3}任取一元素b,則b>a的概率是.參考答案:【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.【分析】求出基本事件總數(shù)n=5×3=15,再利用列舉法求出b>a包含的基本事件(a,b)的個(gè)數(shù),由此能求出b>a的概率.【解答】解:從集合{1,2,3,4,5}任取一元素a,從集合{1,2,3}任取一元素b,基本事件總數(shù)n=5×3=15,b>a包含的基本事件(a,b)有:(1,2),(1,3),(2,3),∴b>a的概率p==.故答案:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意列舉法的合理運(yùn)用.12.已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若△ABF2是正三角形,則這個(gè)橢圓的離心率是.參考答案:【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)△ABF2是正三角形,且直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直,得到F2F1是正三角形△ABF2的高,∠AF2F1=30°.在Rt△AF2F1中,設(shè)|AF1|=m,可得,所以|AF2|=2m,用勾股定理算出|F1F2|=m,得到橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF1|+|AF2|=3m,焦距2c=m,所以橢圓的離心率為e==.【解答】解:∵△ABF2是正三角形,∴∠AF2B=60°,∵直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直,∴F2F1是正三角形△ABF2的高,∠AF2F1=×60°=30°,Rt△AF2F1中,設(shè)|AF1|=m,sin30°=,∴|AF2|=2m,|F1F2|=因此,橢圓的長(zhǎng)軸2a=|AF1|+|AF2|=3m,焦距2c=m∴橢圓的離心率為e==.故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦和另一焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,求橢圓的離心率.著重考查了橢圓的基本概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.13.如圖是兩個(gè)分類(lèi)變量X、Y的部分2×2列聯(lián)表,則K2的觀測(cè)值為_(kāi)________.
y1y2x11050x22040參考答案:14.從0,1,2,3,4,5中任取3個(gè)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這個(gè)三位數(shù)是5的倍數(shù)的概率等于
.參考答案:0.315.在中,過(guò)中線中點(diǎn)任作一直線分別交于兩點(diǎn),設(shè),則的最小值是
.參考答案:略16.在1與2之間插入10個(gè)數(shù)使這12個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,則中間10個(gè)數(shù)之和為_(kāi)_▲________.參考答案:1517.橢圓+y2=1的焦距為.參考答案:2【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】求出橢圓的幾何量,然后求解焦距即可.【解答】解:橢圓+y2=1的長(zhǎng)半軸a=2,短半軸為b=1,則c==.橢圓的焦距為:2.故答案為:2.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知復(fù)數(shù)(m為實(shí)數(shù),i為虛數(shù)單位)
1.當(dāng)m為何值時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)
2.若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限,求m的取值范圍參考答案:略19.(本小題滿分12分)函數(shù)(是常數(shù)),(1)討論的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),方程在上有兩解,求的取值范圍;參考答案:(1).當(dāng)時(shí),在定義域上,恒成立,即單調(diào)增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,,即單調(diào)減區(qū)間為;在上,,即單調(diào)增區(qū)間為.(2)當(dāng)時(shí),,其中,而時(shí),;時(shí),,∴是在上唯一的極小值點(diǎn),∴.又,綜上,當(dāng)時(shí),當(dāng)方程在上有兩解,的取值范圍為.20.已知函數(shù),,.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)證明:,恒成立.參考答案:(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)可求得,分別在、、、四種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而得到原函數(shù)的單調(diào)性;(2)將不等式轉(zhuǎn)化為:,令,,利用導(dǎo)數(shù)求得和,可證得,從而證得結(jié)論.【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),時(shí),;時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí),和時(shí),;時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減③當(dāng)時(shí),在上恒成立在上單調(diào)遞增④當(dāng)時(shí),和時(shí),;時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)對(duì),恒成立即為:,等價(jià)于:令,則時(shí),;時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增令,則時(shí),;時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上可得:,即在上恒成立對(duì),恒成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的求解.解決本題中的恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺C不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)之間最值的比較,通過(guò)最小值與最大值的大小關(guān)系得到結(jié)論.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.參考答案:解:(Ⅰ)因?yàn)?,?dāng)時(shí),有兩式相減,得,即當(dāng),,所以,所以故是以首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,即………7分(Ⅱ),由裂項(xiàng)相消,得…………12分略22.已知函數(shù)()在處取得極值.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.參考答案:(1)因?yàn)椋?1分
又,即,解得. 2分
令,即,解得;
令,即,解得. 4
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