山東財(cái)經(jīng)大學(xué)成人高考線性代數(shù)復(fù)習(xí)自測(cè)題及參考答案

《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)自測(cè)題一、單項(xiàng)選擇題1．行列式的充分必要條件為().A.B.C.D.2．設(shè)、都是階可逆陣，則（）.A.B.存在可逆矩陣C.存在可逆矩陣D.存在可逆矩陣3．設(shè)階方陣的秩，則在的個(gè)行向量中（）．A.必有個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)B.任意個(gè)行向量均可構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組C.任意個(gè)行向量均線性無(wú)關(guān)D.任一個(gè)行向量均可由其它個(gè)行向量線性表示4．設(shè)是線性方程組的兩個(gè)解向量，則（）必為其導(dǎo)出組的解．A．B．C．D．以上答案都不對(duì)5.取值()時(shí)，向量與向量正交.A.-2B.0C.1D.-16．行列式，則（）.A.3B.9C.-3D.-97．設(shè),為階方陣，則下列各式中正確的是（）.A.或可逆，必有可逆B.或可逆，必有不可逆C.或可逆，必有可逆D.或可逆，必有不可逆8．向量組的秩是（）．A.0B.1C.2D.39．設(shè)為滿足的任意兩個(gè)非零矩陣，則（）．A．的列向量組線性相關(guān)，的行向量組線性相關(guān)B．的列向量組線性相關(guān)，的列向量組線性相關(guān)C．的行向量組線性相關(guān)，的行向量組線性相關(guān)D．的行向量組線性相關(guān)，的列向量組線性相關(guān)10.階矩陣與某對(duì)角矩陣相似，則().A.有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量B.有個(gè)不同的特征值C.是實(shí)對(duì)稱矩陣D.的秩11．行列式，則（）.A.2B.6C.-2D.-612．設(shè)，，為階矩陣，().A.B.C.D.13．線性相關(guān)向量組的任一部分組（）．A.未必線性相關(guān)B.線性相關(guān)C.線性無(wú)關(guān)D.以上均不對(duì)14．設(shè)是矩陣，且，則下列說法錯(cuò)誤的是（）．A．齊次線性方程組有無(wú)窮多解B．非齊次線性方程組的增廣矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)C．非齊次線性方程組一定有無(wú)窮多解D．非齊次線性方程組可能無(wú)解15.已知矩陣有一個(gè)特征向量，則=().A.-18B.-14C.-16D.-1216．行列式，則（）.A.1B.3C.-1D.-317．設(shè)是階方陣，（）.A.B.C.D.18．設(shè)向量組，，()時(shí)，是，的線性組合．A.B.C.D.19．設(shè)為矩陣，，則齊次線性方程組只有零解的充要條件是（）．A．B．C．D．20.設(shè)為階矩陣，線性方程組的兩個(gè)不同解向量分別為，則矩陣屬于特征值的特征向量必是().A.B.C.D.二、判斷題1.如果個(gè)未知量個(gè)方程構(gòu)成的齊次線性方程組有非零解，那么其系數(shù)行列式必為0.（）2.若、為對(duì)稱矩陣，則為對(duì)稱矩陣.（）3.向量組，，線性相關(guān).（）4.設(shè)是一非齊次線性方程組，是其兩個(gè)解，則仍是的解．（）5.若是階矩陣的互異特征值，是相應(yīng)的特征向量，則也是的特征向量.（）6.設(shè)，則.（）7..（）8.如果向量組線性相關(guān)，則可由線性表示．（）9.向量組，，線性相關(guān).（）10.設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的線性組合是的解．（）11.若，則互換的任意兩行或兩列，的值仍為零.（）12.若、為對(duì)稱矩陣，則為對(duì)稱矩陣.（）13.線性相關(guān)的向量組沒有極大無(wú)關(guān)組。（）14.如果每個(gè)維列向量都是齊次線性方程組的解，則是零矩陣．（）15.設(shè)3階矩陣的特征值為0，1，-1，則矩陣是可逆矩陣.（）16..（）17.若矩陣中有某個(gè)階子式不為0，則.（）18.若一個(gè)向量組中有個(gè)維向量，則此向量組必線性無(wú)關(guān)．（）19.設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則線性相關(guān)．（）20.設(shè)3階矩陣的特征值為0，1，-1，則矩陣是可逆矩陣.（）三、填空題1．二階行列式的值等于.2．設(shè)矩陣，，則.3.已知矩陣的秩為3，且的行向量組線性無(wú)關(guān)，則，.（第二個(gè)空填大小關(guān)系）4.已知非齊次線性方程組無(wú)解，且，則增廣矩陣的秩.5.設(shè)是非奇異矩陣的一個(gè)特征值，則矩陣有一個(gè)特征值為.6．.7．矩陣，，則.8.設(shè)，，則向量組線性．（填：相關(guān)或無(wú)關(guān)）9.設(shè)齊次線性方程組為，則它的基礎(chǔ)解系所包含的向量個(gè)數(shù)為.10.設(shè)為3階方陣，其特征值分別為3，-1，2，則.11．.12．矩陣，，則.13.若與線性相關(guān)，則的值分別為和.14.設(shè)齊次線性方程組為，則它的基礎(chǔ)解系所包含的向量個(gè)數(shù)為.15.設(shè)為3階方陣，其特征值分別為3，-1，2，則.16．.17．矩陣，，則.18.設(shè)向量組的秩，則向量組線性．（填：相關(guān)或無(wú)關(guān)）19.已知非齊次線性方程組無(wú)解，且，則增廣矩陣的秩.20.如果階矩陣與相似，且，那么.四、計(jì)算題1.計(jì)算行列式：．2．求解矩陣方程，其中，．3．求向量組，，的秩，并判斷其是否線性相關(guān)．4．設(shè)有非齊次線性方程組，試用一個(gè)特解和其導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系表示其全部解．5.計(jì)算行列式.6．已知矩陣，，求（1），（2）．7．已知向量，，，求滿足等式的向量．8．求矩陣的特征值與特征向量.9.計(jì)算行列式：.10．求矩陣的逆矩陣．11．求向量組，，的秩，并判斷其是否線性相關(guān)．12．求矩陣的特征值和特征向量.13.計(jì)算階行列式．14．解矩陣方程，其中，．15．求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．16.求矩陣的特征值和特征向量.五、綜合題1．判斷矩陣是否可以與對(duì)角矩陣相似，若可以，試求出相應(yīng)的可逆矩陣和對(duì)角矩陣，使得.2．設(shè)三階非零實(shí)方陣，且.其中，為元素的代數(shù)余子式，.求證：且是正交矩陣.3．下列向量組是否線性相關(guān)？若相關(guān)，試求一組相關(guān)系數(shù)，，，，，．4．設(shè)矩陣滿足，證明：可逆.5．討論線性方程組解的情況.6．設(shè)向量組線性相關(guān)，證明：向量組必線性相關(guān)．7．判斷向量是否為向量組，的線性組合？8．若向量組線性無(wú)關(guān)，而向量，，，試證：向量組線性無(wú)關(guān).

《線性代數(shù)》復(fù)習(xí)題參考答案一、單項(xiàng)選擇題1．B2.D3.A4.B5.D6．B7.A8.D9.A10.A11．B12.C13.A14.C15.C16．A17.B18.A19.D20.C二、判斷題1．A2.B3.A4.B5.B6．B7.B8.B9.A10.B11．A12.B13.B14.A15.A16．A17.A18.B19.B20.B三、填空題1．2.3.3，4.35.46．67.8.相關(guān)9.10.11．812.13.2，414.15.-616．-417.18.相關(guān)19.320.計(jì)算題1．解由行列式的性質(zhì)，有．2．解若可逆，則有．．因此，可逆，且．于是，．3．解以為行作矩陣，對(duì)進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣：，于是，，故，又，故線性相關(guān)．4．解對(duì)所給方程組的增廣矩陣施以初等行變換由此可得原方程組一般解為其中為自由未知量．令，得原方程組的一個(gè)特解．又原方程組的導(dǎo)出方程組的一般解為，其中為自由未知量．令自由未知量分別取值為,，可得導(dǎo)出方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，．于是原方程組通解為，其中為任意常數(shù)．5．解將行列式先按第五列展開，再按第一列展開后一個(gè)四階行列式得.6．解（1）由于，因此．（2）．7．解由所給等式可得，即有所以，．8．解矩陣的特征方程為：，所以，的特征值為.對(duì)于，解齊次線性方程組，即，其基礎(chǔ)解系為，故與對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中，為任意非零常數(shù).對(duì)于二重特征根，解齊次線性方程組，即，其基礎(chǔ)解系為，，故與對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中，是不全為零的任意常數(shù).9．解由行列式的對(duì)角線法則，有.10．解作矩陣，并對(duì)其進(jìn)行初等行變換：，因此，．11．解以為行作矩陣，對(duì)進(jìn)行初等行變換化為階梯形矩陣：，于是，故，從而線性無(wú)關(guān)．412．解矩陣的特征方程為:，所以的特征值為.對(duì)于，解齊次線性方程組，即，其基礎(chǔ)解系為，故與對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中，為任意非零常數(shù).對(duì)于，解齊次線性方程組，即，其基礎(chǔ)解系為，故與對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，為任意非零常數(shù).13．解容易看出，該行列式各行中所有元素的和相等，都是，于是各列都加到第一列，然后從第一列中提出公因子，再用乘第一行加到其余各行，得．14．解若方陣可逆，則，以下先判斷為可逆矩陣并求出．易得，因此可逆．經(jīng)計(jì)算可得中各元素的代數(shù)余子式分別為：，，，．因此，．于是．15．解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行行初等變換化成行最簡(jiǎn)形式， 所以，，所以方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)含有個(gè)解向量．由最后一個(gè)行簡(jiǎn)化階梯形矩陣可得同解方程組，從而得方程組的一般解為，其中為自由未知量．令自由未知量分別取值為，，可得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，．16．解矩陣的特征方程為：，所以的特征值為：.對(duì)于，解齊次線性方程組，即，其基礎(chǔ)解系為，故與對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中，為任意非零常數(shù).對(duì)于二重特征根，解齊次線性方程組，即，其基礎(chǔ)解系為，，故與對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中，為任意非零常數(shù).五、綜合題1．解首先求出矩陣的特征值.矩陣的特征方程為：，其特征值為.其次求出矩陣的每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.對(duì)于，解齊次線性方程組，即得基礎(chǔ)解系為，這是屬于的一個(gè)特征向量.對(duì)于，解齊次線性方程組，即，得基礎(chǔ)解系為，這是的屬于特征值的兩個(gè)線性